helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "models/q_bars.ma".
  16
  17 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  18 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
  19 definition rebase_spec ≝
  20  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
  21    And4
  22     (start (\fst p) = start (\snd p))
  23     (same_bases (bars (\fst p)) (bars (\snd p)))
  24     (same_values l1 (\fst p))
  25     (same_values l2 (\snd p)).
  26
  27 definition rebase_spec_simpl ≝
  28  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
  29    And3
  30     (same_bases (\fst p) (\snd p))
  31     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
  32     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
  33
  34 (* a local letin makes russell fail *)
  35 definition cb0h : list bar → list bar ≝
  36   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
  37
  38 definition eject ≝
  39   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  40 coercion eject.
  41 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
  42 coercion inject with 0 1 nocomposites.
  43
  44 axiom devil : False.
  45
  46 definition rebase: rebase_spec.
  47 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
  48 letin spec ≝ (
  49   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
  50 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
  51 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
  52 letin aux ≝ (
  53 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
  54 match n with
  55 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
  56 | S m ⇒
  57   match l1 with
  58   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
  59   | cons he1 tl1 ⇒
  60      match l2 with
  61      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
  62      | cons he2 tl2 ⇒
  63          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
  64          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
  65          let height1 ≝ (\snd he1) in
  66          let height2 ≝ (\snd he2) in
  67          match q_cmp base1 base2 with
  68          [ q_eq _ ⇒
  69              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
  70              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
  71          | q_lt Hp ⇒
  72              let rest ≝ base2 - base1 in
  73              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
  74              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
  75          | q_gt Hp ⇒
  76              let rest ≝ base1 - base2 in
  77              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
  78              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
  79 ]]]]
  80 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
  81 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
  82     cases (q_cmp s1 s2);
  83     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
  84         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
  85         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
  86         [1,2: assumption;
  87         |3: intro; apply (H3 input);
  88         |4: intro; rewrite > H in H4;
  89             rewrite > (H4 input) in ⊢ (? ? % ?); reflexivity;]
  90     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
  91           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
  92           assumption]
  93         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
  94         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
  95         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
  96         [1: reflexivity
  97         |2: assumption;
  98         |3: assumption;
  99         |4: intro;
 100             rewrite > (initial_shift_same_values (mk_q_f s2 l2) s1 H input) in ⊢ (? ? % ?);
 101             rewrite < (H4 input)in ⊢ (? ? ? %); reflexivity;]
 102     |3: letin l1' ≝ (〈\fst (unpos (s1-s2) ?),OQ〉::l1);[
 103           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 104           assumption]
 105         cases (aux l1' l2 (S (len l1' + len l2)));
 106         cases (H1 s2 (le_n ?)); clear H1 aux;
 107         exists [apply 〈mk_q_f s2 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 108         [1: reflexivity
 109         |2: assumption;
 110         |4: assumption;
 111         |3: intro; simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))));
 112             rewrite > (initial_shift_same_values (mk_q_f s1 l1) s2 H input) in ⊢ (? ? % ?);
 113             rewrite < (H3 input) in ⊢ (? ? ? %); reflexivity;]]
 114 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 115       assumption;
 116 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);
 117 |3: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 118     simplify in ⊢ (???? (??? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??)))) ?));
 119     simplify in ⊢ (???? (???? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??))))));
 120     clear H4; cases (aux (〈w,\snd b〉::l4) l5 n1); clear aux;
 121     cut (len (〈w,\snd b〉::l4) + len l5 < n1) as K;[2:
 122       simplify in H5; simplify; rewrite > sym_plus in H5; simplify in H5;
 123       rewrite > sym_plus in H5; apply le_S_S_to_le; apply H5;]
 124     split;
 125     [1: simplify in ⊢ (? % ?); simplify in ⊢ (? ? %);
 126         cases (H4 s K); clear K H4; intro input; cases input; [reflexivity]
 127         simplify; apply H7;
 128     |2: simplify in ⊢ (? ? %); cases (H4 s K); clear H4 K H5 spec;
 129         intro;
 130         (* input < s + b1 || input >= s + b1 *)
 131     |3: simplify in ⊢ (? ? %);]
 132 |4: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 133     (* duale del 3 *)
 134 |5: intros; (* triviale, caso in cui non fa nulla *)
 135 |6,7: (* casi base in cui allunga la lista più corta *)
 136 ]
 137 elim devil;
 138 qed.
 139
 140 include "Q/q/qtimes.ma".
 141
 142 let rec area (l:list bar) on l ≝
 143   match l with
 144   [ nil ⇒ OQ
 145   | cons he tl ⇒ area tl + Qpos (\fst he) * ⅆ[OQ,\snd he]].
 146
 147 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 148 alias symbol "minus" = "Q minus".
 149 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 150 definition minus_spec_bar ≝
 151  λf,g,h:list bar.
 152    same_bases f g → len f = len g →
 153      ∀s,i:ℚ. \snd (\fst (value (mk_q_f s h) i)) =
 154        \snd (\fst (value (mk_q_f s f) i)) - \snd (\fst (value (mk_q_f s g) i)).
 155
 156 definition minus_spec ≝
 157  λf,g:q_f.
 158    ∃h:q_f.
 159      ∀i:ℚ. \snd (\fst (value h i)) =
 160        \snd (\fst (value f i)) - \snd (\fst (value g i)).
 161
 162 definition eject_bar : ∀P:list bar → CProp.(∃l:list bar.P l) → list bar ≝
 163  λP.λp.match p with [ex_introT x _ ⇒ x].
 164 definition inject_bar ≝ ex_introT (list bar).
 165
 166 coercion inject_bar with 0 1 nocomposites.
 167 coercion eject_bar with 0 0 nocomposites.
 168
 169 lemma minus_q_f : ∀f,g. minus_spec f g.
 170 intros;
 171 letin aux ≝ (
 172   let rec aux (l1, l2 : list bar) on l1 ≝
 173     match l1 with
 174     [ nil ⇒ []
 175     | cons he1 tl1 ⇒
 176         match l2 with
 177         [ nil ⇒ []
 178         | cons he2 tl2 ⇒ 〈\fst he1, \snd he1 - \snd he2〉 :: aux tl1 tl2]]
 179   in aux : ∀l1,l2 : list bar.∃h.minus_spec_bar l1 l2 h);
 180 [2: intros 4; simplify in H3; destruct H3;
 181 |3: intros 4; simplify in H3; cases l1 in H2; [2: intro X; simplify in X; destruct X]
 182     intros; rewrite > (value_OQ_e (mk_q_f s []) i); [2: reflexivity]
 183     rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_OQ; reflexivity;
 184 |1: cases (aux l2 l3); unfold in H2; intros 4;
 185     simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))) ?);
 186     cases (q_cmp i (s + Qpos (\fst b)));
 187
 188
 189
 190 definition excess ≝
 191   λf,g.∃i.\snd (\fst (value f i)) < \snd (\fst (value g i)).
 192