helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 lemma initial_shift_same_values:
  19   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
  20    same_values l1
  21      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
  22 [apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
  23 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
  24 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
  25 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
  26 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input) (v1 Hv1);
  27 (*cases (value l1 input) (v2 Hv2); *)
  28 cases Hv1 (HV1 HV1 HV1 HV1); (* cases Hv2 (HV2 HV2 HV2 HV2); clear Hv1 Hv2; *)
  29 cases HV1 (Hi1 Hv11 Hv12); (*cases HV2 (Hi2 Hv21 Hv22);*) clear HV1 (*HV2*);
  30 (* simplify; *)
  31 rewrite > Hv12; (*rewrite > Hv22;*) try reflexivity;
  32 [1: simplify in Hi1; cases (?:False);
  33     apply (q_lt_corefl (start l1)); cases (Hi2);
  34     autobatch by Hi2, Hi1, q_le_trans, H4, H, q_le_lt_trans, q_lt_le_trans.
  35 |2: simplify in Hi1; cases (?:False);
  36     apply (q_lt_corefl (start l1+sum_bases (bars l1) (len (bars l1))));
  37     cases Hi2; apply (q_le_lt_trans ???? H5);
  38     apply (q_le_trans ???? Hi1);
  39     rewrite > H2; rewrite > (q_plus_sym ? (start l1-init));
  40     rewrite > q_plus_assoc; apply q_le_inj_plus_r;
  41     apply q_eq_to_le;
  42     rewrite > q_elim_minus; rewrite > (q_plus_sym (start l1));
  43     rewrite > q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  44     rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
  45     reflexivity;
  46 |3: simplify in Hi1; destruct Hi1;
  47 |4: simplify in Hi1 H3 Hv12 Hv11 ⊢ %; cases H3; clear H3;
  48     cases (\fst v1) in H4; [intros;reflexivity] intros;
  49     simplify; simplify in H3;
  50
  51
  52
  53
  54
  55 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? %));
  56 cases (q_cmp input (start (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)))) in H3;
  57 whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
  58 [1: intro; cases H4; clear H4; rewrite > H3;
  59     cases (value l1 init); simplify; cases (q_cmp init (start l1)) in H4;
  60     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl init); rewrite > H4 in ⊢ (?? %); apply H;
  61     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym init (start l1)); assumption;
  62     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
  63         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
  64         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
  65         rewrite > (sum_bases_O (〈w,OQ〉::bars l1) (\fst w1)); [apply le_n]
  66         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));
  67         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
  68 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  69     cases (q_cmp input (start l1)) in H5; whd in ⊢ (% → ?);
  70     [1: cases (?:False); clear w2 H4 w1 H2 w H1;
  71         apply (q_lt_antisym init (start l1)); [assumption] rewrite < H5; assumption
  72     |2: intros; rewrite > H6; clear H6; rewrite > H4; reflexivity;
  73     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
  74         apply (q_lt_trans ??? H3 H);]
  75 |3: intro; cases H4; clear H4;
  76     cases (value l1 input); simplify; cases (q_cmp input (start l1)) in H4; whd in ⊢ (% → ?);
  77     [1: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
  78         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
  79         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
  80         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
  81           symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O (bars l1) (\fst w2)); [apply le_n]
  82           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x;
  83           apply q_eq_to_le; reflexivity;]
  84         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
  85         cut (ⅆ[input,init] = Qpos w) as E; [2:
  86           rewrite > H2; rewrite < H4; rewrite > q_d_sym;
  87           rewrite > q_d_noabs; [reflexivity] apply q_lt_to_le; assumption;]
  88         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
  89         [1: cases (?:False); clear H5; simplify in H6;
  90             apply (q_lt_corefl ⅆ[input,init]);
  91             rewrite > E in ⊢ (??%); rewrite < q_plus_OQ in ⊢ (??%);
  92             rewrite > q_plus_sym; assumption;
  93         |2: cases n in H5 H6; [intros; reflexivity] intros;
  94             cases (?:False); clear H6; cases (bars l1) in H5; simplify; intros;
  95             [apply (q_pos_OQ one);|apply (q_pos_OQ (\fst b));]
  96             apply (q_le_S ??? (sum_bases_ge_OQ ? n1));[apply []|3:apply l]
  97             simplify in ⊢ (? (? (? % ?) ?) ?); rewrite < (q_plus_minus (Qpos w));
  98             rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r;
  99             rewrite > q_elim_opp; rewrite < E in ⊢ (??%); assumption;]
 100     |2: intros; rewrite > H8; rewrite > H7; clear H8 H7;
 101         simplify in H5 H6 ⊢ %;
 102         cases (\fst w1) in H5 H6; [intros; reflexivity]
 103         cases (bars l1);
 104         [1: intros; simplify; elim n [reflexivity] simplify; assumption;
 105         |2: simplify; intros; cases (?:False); clear H6;
 106             apply (q_lt_le_incompat (input - init) (Qpos w) );
 107             [1: rewrite > H2; do 2 rewrite > q_elim_minus;
 108                 apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
 109                 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
 110                 rewrite > q_plus_minus;rewrite > q_plus_OQ; assumption;
 111             |2: rewrite < q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 112                 rewrite > q_d_sym
 113
 114                 ; apply (q_le_S ???? H5);apply sum_bases_ge_OQ;]]
 115     |3: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
 116         simplify in H5 H6 ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
 117
 118 axiom nth_nil: ∀T,n.∀d:T. nth [] d n = d.
 119
 120
 121 lemma case1 :
 122   ∀init,st,input,l.
 123   init<st → st<input →
 124      ⅆ[input,init] < sum_bases l O + (st-init) → False.
 125 intros 6; rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:
 126   apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 127 do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc;
 128 intro X; lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y;
 129 simplify in Y; cases (?:False);
 130 apply (q_lt_corefl st); apply (q_lt_trans ??? H1);
 131 apply (q_lt_le_trans ??? Y); rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 132 apply q_eq_to_le; reflexivity;
 133 qed.
 134
 135 lemma case2:
 136  ∀a,l1,init,st,input,n.
 137   init < st → st < input →
 138   sum_bases (a::l1) n + (st-init) ≤ ⅆ[input,init] →
 139     ⅆ[input,st] < sum_bases l1 O + Qpos (\fst a) →
 140   n = O.
 141 intros; cut (input - st < Qpos (\fst a)) as H6';[2:
 142   rewrite < q_d_noabs;[2:apply q_lt_to_le; assumption]
 143   rewrite > q_d_sym; apply (q_lt_le_trans ??? H3);
 144   rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 145   apply q_eq_to_le; reflexivity] clear H3;
 146 generalize in match H2; rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs;
 147   [2: apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 148 do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc; intro X;
 149 lapply (q_le_canc_plus_r ??? X) as Y; clear X;
 150 lapply (q_le_inj_plus_r ?? (Qopp st) Y) as X; clear Y;
 151 cut (input + Qopp st < Qpos (\fst a)) as H6'';
 152   [2: rewrite < q_elim_minus; assumption;] clear H6';
 153 generalize in match (q_le_lt_trans ??? X H6''); clear X H6'';
 154 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
 155 rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ; cases n; intro X; [reflexivity]
 156 cases (?:False);
 157 apply (q_lt_le_incompat (sum_bases l1 n1) OQ);[2: apply sum_bases_ge_OQ;]
 158 apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos (\fst a)));
 159 rewrite >(q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ; apply X;
 160 qed.
 161
 162 lemma case3:
 163  ∀init,st,input,l1,a,n.
 164  init<st → st<input →
 165   ⅆ[input,init]<OQ+Qpos a+(st-init) →
 166   sum_bases l1 n+Qpos a≤ⅆ[input,st] → False.
 167 intros;
 168 cut (sum_bases l1 n - ⅆ[input,st] < Qopp ⅆ[input,init] + (st - init)); [2:
 169   cut (sum_bases l1 n≤ⅆ[input,st]-Qpos a) as H7';[2:
 170     apply (q_le_canc_plus_r ?? (Qpos a));
 171     apply (q_le_trans ??? H3); rewrite > q_elim_minus;
 172     rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
 173     rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
 174     apply q_eq_to_le; reflexivity;] clear H3;
 175   rewrite > q_elim_minus; apply (q_lt_canc_plus_r ?? ⅆ[input,st]);
 176   rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
 177   rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
 178   apply (q_le_lt_trans ??? H7'); clear H7'; rewrite > q_elim_minus;
 179   rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_inj_plus_r;
 180   rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_opp;
 181   rewrite > q_plus_sym; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos a));
 182   rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
 183   rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
 184   apply (q_lt_le_trans ??? H2); rewrite > (q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ;
 185   rewrite > q_plus_sym; apply q_eq_to_le; reflexivity;]
 186 generalize in match Hcut; clear H2 H3 Hcut;
 187 rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le; assumption]
 188 rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2: apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
 189 rewrite < q_plus_sym; rewrite < q_elim_minus;
 190 rewrite > (q_elim_minus input init);
 191 rewrite >  q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
 192 rewrite > (q_elim_minus input st);
 193 rewrite >  q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
 194 repeat rewrite > q_elim_minus;
 195 rewrite < q_plus_assoc in ⊢ (??% → ?);
 196 rewrite > (q_plus_sym  (Qopp input) init);
 197 rewrite > q_plus_assoc;
 198 rewrite < q_plus_assoc in ⊢ (??(?%?) → ?);
 199 rewrite > (q_plus_sym  (Qopp init) init);
 200 rewrite < (q_elim_minus init); rewrite >q_plus_minus;
 201 rewrite > q_plus_OQ; rewrite > (q_plus_sym st);
 202 rewrite < q_plus_assoc;
 203 rewrite < (q_plus_OQ (Qopp input + st)) in ⊢ (??% → ?);
 204 rewrite > (q_plus_sym ? OQ); intro X;
 205 lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y; clear X;
 206 apply (q_lt_le_incompat ?? Y); apply sum_bases_ge_OQ;
 207 qed.
 208
 209 lemma key:
 210   ∀init,input,l1,w1,w2,w.
 211   Qpos w = start l1 - init →
 212   init < start l1 →
 213   start l1 < input →
 214   sum_bases (〈w,OQ〉::bars l1) w1 ≤ ⅆ[input,init] →
 215     ⅆ[input,init] < sum_bases (bars l1) w1 + (start l1-init) →
 216   sum_bases (bars l1) w2 ≤ ⅆ[input,start l1] →
 217     ⅆ[input,start l1] < sum_bases (bars l1) (S w2) →
 218     \snd (nth (bars l1) ▭ w2) = \snd (nth (〈w,OQ〉::bars l1) ▭ w1).
 219 intros 3 (init input l); cases l (st l);
 220 change in match (start (mk_q_f st l)) with st;
 221 change in match (bars (mk_q_f st l)) with l;
 222 elim l; clear l;
 223 [1: rewrite > nth_nil; cases w1 in H4;
 224     [1: intro X; cases (case1 ?????? X); assumption;
 225     |2: intros; simplify; rewrite > nth_nil; reflexivity;]
 226 |2: cases w1 in H4 H5; clear w1;
 227     [1: intros (Y X); cases (case1 ?????? X); assumption;
 228     |2: intros; simplify in H4 H5 H7 ⊢ %;
 229         generalize in match H6; generalize in match H7;
 230         generalize in match H4; generalize in match H5; clear H4 H5 H6 H7;
 231         apply (nat_elim2 ???? w2 n); clear w2 n; intros;
 232         [1: rewrite > (case2 a l1 init st input n); [reflexivity]
 233             try rewrite < H1; assumption;
 234         |2: simplify in H4 H7; cases (case3 ???????? H4 H7); assumption;
 235         |3: (* dipende se vanno oltre la lunghezza di l1,
 236                forse dovevo gestire il caso prima dell'induzione *)
 237             simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
 238             rewrite > (H (S m) ? w); [reflexivity] try assumption;
 239 STOP
 240
 241 qed.
 242
 243
 244
 245 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 246 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 247 definition rebase_spec ≝
 248  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
 249    And4
 250     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
 251     (start (\fst p) = start (\snd p))
 252     (same_bases (\fst p) (\snd p))
 253     (same_values l1 (\fst p))
 254     (same_values l2 (\snd p)).
 255
 256 definition rebase_spec_simpl ≝
 257  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 258    And3
 259     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
 260     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
 261     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
 262
 263 (* a local letin makes russell fail *)
 264 definition cb0h : list bar → list bar ≝
 265   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
 266
 267 definition eject ≝
 268   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 269 coercion eject.
 270 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 271 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 272
 273 definition rebase: rebase_spec.
 274 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 275 letin spec ≝ (
 276   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
 277 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
 278 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
 279 letin aux ≝ (
 280 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 281 match n with
 282 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 283 | S m ⇒
 284   match l1 with
 285   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 286   | cons he1 tl1 ⇒
 287      match l2 with
 288      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 289      | cons he2 tl2 ⇒
 290          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
 291          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
 292          let height1 ≝ (\snd he1) in
 293          let height2 ≝ (\snd he2) in
 294          match q_cmp base1 base2 with
 295          [ q_eq _ ⇒
 296              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 297              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 298          | q_lt Hp ⇒
 299              let rest ≝ base2 - base1 in
 300              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 301              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 302          | q_gt Hp ⇒
 303              let rest ≝ base1 - base2 in
 304              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 305              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 306 ]]]]
 307 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 308 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 309     cases (q_cmp s1 s2);
 310     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 311         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 312         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 313         [1,2: assumption;
 314         |3: intro; apply (H3 input);
 315         |4: intro; rewrite > H in H4;
 316             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 317     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 318           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 319           assumption]
 320         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 321         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 322         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 323         [1: reflexivity
 324         |2: assumption;
 325         |3: assumption;
 326         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 327             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 328             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 329             whd in ⊢ (% → ?);
 330             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 331                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 332                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 333                 whd in ⊢ (% → ?);
 334                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 335
 336             (* TODO *) ]]
 337 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 338       assumption;
 339 |3:(* TODO *)
 340 |4:(* TODO *)
 341 |5:(* TODO *)
 342 |6:(* TODO *)
 343 |7:(* TODO *)
 344 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 345 qed.