helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_shift.ma".
  17
  18 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  19 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
  20 definition rebase_spec ≝
  21  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
  22    And4
  23     (start (\fst p) = start (\snd p))
  24     (same_bases (bars (\fst p)) (bars (\snd p)))
  25     (same_values l1 (\fst p))
  26     (same_values l2 (\snd p)).
  27
  28 definition rebase_spec_simpl ≝
  29  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
  30    And3
  31     (same_bases (\fst p) (\snd p))
  32     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
  33     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
  34
  35 (* a local letin makes russell fail *)
  36 definition cb0h : list bar → list bar ≝
  37   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
  38
  39 definition eject ≝
  40   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  41 coercion eject.
  42 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
  43 coercion inject with 0 1 nocomposites.
  44
  45 axiom devil : False.
  46
  47 definition rebase: rebase_spec.
  48 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
  49 letin spec ≝ (
  50   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
  51 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
  52 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
  53 letin aux ≝ (
  54 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
  55 match n with
  56 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
  57 | S m ⇒
  58   match l1 with
  59   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
  60   | cons he1 tl1 ⇒
  61      match l2 with
  62      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
  63      | cons he2 tl2 ⇒
  64          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
  65          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
  66          let height1 ≝ (\snd he1) in
  67          let height2 ≝ (\snd he2) in
  68          match q_cmp base1 base2 with
  69          [ q_eq _ ⇒
  70              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
  71              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
  72          | q_lt Hp ⇒
  73              let rest ≝ base2 - base1 in
  74              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
  75              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
  76          | q_gt Hp ⇒
  77              let rest ≝ base1 - base2 in
  78              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
  79              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
  80 ]]]]
  81 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
  82 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
  83     cases (q_cmp s1 s2);
  84     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
  85         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
  86         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
  87         [1,2: assumption;
  88         |3: intro; apply (H3 input);
  89         |4: intro; rewrite > H in H4;
  90             rewrite > (H4 input) in ⊢ (? ? % ?); reflexivity;]
  91     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
  92           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
  93           assumption]
  94         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
  95         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
  96         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
  97         [1: reflexivity
  98         |2: assumption;
  99         |3: assumption;
 100         |4: intro;
 101             rewrite > (initial_shift_same_values (mk_q_f s2 l2) s1 H input) in ⊢ (? ? % ?);
 102             rewrite < (H4 input)in ⊢ (? ? ? %); reflexivity;]
 103     |3: letin l1' ≝ (〈\fst (unpos (s1-s2) ?),OQ〉::l1);[
 104           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 105           assumption]
 106         cases (aux l1' l2 (S (len l1' + len l2)));
 107         cases (H1 s2 (le_n ?)); clear H1 aux;
 108         exists [apply 〈mk_q_f s2 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 109         [1: reflexivity
 110         |2: assumption;
 111         |4: assumption;
 112         |3: intro; simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))));
 113             rewrite > (initial_shift_same_values (mk_q_f s1 l1) s2 H input) in ⊢ (? ? % ?);
 114             rewrite < (H3 input) in ⊢ (? ? ? %); reflexivity;]]
 115 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 116       assumption;
 117 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);
 118 |3: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 119     simplify in ⊢ (???? (??? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??)))) ?));
 120     simplify in ⊢ (???? (???? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??))))));
 121     clear H4; cases (aux (〈w,\snd b〉::l4) l5 n1); clear aux;
 122     cut (len (〈w,\snd b〉::l4) + len l5 < n1) as K;[2:
 123       simplify in H5; simplify; rewrite > sym_plus in H5; simplify in H5;
 124       rewrite > sym_plus in H5; apply le_S_S_to_le; apply H5;]
 125     split;
 126     [1: simplify in ⊢ (? % ?); simplify in ⊢ (? ? %);
 127         cases (H4 s K); clear K H4; intro input; cases input; [reflexivity]
 128         simplify; apply H7;
 129     |2: simplify in ⊢ (? ? %); cases (H4 s K); clear H4 K H5 spec;
 130         intro;
 131         (* input < s + b1 || input >= s + b1 *)
 132     |3: simplify in ⊢ (? ? %);]
 133 |4: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 134     (* duale del 3 *)
 135 |5: intros; (* triviale, caso in cui non fa nulla *)
 136 |6,7: (* casi base in cui allunga la lista più corta *)
 137 ]
 138 elim devil;
 139 qed.
 140
 141 include "Q/q/qtimes.ma".
 142
 143 let rec area (l:list bar) on l ≝
 144   match l with
 145   [ nil ⇒ OQ
 146   | cons he tl ⇒ area tl + Qpos (\fst he) * ⅆ[OQ,\snd he]].
 147
 148 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 149 alias symbol "minus" = "Q minus".
 150 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 151 definition minus_spec_bar ≝
 152  λf,g,h:list bar.
 153    same_bases f g → len f = len g →
 154      ∀s,i:ℚ. \snd (\fst (value (mk_q_f s h) i)) =
 155        \snd (\fst (value (mk_q_f s f) i)) - \snd (\fst (value (mk_q_f s g) i)).
 156
 157 definition minus_spec ≝
 158  λf,g:q_f.
 159    ∃h:q_f.
 160      ∀i:ℚ. \snd (\fst (value h i)) =
 161        \snd (\fst (value f i)) - \snd (\fst (value g i)).
 162
 163 definition eject_bar : ∀P:list bar → CProp.(∃l:list bar.P l) → list bar ≝
 164  λP.λp.match p with [ex_introT x _ ⇒ x].
 165 definition inject_bar ≝ ex_introT (list bar).
 166
 167 coercion inject_bar with 0 1 nocomposites.
 168 coercion eject_bar with 0 0 nocomposites.
 169
 170 lemma minus_q_f : ∀f,g. minus_spec f g.
 171 intros;
 172 letin aux ≝ (
 173   let rec aux (l1, l2 : list bar) on l1 ≝
 174     match l1 with
 175     [ nil ⇒ []
 176     | cons he1 tl1 ⇒
 177         match l2 with
 178         [ nil ⇒ []
 179         | cons he2 tl2 ⇒ 〈\fst he1, \snd he1 - \snd he2〉 :: aux tl1 tl2]]
 180   in aux : ∀l1,l2 : list bar.∃h.minus_spec_bar l1 l2 h);
 181 [2: intros 4; simplify in H3; destruct H3;
 182 |3: intros 4; simplify in H3; cases l1 in H2; [2: intro X; simplify in X; destruct X]
 183     intros; rewrite > (value_OQ_e (mk_q_f s []) i); [2: reflexivity]
 184     rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_OQ; reflexivity;
 185 |1: cases (aux l2 l3); unfold in H2; intros 4;
 186     simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))) ?);
 187     cases (q_cmp i (s + Qpos (\fst b)));
 188
 189
 190
 191 definition excess ≝
 192   λf,g.∃i.\snd (\fst (value f i)) < \snd (\fst (value g i)).
 193