helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Q/q/q.ma".
  16 include "list/list.ma".
  17 include "cprop_connectives.ma".
  18
  19
  20 notation "\rationals" non associative with precedence 99 for @{'q}.
  21 interpretation "Q" 'q = Q.
  22
  23 definition bar ≝ ratio × ℚ. (* base (Qpos) , height *)
  24 record q_f : Type ≝ { start : ℚ; bars: list bar }.
  25
  26 axiom qp : ℚ → ℚ → ℚ.
  27 axiom qm : ℚ → ℚ → ℚ.
  28 axiom qlt : ℚ → ℚ → CProp.
  29
  30 interpretation "Q plus" 'plus x y = (qp x y).
  31 interpretation "Q minus" 'minus x y = (qm x y).
  32 interpretation "Q less than" 'lt x y = (qlt x y).
  33
  34 inductive q_comparison (a,b:ℚ) : CProp ≝
  35  | q_eq : a = b → q_comparison a b
  36  | q_lt : a < b → q_comparison a b
  37  | q_gt : b < a → q_comparison a b.
  38
  39 axiom q_cmp:∀a,b:ℚ.q_comparison a b.
  40
  41 definition qle ≝ λa,b:ℚ.a = b ∨ a < b.
  42
  43 interpretation "Q less or equal than" 'leq x y = (qle x y).
  44
  45 axiom q_le_minus: ∀a,b,c:ℚ. a ≤ c - b → a + b ≤ c.
  46 axiom q_lt_plus: ∀a,b,c:ℚ. a - b < c → a < c + b.
  47
  48 axiom dist : ℚ → ℚ → ℚ.
  49
  50
  51 interpretation "list nth" 'nth = (nth _).
  52 interpretation "list nth" 'nth_appl l d i = (nth _ l d i).
  53 notation "'nth'" with precedence 90 for @{'nth}.
  54 notation < "'nth' \nbsp term 90 l \nbsp term 90 d \nbsp term 90 i"
  55 with precedence 69 for @{'nth_appl $l $d $i}.
  56
  57 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  58 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  59
  60 definition make_list ≝
  61   λA:Type.λdef:nat→A.
  62     let rec make_list (n:nat) on n ≝
  63       match n with [ O ⇒ nil ? | S m ⇒ def m :: make_list m]
  64     in make_list.
  65
  66 interpretation "'mk_list' appl" 'mk_list_appl f n = (make_list _ f n).
  67 interpretation "'mk_list'" 'mk_list = (make_list _).
  68 notation "'mk_list'" with precedence 90 for @{'mk_list}.
  69 notation < "'mk_list' \nbsp term 90 f \nbsp term 90 n"
  70 with precedence 69 for @{'mk_list_appl $f $n}.
  71
  72
  73 definition empty_bar : bar ≝ 〈one,OQ〉.
  74 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  75 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  76
  77 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  78 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  79
  80 notation "'len'" with precedence 90 for @{'len}.
  81 interpretation "len" 'len = (length _).
  82 notation < "'len' \nbsp term 90 l" with precedence 69 for @{'len_appl $l}.
  83 interpretation "len appl" 'len_appl l = (length _ l).
  84
  85 (* a local letin makes russell fail *)
  86 definition cb0h ≝ (λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l)).
  87
  88 lemma len_mk_list : ∀T:Type.∀f:nat→T.∀n.len (mk_list f n) = n.
  89 intros; elim n; [reflexivity] simplify; rewrite > H; reflexivity;
  90 qed.
  91
  92 let rec sum_bases (l:list bar) (i:nat)on i ≝
  93     match i with
  94     [ O ⇒ OQ
  95     | S m ⇒
  96          match l with
  97          [ nil ⇒ sum_bases l m + Qpos one
  98          | cons x tl ⇒ sum_bases tl m + Qpos (\fst x)]].
  99
 100 definition eject1 ≝
 101   λP.λp:∃x:nat × ℚ.P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 102 coercion eject1.
 103 definition inject1 ≝ λP.λp:nat × ℚ.λh:P p. ex_introT ? P p h.
 104 coercion inject1 with 0 1 nocomposites.
 105
 106 definition value :
 107   ∀f:q_f.∀i:ℚ.∃p:nat × ℚ.
 108    match q_cmp i (start f) with
 109    [ q_lt _ ⇒ \snd p = OQ
 110    | _ ⇒
 111         And3
 112          (sum_bases (bars f) (\fst p) ≤ i - start f)
 113          (i - start f < sum_bases (bars f) (S (\fst p)))
 114          (\snd p = \snd (nth (bars f) ▭ (\fst p)))].
 115 intros;
 116 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 117 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 118 letin value ≝ (
 119   let rec value (p: ℚ) (l : list bar) on l ≝
 120     match l with
 121     [ nil ⇒ 〈O,OQ〉
 122     | cons x tl ⇒
 123         match q_cmp p (Qpos (\fst x)) with
 124         [ q_lt _ ⇒ 〈O, \snd x〉
 125         | _ ⇒
 126            let rc ≝ value (p - Qpos (\fst x)) tl in
 127            〈S (\fst rc),\snd rc〉]]
 128   in value :
 129   ∀acc,l.∃p:nat × ℚ. OQ ≤ acc →
 130      And3
 131        (sum_bases l (\fst p) ≤ acc)
 132        (acc < sum_bases l (S (\fst p)))
 133        (\snd p = \snd (nth l ▭ (\fst p))));
 134 [5: clearbody value;
 135     cases (q_cmp i (start f));
 136     [2: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; reflexivity;
 137     |*: cases (value (i - start f) (bars f)) (p Hp);
 138         cases Hp; clear Hp value;
 139         exists[1,3:apply p]; simplify; split; assumption;]
 140 |1,3: intros; split;
 141     [1,4: clear H2; cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1); cases H2; clear H2;
 142           simplify; apply q_le_minus; assumption;
 143     |2,5: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1); cases H3; clear H3 H2 value;
 144           change with (q < sum_bases l1 (S (\fst w)) + Qpos (\fst b));
 145           apply q_lt_plus; assumption;
 146     |*: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1); simplify; cases H3; clear H3 value H2;
 147         assumption;]
 148 |2: clear value H2; simplify; split;
 149     [1:
 150
 151
 152 definition same_shape ≝
 153   λl1,l2:q_f.
 154    ∀input.∃col.
 155
 156     And3
 157       (sum_bases (bars l2) j ≤ offset - start l2)
 158       (offset - start l2 ≤ sum_bases (bars l2) (S j))
 159       (\snd (nth (bars l2)) q0 j) = \snd (nth (bars l1) q0 i).
 160
 161 …┐─┌┐…
 162 \ldots\boxdl\boxh\boxdr\boxdl\ldots
 163
 164 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 165 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 166 definition rebase_spec ≝
 167  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
 168    And4
 169     (len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p)))
 170     (start (\fst p) = start (\snd p))
 171     (∀i.\fst (nth (bars (\fst p)) q0 i) = \fst (nth (bars (\snd p)) q0 i))
 172     (∀i,offset.
 173       sum_bases (bars l1) i ≤ offset - start l1 →
 174       offset - start l1 ≤ sum_bases (bars l1) (S i) →
 175       ∃j.
 176         And3
 177          (sum_bases (bars (\fst p)) j ≤ offset - start (\fst p))
 178          (offset - start (\fst p) ≤ sum_bases (bars (\fst p)) (S j))
 179          (\snd (nth (bars (\fst p)) q0 j) = \snd (nth (bars l1) q0 i)) ∧
 180         And3
 181          (sum_bases (bars (\snd p)) j ≤ offset - start (\snd p))
 182          (offset - start (\snd p) ≤ sum_bases (bars (\snd p)) (S j))
 183          (\snd (nth (bars (\snd p)) q0 j) = \snd (nth (bars l2) q0 i))).
 184
 185 definition rebase_spec_simpl ≝
 186  λl1,l2:list (ℚ × ℚ).λp:(list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)).
 187     len ( (\fst p)) = len ( (\snd p)) ∧
 188     (∀i.
 189      \fst (nth ( (\fst p)) q0 i) =
 190      \fst (nth ( (\snd p)) q0 i)) ∧
 191     ∀i,offset.
 192       sum_bases ( l1) i ≤ offset ∧
 193       offset ≤ sum_bases ( l1) (S i)
 194        →
 195       ∃j.
 196         sum_bases ( (\fst p)) j ≤ offset ∧
 197         offset ≤ sum_bases ((\fst p)) (S j) ∧
 198         \snd (nth ( (\fst p)) q0 j) =
 199         \snd (nth ( l1) q0 i).
 200
 201 definition eject ≝
 202   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 203 coercion eject.
 204 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 205 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 206
 207 definition rebase: rebase_spec.
 208 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 209 letin spec ≝ (
 210   λl1,l2:list (ℚ × ℚ).λm:nat.λz:(list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)).
 211     len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl l1 l2 z);
 212 letin aux ≝ (
 213 let rec aux (l1,l2:list (ℚ × ℚ)) (n:nat) on n : (list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)) ≝
 214 match n with
 215 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 216 | S m ⇒
 217   match l1 with
 218   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 219   | cons he1 tl1 ⇒
 220      match l2 with
 221      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 222      | cons he2 tl2 ⇒
 223          let base1 ≝ (\fst he1) in
 224          let base2 ≝ (\fst he2) in
 225          let height1 ≝ (\snd he1) in
 226          let height2 ≝ (\snd he2) in
 227          match q_cmp base1 base2 with
 228          [ q_eq _ ⇒
 229              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 230              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 231          | q_lt _ ⇒
 232              let rest ≝ base2 - base1 in
 233              let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
 234              〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉
 235          | q_gt _ ⇒
 236              let rest ≝ base1 - base2 in
 237              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
 238              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉
 239 ]]]]
 240 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.spec l1 l2 m z); unfold spec;
 241 [7: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 242     cases (q_cmp s1 s2);
 243     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 244         cases (H1 (le_n ?)); clear H1;
 245         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] repeat split;
 246         [1: cases H2; assumption;
 247         |2: assumption;
 248         |3: cases H2; assumption;
 249         |4: intros; cases (H3 i (offset - s1));
 250             [2:
 251
 252
 253 |1,2: simplify; generalize in ⊢ (? ? (? (? ? (? ? ? (? ? %)))) (? (? ? (? ? ? (? ? %))))); intro X;
 254       cases X (rc OK); clear X; simplify; apply eq_f; assumption;
 255 |3: cases (aux l4 l5 n1) (rc OK); simplify; apply eq_f; assumption;
 256 |4,5: simplify; unfold cb0h; rewrite > len_mk_list; reflexivity;
 257 |6: reflexivity]
 258 clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 259
 260
 261
 262 qed.