helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 axiom le_le_eq: ∀x,y:Q. x ≤ y → y ≤ x → x = y.
  19
  20 lemma initial_shift_same_values:
  21   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
  22    same_values l1
  23      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
  24 [apply hide; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
  25 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
  26 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
  27 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
  28 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input);
  29 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? %));
  30 cases (q_cmp input (start (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)))) in H3;
  31 whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
  32 [1: intro; cases H4; clear H4; rewrite > H3;
  33     cases (value l1 init); simplify; cases (q_cmp init (start l1)) in H4;
  34     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl init); rewrite > H4 in ⊢ (?? %); apply H;
  35     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym init (start l1)); assumption;
  36     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
  37         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
  38         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
  39         rewrite > (sum_bases_O (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) (\fst w1)); [apply le_n]
  40         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));
  41         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
  42 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  43     cases (q_cmp input (start l1)) in H5; whd in ⊢ (% → ?);
  44     [1: cases (?:False); clear w2 H4 w1 H2 w H1;
  45         apply (q_lt_antisym init (start l1)); [assumption] rewrite < H5; assumption
  46     |2: intros; rewrite > H6; clear H6; rewrite > H4; reflexivity;
  47     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
  48         apply (q_lt_trans ??? H3 H);]
  49 |3: intro; cases H4; clear H4;
  50     cases (value l1 input); simplify; cases (q_cmp input (start l1)) in H4; whd in ⊢ (% → ?);
  51     [1: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
  52         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
  53         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
  54         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
  55           symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O l1 (\fst w2)); [apply le_n]
  56           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x;
  57           apply q_eq_to_le; reflexivity;]
  58         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
  59         cut (ⅆ[input,init] = Qpos w) as E; [2:
  60           rewrite > H2; rewrite < H4; rewrite > q_d_sym;
  61           rewrite > q_d_noabs; [reflexivity] apply q_lt_to_le; assumption;]
  62         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
  63         [1: cases (?:False); clear H5; simplify in H6;
  64             apply (q_lt_corefl ⅆ[input,init]);
  65             rewrite > E in ⊢ (??%); rewrite < q_plus_OQ in ⊢ (??%);
  66             rewrite > q_plus_sym; assumption;
  67         |2: cases n in H5 H6; [intros; reflexivity] intros;
  68             cases (?:False); clear H6; cases (bars l1) in H5; simplify; intros;
  69             [apply (q_pos_OQ one);|apply (q_pos_OQ (\fst b));]
  70             apply (q_le_S ??? (sum_bases_ge_OQ ? n1));[apply []|3:apply l]
  71             simplify in ⊢ (? (? (? % ?) ?) ?); rewrite < (q_plus_minus (Qpos w));
  72             rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r;
  73             rewrite > q_elim_opp; rewrite < E in ⊢ (??%); assumption;]
  74     |2: intros; rewrite > H8; rewrite > H7; clear H8 H7;
  75         simplify in H5 H6 ⊢ %;
  76         cases (\fst w1) in H5 H6; [intros; reflexivity]
  77         cases (bars l1);
  78         [1: intros; simplify; elim n [reflexivity] simplify; assumption;
  79         |2: simplify; intros; cases (?:False); clear H6;
  80             apply (q_lt_le_incompat (input - init) (Qpos w) );
  81             [1: rewrite > H2; do 2 rewrite > q_elim_minus;
  82                 apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
  83                 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  84                 rewrite > q_plus_minus;rewrite > q_plus_OQ; assumption;
  85             |2: rewrite < q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
  86                 rewrite > q_d_sym
  87
  88                 ; apply (q_le_S ???? H5);apply sum_bases_ge_OQ;]]
  89     |3: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
  90         simplify in H5 H6 ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
  91
  92 axiom nth_nil: ∀T,n.∀d:T. nth [] d n = d.
  93
  94 lemma key:
  95   ∀init,input,l1,w1,w2,w.
  96   Qpos w = start l1 - init →
  97   init < start l1 →
  98   start l1 < input →
  99   sum_bases (〈w,OQ〉::bars l1) w1 ≤ ⅆ[input,init] →
 100     ⅆ[input,init] < sum_bases (bars l1) w1 + (start l1-init) →
 101   sum_bases (bars l1) w2 ≤ ⅆ[input,start l1] →
 102     ⅆ[input,start l1] < sum_bases (bars l1) (S w2) →
 103     \snd (nth (bars l1) ▭ w2) = \snd (nth (〈w,OQ〉::bars l1) ▭ w1).
 104 intros 4 (init input l); cases l (st l);
 105 change in match (start (mk_q_f st l)) with st;
 106 change in match (bars (mk_q_f st l)) with l;
 107 elim l;
 108 [1: rewrite > nth_nil; cases w1 in H4;
 109     [1: rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:
 110           apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 111         do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc;
 112         intro X; lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y;
 113         simplify in Y; cases (?:False);
 114         apply (q_lt_corefl st); apply (q_lt_trans ??? H2);
 115         apply (q_lt_le_trans ??? Y); rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 116         apply q_eq_to_le; reflexivity;
 117     |2: intros; simplify; rewrite > nth_nil; reflexivity;]
 118 |2: FACTORIZE w1>0
 119
 120      (* interesting case: init < start < input *)
 121         intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
 122         simplify in H5 H6 ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
 123         elim (\fst w2) in H9 H10;
 124         [1: elim (\fst w1) in H5 H6;
 125             [1: cases (?:False); clear H5 H8 H7;
 126                 apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
 127                 rewrite > q_d_sym in H6; rewrite > q_d_noabs in H6;
 128                   [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 129                 rewrite > q_plus_sym in H6; rewrite > q_plus_OQ in H6;
 130                 rewrite > H2 in H6; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qopp init));
 131                 do 2 rewrite < q_elim_minus; assumption;
 132             |2:
 133
 134         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
 135         cases (\fst w1) in H5 H6; intros; [1:
 136           cases (?:False); clear H5 H9 H10;
 137           apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
 138           rewrite > q_d_sym in H6; rewrite > q_d_noabs in H6;
 139             [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 140           rewrite > q_plus_sym in H6; rewrite > q_plus_OQ in H6;
 141           rewrite > H2 in H6; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qopp init));
 142           do 2 rewrite < q_elim_minus; assumption;]
 143        apply eq_f;
 144             cut (sum_bases (bars l1) (\fst w2) < sum_bases (bars l1) (S n));[2:
 145               apply (q_le_lt_trans ??? H9);
 146               apply (q_lt_trans ??? ? H6);
 147               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 148               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 149               do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > (q_plus_sym ? (Qopp init));
 150               apply q_lt_plus; rewrite > q_plus_sym;
 151               rewrite > q_elim_minus; rewrite < q_plus_assoc;
 152               rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus;
 153               rewrite > q_plus_OQ; apply q_lt_opp_opp; assumption]
 154             clear H9 H6;
 155             cut (ⅆ[input,init] - Qpos w = ⅆ[input,start l1]);[2:
 156               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 157               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 158               rewrite > H2; rewrite > (q_elim_minus (start ?));
 159               rewrite > q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
 160               do 2 rewrite > q_elim_minus;
 161               do 2 rewrite < q_plus_assoc;
 162               rewrite > (q_plus_sym ? init);
 163               rewrite > (q_plus_assoc ? init);
 164               rewrite > (q_plus_sym ? init);
 165               rewrite < (q_elim_minus init); rewrite > q_plus_minus;
 166               rewrite > (q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ;
 167               rewrite < q_elim_minus; reflexivity;]
 168             cut (sum_bases (bars l1) n < sum_bases (bars l1) (S (\fst w2)));[2:
 169               apply (q_le_lt_trans ???? H10); rewrite < Hcut1;
 170               rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r; rewrite > q_elim_opp;
 171               assumption;] clear Hcut1 H5 H10;
 172             generalize in match Hcut;generalize in match Hcut2;clear Hcut Hcut2;
 173             apply (nat_elim2 ???? n (\fst w2));
 174             [3: intros (x y); apply eq_f; apply H5; clear H5;
 175                 [1: clear H7; apply sum_bases_lt_canc; assumption;
 176                 |2: clear H6; ]
 177             |2: intros; cases (?:False); clear H6;
 178                 cases n1 in H5; intro;
 179                 [1: apply (q_lt_corefl ? H5);
 180                 |2: cases (bars l1) in H5; intro;
 181                     [1: simplify in H5;
 182                         apply (q_lt_le_incompat ?? (q_lt_canc_plus_r ??? H5));
 183                         apply q_le_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
 184                         apply q_le_OQ_Qpos;
 185                     |2: simplify in H5:(??%);
 186                         lapply (q_lt_canc_plus_r (sum_bases l (S n2)) ?? H5) as X;
 187                         apply (q_lt_le_incompat ?? X); apply sum_bases_ge_OQ]]
 188             |1: intro; cases n1 [intros; reflexivity] intros; cases (?:False);
 189                 elim n2 in H5 H6;
 190
 191
 192              elim (bars l1) 0;
 193                 [1: intro; elim n1; [reflexivity] cases (?:False);
 194
 195
 196                 intros; clear H5;
 197                 elim n1 in H6; [reflexivity] cases (?:False);
 198                 [1: apply (q_lt_corefl ? H5);
 199                 |2: cases (bars l1) in H5; intro;
 200                     [1: simplify in H5;
 201                         apply (q_lt_le_incompat ?? (q_lt_canc_plus_r ??? H5));
 202                         apply q_le_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
 203                         apply q_le_OQ_Qpos;
 204                     |2: simplify in H5:(??%);
 205                         lapply (q_lt_canc_plus_r (sum_bases l (S n2)) ?? H5) as X;
 206                         apply (q_lt_le_incompat ?? X); apply sum_bases_ge_OQ]]
 207 qed.
 208
 209
 210
 211 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 212 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 213 definition rebase_spec ≝
 214  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
 215    And4
 216     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
 217     (start (\fst p) = start (\snd p))
 218     (same_bases (\fst p) (\snd p))
 219     (same_values l1 (\fst p))
 220     (same_values l2 (\snd p)).
 221
 222 definition rebase_spec_simpl ≝
 223  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 224    And3
 225     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
 226     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
 227     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
 228
 229 (* a local letin makes russell fail *)
 230 definition cb0h : list bar → list bar ≝
 231   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
 232
 233 definition eject ≝
 234   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 235 coercion eject.
 236 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 237 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 238
 239 definition rebase: rebase_spec.
 240 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 241 letin spec ≝ (
 242   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
 243 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
 244 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
 245 letin aux ≝ (
 246 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 247 match n with
 248 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 249 | S m ⇒
 250   match l1 with
 251   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 252   | cons he1 tl1 ⇒
 253      match l2 with
 254      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 255      | cons he2 tl2 ⇒
 256          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
 257          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
 258          let height1 ≝ (\snd he1) in
 259          let height2 ≝ (\snd he2) in
 260          match q_cmp base1 base2 with
 261          [ q_eq _ ⇒
 262              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 263              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 264          | q_lt Hp ⇒
 265              let rest ≝ base2 - base1 in
 266              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 267              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 268          | q_gt Hp ⇒
 269              let rest ≝ base1 - base2 in
 270              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 271              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 272 ]]]]
 273 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 274 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 275     cases (q_cmp s1 s2);
 276     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 277         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 278         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 279         [1,2: assumption;
 280         |3: intro; apply (H3 input);
 281         |4: intro; rewrite > H in H4;
 282             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 283     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 284           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 285           assumption]
 286         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 287         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 288         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 289         [1: reflexivity
 290         |2: assumption;
 291         |3: assumption;
 292         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 293             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 294             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 295             whd in ⊢ (% → ?);
 296             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 297                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 298                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 299                 whd in ⊢ (% → ?);
 300                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 301
 302             (* TODO *) ]]
 303 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 304       assumption;
 305 |3:(* TODO *)
 306 |4:(* TODO *)
 307 |5:(* TODO *)
 308 |6:(* TODO *)
 309 |7:(* TODO *)
 310 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 311 qed.