helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Q/q/q.ma".
  16 include "list/list.ma".
  17 include "cprop_connectives.ma".
  18
  19 notation "\rationals" non associative with precedence 99 for @{'q}.
  20 interpretation "Q" 'q = Q.
  21
  22 record q_f : Type ≝ {
  23  start : ℚ;
  24  bars: list (ℚ × ℚ) (* base, height *)
  25 }.
  26
  27 axiom qp : ℚ → ℚ → ℚ.
  28
  29 interpretation "Q plus" 'plus x y = (qp x y).
  30
  31 axiom qm : ℚ → ℚ → ℚ.
  32
  33 interpretation "Q minus" 'minus x y = (qm x y).
  34
  35 axiom qlt : ℚ → ℚ → CProp.
  36
  37 interpretation "Q less than" 'lt x y = (qlt x y).
  38
  39 inductive q_comparison (a,b:ℚ) : CProp ≝
  40  | q_eq : a = b → q_comparison a b
  41  | q_lt : a < b → q_comparison a b
  42  | q_gt : b < a → q_comparison a b.
  43
  44 axiom q_cmp:∀a,b:ℚ.q_comparison a b.
  45
  46 definition qle ≝ λa,b:ℚ.a = b ∨ a < b.
  47
  48 interpretation "Q less or equal than" 'le x y = (qle x y).
  49
  50 notation "'nth'" left associative with precedence 70 for @{'nth}.
  51 notation < "\nth \nbsp l \nbsp d \nbsp i" left associative with precedence 70 for @{'nth_appl $l $d $i}.
  52 interpretation "list nth" 'nth = (cic:/matita/list/list/nth.con _).
  53 interpretation "list nth" 'nth_appl l d i = (cic:/matita/list/list/nth.con _ l d i).
  54
  55 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 40 for @{'q2}.
  56 interpretation "Q x Q" 'q2 = (product Q Q).
  57
  58 let rec mk_list (A:Type) (def:nat→A) (n:nat) on n ≝
  59   match n with
  60   [ O ⇒ []
  61   | S m ⇒ def m :: mk_list A def m].
  62
  63 interpretation "mk_list appl" 'mk_list f n = (mk_list f n).
  64 interpretation "mk_list" 'mk_list = mk_list.
  65 notation < "\mk_list \nbsp f \nbsp n" left associative with precedence 70 for @{'mk_list_appl $f $n}.
  66 notation "'mk_list'" left associative with precedence 70 for @{'mk_list}.
  67
  68 alias symbol "pair" = "pair".
  69 definition q00 : ℚ × ℚ ≝ 〈OQ,OQ〉.
  70
  71 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  72 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
  73 alias symbol "pair" = "pair".
  74 definition rebase:
  75   q_f → q_f →
  76     ∃p:q_f × q_f.∀i.
  77      fst (nth (bars (fst p)) q00 i) =
  78      fst (nth (bars (snd p)) q00 i).
  79 intros (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
  80 letin aux ≝ (
  81 let rec aux (l1,l2:list (ℚ × ℚ)) on l1 : (list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)) ≝
  82   match l1 with
  83   [ nil ⇒ 〈mk_list (λi.〈fst (nth l2 q00 i),OQ〉) (length ? l2),l2〉
  84   | cons he tl ⇒ 〈[],[]〉] in aux);
  85
  86 cases (q_cmp s1 s2);
  87 [1: apply (mk_q_f s1);
  88 |2: apply (mk_q_f s1); cases l2;
  89     [1: letin l2' ≝ (
  90 [1: (* offset: the smallest one *)
  91     cases