helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 axiom le_le_eq: ∀x,y:Q. x ≤ y → y ≤ x → x = y.
  19
  20 lemma initial_shift_same_values:
  21   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
  22    same_values l1
  23      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
  24 [apply hide; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
  25 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
  26 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
  27 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
  28 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input);
  29 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? %));
  30 cases (q_cmp input (start (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)))) in H3;
  31 whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
  32 [1: intro; cases H4; clear H4; rewrite > H3;
  33     cases (value l1 init); simplify; cases (q_cmp init (start l1)) in H4;
  34     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl init); rewrite > H4 in ⊢ (?? %); apply H;
  35     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym init (start l1)); assumption;
  36     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
  37         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
  38         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
  39         rewrite > (sum_bases_O (〈w,OQ〉::bars l1) (\fst w1)); [apply le_n]
  40         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));
  41         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
  42 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  43     cases (q_cmp input (start l1)) in H5; whd in ⊢ (% → ?);
  44     [1: cases (?:False); clear w2 H4 w1 H2 w H1;
  45         apply (q_lt_antisym init (start l1)); [assumption] rewrite < H5; assumption
  46     |2: intros; rewrite > H6; clear H6; rewrite > H4; reflexivity;
  47     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
  48         apply (q_lt_trans ??? H3 H);]
  49 |3: intro; cases H4; clear H4;
  50     cases (value l1 input); simplify; cases (q_cmp input (start l1)) in H4; whd in ⊢ (% → ?);
  51     [1: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
  52         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
  53         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
  54         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
  55           symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O (bars l1) (\fst w2)); [apply le_n]
  56           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x;
  57           apply q_eq_to_le; reflexivity;]
  58         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
  59         cut (ⅆ[input,init] = Qpos w) as E; [2:
  60           rewrite > H2; rewrite < H4; rewrite > q_d_sym;
  61           rewrite > q_d_noabs; [reflexivity] apply q_lt_to_le; assumption;]
  62         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
  63         [1: cases (?:False); clear H5; simplify in H6;
  64             apply (q_lt_corefl ⅆ[input,init]);
  65             rewrite > E in ⊢ (??%); rewrite < q_plus_OQ in ⊢ (??%);
  66             rewrite > q_plus_sym; assumption;
  67         |2: cases n in H5 H6; [intros; reflexivity] intros;
  68             cases (?:False); clear H6; cases (bars l1) in H5; simplify; intros;
  69             [apply (q_pos_OQ one);|apply (q_pos_OQ (\fst b));]
  70             apply (q_le_S ??? (sum_bases_ge_OQ ? n1));[apply []|3:apply l]
  71             simplify in ⊢ (? (? (? % ?) ?) ?); rewrite < (q_plus_minus (Qpos w));
  72             rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r;
  73             rewrite > q_elim_opp; rewrite < E in ⊢ (??%); assumption;]
  74     |2: intros; rewrite > H8; rewrite > H7; clear H8 H7;
  75         simplify in H5 H6 ⊢ %;
  76         cases (\fst w1) in H5 H6; [intros; reflexivity]
  77         cases (bars l1);
  78         [1: intros; simplify; elim n [reflexivity] simplify; assumption;
  79         |2: simplify; intros; cases (?:False); clear H6;
  80             apply (q_lt_le_incompat (input - init) (Qpos w) );
  81             [1: rewrite > H2; do 2 rewrite > q_elim_minus;
  82                 apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
  83                 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  84                 rewrite > q_plus_minus;rewrite > q_plus_OQ; assumption;
  85             |2: rewrite < q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
  86                 rewrite > q_d_sym
  87
  88                 ; apply (q_le_S ???? H5);apply sum_bases_ge_OQ;]]
  89     |3: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
  90         simplify in H5 H6 ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
  91
  92 axiom nth_nil: ∀T,n.∀d:T. nth [] d n = d.
  93
  94
  95 lemma case1 :
  96   ∀init,st,input,l.
  97   init<st → st<input →
  98      ⅆ[input,init] < sum_bases l O + (st-init) → False.
  99 intros 6; rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:
 100   apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 101 do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc;
 102 intro X; lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y;
 103 simplify in Y; cases (?:False);
 104 apply (q_lt_corefl st); apply (q_lt_trans ??? H1);
 105 apply (q_lt_le_trans ??? Y); rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 106 apply q_eq_to_le; reflexivity;
 107 qed.
 108
 109 lemma case2:
 110  ∀a,l1,init,st,input,n.
 111   init < st → st < input →
 112   sum_bases (a::l1) n + (st-init) ≤ ⅆ[input,init] →
 113     ⅆ[input,st] < sum_bases l1 O + Qpos (\fst a) →
 114   n = O.
 115 intros; cut (input - st < Qpos (\fst a)) as H6';[2:
 116   rewrite < q_d_noabs;[2:apply q_lt_to_le; assumption]
 117   rewrite > q_d_sym; apply (q_lt_le_trans ??? H3);
 118   rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 119   apply q_eq_to_le; reflexivity] clear H3;
 120 generalize in match H2; rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs;
 121   [2: apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 122 do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc; intro X;
 123 lapply (q_le_canc_plus_r ??? X) as Y; clear X;
 124 lapply (q_le_inj_plus_r ?? (Qopp st) Y) as X; clear Y;
 125 cut (input + Qopp st < Qpos (\fst a)) as H6'';
 126   [2: rewrite < q_elim_minus; assumption;] clear H6';
 127 generalize in match (q_le_lt_trans ??? X H6''); clear X H6'';
 128 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
 129 rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ; cases n; intro X; [reflexivity]
 130 cases (?:False);
 131 apply (q_lt_le_incompat (sum_bases l1 n1) OQ);[2: apply sum_bases_ge_OQ;]
 132 apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos (\fst a)));
 133 rewrite >(q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ; apply X;
 134 qed.
 135
 136 lemma case3:
 137  ∀init,st,input,l1,a,n.
 138  init<st → st<input →
 139   ⅆ[input,init]<OQ+Qpos a+(st-init) →
 140   sum_bases l1 n+Qpos a≤ⅆ[input,st] → False.
 141 intros;
 142 cut (sum_bases l1 n - ⅆ[input,st] < Qopp ⅆ[input,init] + (st - init)); [2:
 143   cut (sum_bases l1 n≤ⅆ[input,st]-Qpos a) as H7';[2:
 144     apply (q_le_canc_plus_r ?? (Qpos a));
 145     apply (q_le_trans ??? H3); rewrite > q_elim_minus;
 146     rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
 147     rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
 148     apply q_eq_to_le; reflexivity;] clear H3;
 149   rewrite > q_elim_minus; apply (q_lt_canc_plus_r ?? ⅆ[input,st]);
 150   rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
 151   rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
 152   apply (q_le_lt_trans ??? H7'); clear H7'; rewrite > q_elim_minus;
 153   rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_inj_plus_r;
 154   rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_opp;
 155   rewrite > q_plus_sym; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos a));
 156   rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
 157   rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
 158   apply (q_lt_le_trans ??? H2); rewrite > (q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ;
 159   rewrite > q_plus_sym; apply q_eq_to_le; reflexivity;]
 160 generalize in match Hcut; clear H2 H3 Hcut;
 161 rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le; assumption]
 162 rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2: apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 163 rewrite < q_plus_sym; rewrite < q_elim_minus;
 164 rewrite > (q_elim_minus input init);
 165 rewrite >  q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
 166 rewrite > (q_elim_minus input st);
 167 rewrite >  q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
 168 repeat rewrite > q_elim_minus;
 169 rewrite < q_plus_assoc in ⊢ (??% → ?);
 170 rewrite > (q_plus_sym  (Qopp input) init);
 171 rewrite > q_plus_assoc;
 172 rewrite < q_plus_assoc in ⊢ (??(?%?) → ?);
 173 rewrite > (q_plus_sym  (Qopp init) init);
 174 rewrite < (q_elim_minus init); rewrite >q_plus_minus;
 175 rewrite > q_plus_OQ; rewrite > (q_plus_sym st);
 176 rewrite < q_plus_assoc;
 177 rewrite < (q_plus_OQ (Qopp input + st)) in ⊢ (??% → ?);
 178 rewrite > (q_plus_sym ? OQ); intro X;
 179 lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y; clear X;
 180 apply (q_lt_le_incompat ?? Y); apply sum_bases_ge_OQ;
 181 qed.
 182
 183 lemma key:
 184   ∀init,input,l1,w1,w2,w.
 185   Qpos w = start l1 - init →
 186   init < start l1 →
 187   start l1 < input →
 188   sum_bases (〈w,OQ〉::bars l1) w1 ≤ ⅆ[input,init] →
 189     ⅆ[input,init] < sum_bases (bars l1) w1 + (start l1-init) →
 190   sum_bases (bars l1) w2 ≤ ⅆ[input,start l1] →
 191     ⅆ[input,start l1] < sum_bases (bars l1) (S w2) →
 192     \snd (nth (bars l1) ▭ w2) = \snd (nth (〈w,OQ〉::bars l1) ▭ w1).
 193 intros 3 (init input l); cases l (st l);
 194 change in match (start (mk_q_f st l)) with st;
 195 change in match (bars (mk_q_f st l)) with l;
 196 elim l; clear l;
 197 [1: rewrite > nth_nil; cases w1 in H4;
 198     [1: intro X; cases (case1 ?????? X); assumption;
 199     |2: intros; simplify; rewrite > nth_nil; reflexivity;]
 200 |2: cases w1 in H4 H5; clear w1;
 201     [1: intros (Y X); cases (case1 ?????? X); assumption;
 202     |2: intros; simplify in H4 H5 H7 ⊢ %;
 203         generalize in match H6; generalize in match H7;
 204         generalize in match H4; generalize in match H5; clear H4 H5 H6 H7;
 205         apply (nat_elim2 ???? w2 n); clear w2 n; intros;
 206         [1: rewrite > (case2 a l1 init st input n); [reflexivity]
 207             try rewrite < H1; assumption;
 208         |2: simplify in H4 H7; cases (case3 ???????? H4 H7); assumption;
 209         |3: (* dipende se vanno oltre la lunghezza di l1,
 210                forse dovevo gestire il caso prima dell'induzione *)
 211             simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
 212             rewrite > (H (S m) ? w); [reflexivity] try assumption;
 213 STOP
 214
 215 qed.
 216
 217
 218
 219 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 220 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 221 definition rebase_spec ≝
 222  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
 223    And4
 224     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
 225     (start (\fst p) = start (\snd p))
 226     (same_bases (\fst p) (\snd p))
 227     (same_values l1 (\fst p))
 228     (same_values l2 (\snd p)).
 229
 230 definition rebase_spec_simpl ≝
 231  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 232    And3
 233     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
 234     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
 235     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
 236
 237 (* a local letin makes russell fail *)
 238 definition cb0h : list bar → list bar ≝
 239   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
 240
 241 definition eject ≝
 242   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 243 coercion eject.
 244 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 245 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 246
 247 definition rebase: rebase_spec.
 248 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 249 letin spec ≝ (
 250   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
 251 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
 252 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
 253 letin aux ≝ (
 254 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 255 match n with
 256 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 257 | S m ⇒
 258   match l1 with
 259   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 260   | cons he1 tl1 ⇒
 261      match l2 with
 262      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 263      | cons he2 tl2 ⇒
 264          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
 265          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
 266          let height1 ≝ (\snd he1) in
 267          let height2 ≝ (\snd he2) in
 268          match q_cmp base1 base2 with
 269          [ q_eq _ ⇒
 270              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 271              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 272          | q_lt Hp ⇒
 273              let rest ≝ base2 - base1 in
 274              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 275              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 276          | q_gt Hp ⇒
 277              let rest ≝ base1 - base2 in
 278              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 279              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 280 ]]]]
 281 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 282 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 283     cases (q_cmp s1 s2);
 284     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 285         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 286         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 287         [1,2: assumption;
 288         |3: intro; apply (H3 input);
 289         |4: intro; rewrite > H in H4;
 290             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 291     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 292           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 293           assumption]
 294         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 295         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 296         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 297         [1: reflexivity
 298         |2: assumption;
 299         |3: assumption;
 300         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 301             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 302             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 303             whd in ⊢ (% → ?);
 304             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 305                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 306                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 307                 whd in ⊢ (% → ?);
 308                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 309
 310             (* TODO *) ]]
 311 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 312       assumption;
 313 |3:(* TODO *)
 314 |4:(* TODO *)
 315 |5:(* TODO *)
 316 |6:(* TODO *)
 317 |7:(* TODO *)
 318 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 319 qed.