helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Q/q/q.ma".
  16 include "list/list.ma".
  17 include "cprop_connectives.ma".
  18
  19
  20 notation "\rationals" non associative with precedence 99 for @{'q}.
  21 interpretation "Q" 'q = Q.
  22
  23 definition bar ≝ ratio × ℚ. (* base (Qpos) , height *)
  24 record q_f : Type ≝ { start : ℚ; bars: list bar }.
  25
  26 axiom qp : ℚ → ℚ → ℚ.
  27 axiom qm : ℚ → ℚ → ℚ.
  28 axiom qlt : ℚ → ℚ → CProp.
  29
  30 interpretation "Q plus" 'plus x y = (qp x y).
  31 interpretation "Q minus" 'minus x y = (qm x y).
  32 interpretation "Q less than" 'lt x y = (qlt x y).
  33
  34 inductive q_comparison (a,b:ℚ) : CProp ≝
  35  | q_eq : a = b → q_comparison a b
  36  | q_lt : a < b → q_comparison a b
  37  | q_gt : b < a → q_comparison a b.
  38
  39 axiom q_cmp:∀a,b:ℚ.q_comparison a b.
  40
  41 definition qle ≝ λa,b:ℚ.a = b ∨ a < b.
  42
  43 interpretation "Q less or equal than" 'leq x y = (qle x y).
  44
  45 axiom q_le_minus: ∀a,b,c:ℚ. a ≤ c - b → a + b ≤ c.
  46 axiom q_le_minus_r: ∀a,b,c:ℚ. a - b ≤ c → a ≤ c + b.
  47 axiom q_lt_plus: ∀a,b,c:ℚ. a - b < c → a < c + b.
  48 axiom q_lt_minus: ∀a,b,c:ℚ. a + b < c → a < c - b.
  49
  50 axiom q_dist : ℚ → ℚ → ℚ.
  51
  52 notation "hbox(\dd [term 19 x, break term 19 y])" with precedence 90
  53 for @{'distance $x $y}.
  54 interpretation "ℚ distance" 'distance x y = (q_dist x y).
  55
  56 axiom q_dist_ge_OQ : ∀x,y:ℚ. OQ ≤ ⅆ[x,y].
  57
  58 axiom q_lt_to_le: ∀a,b:ℚ.a < b → a ≤ b.
  59 axiom q_le_to_diff_ge_OQ : ∀a,b.a ≤ b → OQ ≤ b-a.
  60 axiom q_plus_OQ: ∀x:ℚ.x + OQ = x.
  61 axiom q_plus_sym: ∀x,y:ℚ.x + y = y + x.
  62 axiom nat_of_q: ℚ → nat.
  63
  64 interpretation "list nth" 'nth = (nth _).
  65 interpretation "list nth" 'nth_appl l d i = (nth _ l d i).
  66 notation "'nth'" with precedence 90 for @{'nth}.
  67 notation < "'nth' \nbsp term 90 l \nbsp term 90 d \nbsp term 90 i"
  68 with precedence 69 for @{'nth_appl $l $d $i}.
  69
  70 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  71 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  72
  73 definition make_list ≝
  74   λA:Type.λdef:nat→A.
  75     let rec make_list (n:nat) on n ≝
  76       match n with [ O ⇒ nil ? | S m ⇒ def m :: make_list m]
  77     in make_list.
  78
  79 interpretation "'mk_list' appl" 'mk_list_appl f n = (make_list _ f n).
  80 interpretation "'mk_list'" 'mk_list = (make_list _).
  81 notation "'mk_list'" with precedence 90 for @{'mk_list}.
  82 notation < "'mk_list' \nbsp term 90 f \nbsp term 90 n"
  83 with precedence 69 for @{'mk_list_appl $f $n}.
  84
  85
  86 definition empty_bar : bar ≝ 〈one,OQ〉.
  87 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  88 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  89
  90 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  91 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  92
  93 notation "'len'" with precedence 90 for @{'len}.
  94 interpretation "len" 'len = (length _).
  95 notation < "'len' \nbsp term 90 l" with precedence 69 for @{'len_appl $l}.
  96 interpretation "len appl" 'len_appl l = (length _ l).
  97
  98 lemma len_mk_list : ∀T:Type.∀f:nat→T.∀n.len (mk_list f n) = n.
  99 intros; elim n; [reflexivity] simplify; rewrite > H; reflexivity;
 100 qed.
 101
 102 let rec sum_bases (l:list bar) (i:nat)on i ≝
 103     match i with
 104     [ O ⇒ OQ
 105     | S m ⇒
 106          match l with
 107          [ nil ⇒ sum_bases l m + Qpos one
 108          | cons x tl ⇒ sum_bases tl m + Qpos (\fst x)]].
 109
 110 axiom sum_bases_empty_nat_of_q_ge_OQ:
 111   ∀q:ℚ.OQ ≤ sum_bases [] (nat_of_q q).
 112 axiom sum_bases_empty_nat_of_q_le_q:
 113   ∀q:ℚ.sum_bases [] (nat_of_q q) ≤ q.
 114 axiom sum_bases_empty_nat_of_q_le_q_one:
 115   ∀q:ℚ.q < sum_bases [] (nat_of_q q) + Qpos one.
 116
 117 definition eject1 ≝
 118   λP.λp:∃x:nat × ℚ.P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 119 coercion eject1.
 120 definition inject1 ≝ λP.λp:nat × ℚ.λh:P p. ex_introT ? P p h.
 121 coercion inject1 with 0 1 nocomposites.
 122
 123 definition value :
 124   ∀f:q_f.∀i:ℚ.∃p:nat × ℚ.
 125    match q_cmp i (start f) with
 126    [ q_lt _ ⇒ \snd p = OQ
 127    | _ ⇒
 128         And3
 129          (sum_bases (bars f) (\fst p) ≤ ⅆ[i,start f])
 130          (ⅆ[i, start f] < sum_bases (bars f) (S (\fst p)))
 131          (\snd p = \snd (nth (bars f) ▭ (\fst p)))].
 132 intros;
 133 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 134 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 135 letin value ≝ (
 136   let rec value (p: ℚ) (l : list bar) on l ≝
 137     match l with
 138     [ nil ⇒ 〈nat_of_q p,OQ〉
 139     | cons x tl ⇒
 140         match q_cmp p (Qpos (\fst x)) with
 141         [ q_lt _ ⇒ 〈O, \snd x〉
 142         | _ ⇒
 143            let rc ≝ value (p - Qpos (\fst x)) tl in
 144            〈S (\fst rc),\snd rc〉]]
 145   in value :
 146   ∀acc,l.∃p:nat × ℚ. OQ ≤ acc →
 147      And3
 148        (sum_bases l (\fst p) ≤ acc)
 149        (acc < sum_bases l (S (\fst p)))
 150        (\snd p = \snd (nth l ▭ (\fst p))));
 151 [5: clearbody value;
 152     cases (q_cmp i (start f));
 153     [2: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; reflexivity;
 154     |*: cases (value ⅆ[i,start f] (bars f)) (p Hp);
 155         cases (Hp (q_dist_ge_OQ ? ?)); clear Hp value;
 156         exists[1,3:apply p]; simplify; split; assumption;]
 157 |1,3: intros; split;
 158     [1,4: clear H2; cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1);
 159            cases (H2 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 160           [1,3: intros; [right|left;symmetry] assumption]
 161           simplify; apply q_le_minus; assumption;
 162     |2,5: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1);
 163           cases (H4 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 164           [1,3: intros; [right|left;symmetry] assumption]
 165           clear H3 H2 value;
 166           change with (q < sum_bases l1 (S (\fst w)) + Qpos (\fst b));
 167           apply q_lt_plus; assumption;
 168     |*: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1); simplify;
 169         cases (H4 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 170         [1,3: intros; [right|left;symmetry] assumption]
 171         assumption;]
 172 |2: clear value H2; simplify; intros; split; [assumption|3:reflexivity]
 173     rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption;
 174 |4: simplify; intros; split;
 175     [1: apply sum_bases_empty_nat_of_q_le_q;
 176     |2: apply sum_bases_empty_nat_of_q_le_q_one;
 177     |3: elim (nat_of_q q); [reflexivity] simplify; assumption]]
 178 qed.
 179
 180
 181 definition same_values ≝
 182   λl1,l2:q_f.
 183    ∀input.\snd (\fst (value l1 input)) = \snd (\fst (value l2 input)).
 184
 185 definition same_bases ≝
 186   λl1,l2:q_f.
 187     (∀i.\fst (nth (bars l1) ▭ i) = \fst (nth (bars l2) ▭ i)).
 188
 189 axiom q_lt_corefl: ∀x:Q.x < x → False.
 190 axiom q_lt_antisym: ∀x,y:Q.x < y → y < x → False.
 191 axiom q_neg_gt: ∀r:ratio.OQ < Qneg r → False.
 192 axiom q_d_x_x: ∀x:Q.ⅆ[x,x] = OQ.
 193 axiom q_pos_OQ: ∀x.Qpos x ≤ OQ → False.
 194 axiom q_lt_plus_trans:
 195   ∀x,y:Q.OQ ≤ x → OQ < y → OQ < x + y.
 196 axiom q_pos_lt_OQ: ∀x.OQ < Qpos x.
 197 axiom q_le_plus_trans:
 198   ∀x,y:Q. OQ ≤ x → OQ ≤ y → OQ ≤ x + y.
 199 axiom q_lt_trans: ∀x,y,z:Q. x < y → y < z → x < z.
 200 axiom q_le_trans: ∀x,y,z:Q. x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 201 axiom q_d_noabs: ∀x,y. x ≤ y → ⅆ[x,y] = y - x.
 202 axiom q_d_sym:  ∀x,y. ⅆ[x,y] = ⅆ[y,x].
 203 axiom q_le_S: ∀x,y,z.OQ ≤ x → x + y ≤ z → y ≤ z.
 204 axiom q_plus_minus: ∀x.Qpos x + Qneg x = OQ.
 205 axiom q_minus: ∀x,y. y - Qpos x = y + Qneg x.
 206 axiom q_minus_r: ∀x,y. y + Qpos x = y - Qneg x.
 207 axiom q_plus_assoc: ∀x,y,z.x + (y + z) = x + y + z.
 208
 209 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 210 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 211 cases (?:False);
 212 [ apply (q_lt_corefl ? H)|apply (q_neg_gt ? H)]
 213 qed.
 214
 215 notation < "\blacksquare" non associative with precedence 90 for @{'hide}.
 216 definition hide ≝ λT:Type.λx:T.x.
 217 interpretation "hide" 'hide = (hide _ _).
 218
 219 lemma sum_bases_ge_OQ:
 220   ∀l,n. OQ ≤ sum_bases (bars l) n.
 221 intro; elim (bars l); simplify; intros;
 222 [1: elim n; [left;reflexivity] simplify;
 223     apply q_le_plus_trans; try assumption; apply q_lt_to_le; apply q_pos_lt_OQ;
 224 |2: cases n; [left;reflexivity] simplify;
 225     apply q_le_plus_trans; [apply H| apply q_lt_to_le; apply q_pos_lt_OQ;]]
 226 qed.
 227
 228 lemma sum_bases_O:
 229   ∀l:q_f.∀x.sum_bases (bars l) x ≤ OQ → x = O.
 230 intros; cases x in H; [intros; reflexivity] intro; cases (?:False);
 231 cases H;
 232 [1: apply (q_lt_corefl OQ); rewrite < H1 in ⊢ (?? %);
 233 |2: apply (q_lt_antisym ??? H1);] clear H H1; cases (bars l);
 234 simplify; apply q_lt_plus_trans;
 235 try apply q_pos_lt_OQ;
 236 try apply (sum_bases_ge_OQ (mk_q_f OQ []));
 237 apply (sum_bases_ge_OQ (mk_q_f OQ l1));
 238 qed.
 239
 240 lemma initial_shift_same_values:
 241   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
 242    same_values l1
 243      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
 244 [apply hide; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
 245 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
 246 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
 247 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
 248 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input);
 249 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? %));
 250 cases (q_cmp input (start (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)))) in H3;
 251 whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
 252 [1: intro; cases H4; clear H4; rewrite > H3;
 253     cases (value l1 init); simplify; cases (q_cmp init (start l1)) in H4;
 254     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl init); rewrite > H4 in ⊢ (?? %); apply H;
 255     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym init (start l1)); assumption;
 256     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
 257         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
 258         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
 259         rewrite > (sum_bases_O (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) (\fst w1)); [apply le_n]
 260         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));
 261         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
 262 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
 263     cases (q_cmp input (start l1)) in H5; whd in ⊢ (% → ?);
 264     [1: cases (?:False); clear w2 H4 w1 H2 w H1;
 265         apply (q_lt_antisym init (start l1)); [assumption] rewrite < H5; assumption
 266     |2: intros; rewrite > H6; clear H6; rewrite > H4; reflexivity;
 267     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
 268         apply (q_lt_trans ??? H3 H);]
 269 |3: intro; cases H4; clear H4;
 270     cases (value l1 input); simplify; cases (q_cmp input (start l1)) in H4; whd in ⊢ (% → ?);
 271     [1: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
 272         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
 273         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
 274         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
 275           symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O l1 (\fst w2)); [apply le_n]
 276           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x;
 277           left; reflexivity;]
 278         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
 279         cut (ⅆ[input,init] = Qpos w) as E; [2:
 280           rewrite > H2; rewrite < H4; rewrite > q_d_sym;
 281           rewrite > q_d_noabs; [reflexivity] right; assumption;]
 282         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
 283         [1: cases (?:False); clear H5; simplify in H6;
 284             apply (q_lt_corefl ⅆ[input,init]);
 285             rewrite > E in ⊢ (??%); rewrite < q_plus_OQ in ⊢ (??%);
 286             rewrite > q_plus_sym; assumption;
 287         |2: cases n in H5 H6; [intros; reflexivity] intros;
 288             cases (?:False); clear H6; cases (bars l1) in H5; simplify; intros;
 289             [apply (q_pos_OQ one);|apply (q_pos_OQ (\fst b));]
 290             apply (q_le_S ??? (sum_bases_ge_OQ (mk_q_f init ?) n1));[apply [];|3:apply l]
 291             simplify in ⊢ (? (? (? % ?) ?) ?); rewrite < (q_plus_minus w);
 292             apply q_le_minus_r; rewrite < q_minus_r;
 293             rewrite < E in ⊢ (??%); assumption;]
 294     |2: intros; rewrite > H8; rewrite > H7; clear H8 H7;
 295         simplify in H5 H6 ⊢ %;
 296         simplify in H5:(? ? (? ? %));
 297
 298
 299
 300 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 301 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 302 definition rebase_spec ≝
 303  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
 304    And4
 305     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
 306     (start (\fst p) = start (\snd p))
 307     (same_bases (\fst p) (\snd p))
 308     (same_values l1 (\fst p))
 309     (same_values l2 (\snd p)).
 310
 311 definition rebase_spec_simpl ≝
 312  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 313    And3
 314     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
 315     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
 316     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
 317
 318 (* a local letin makes russell fail *)
 319 definition cb0h : list bar → list bar ≝
 320   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
 321
 322 definition eject ≝
 323   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 324 coercion eject.
 325 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 326 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 327
 328 definition rebase: rebase_spec.
 329 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 330 letin spec ≝ (
 331   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
 332 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
 333 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
 334 letin aux ≝ (
 335 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 336 match n with
 337 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 338 | S m ⇒
 339   match l1 with
 340   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 341   | cons he1 tl1 ⇒
 342      match l2 with
 343      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 344      | cons he2 tl2 ⇒
 345          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
 346          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
 347          let height1 ≝ (\snd he1) in
 348          let height2 ≝ (\snd he2) in
 349          match q_cmp base1 base2 with
 350          [ q_eq _ ⇒
 351              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 352              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 353          | q_lt Hp ⇒
 354              let rest ≝ base2 - base1 in
 355              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 356              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 357          | q_gt Hp ⇒
 358              let rest ≝ base1 - base2 in
 359              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 360              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 361 ]]]]
 362 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 363 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 364     cases (q_cmp s1 s2);
 365     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 366         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 367         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 368         [1,2: assumption;
 369         |3: intro; apply (H3 input);
 370         |4: intro; rewrite > H in H4;
 371             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 372     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 373           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 374           assumption]
 375         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 376         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 377         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 378         [1: reflexivity
 379         |2: assumption;
 380         |3: assumption;
 381         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 382             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 383             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 384             whd in ⊢ (% → ?);
 385             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 386                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 387                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 388                 whd in ⊢ (% → ?);
 389                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 390
 391             (* TODO *) ]]
 392 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 393       assumption;
 394 |3:(* TODO *)
 395 |4:(* TODO *)
 396 |5:(* TODO *)
 397 |6:(* TODO *)
 398 |7:(* TODO *)
 399 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 400 qed.