helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 lemma initial_shift_same_values:
  19   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
  20    same_values l1
  21      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
  22 [apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
  23 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
  24 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
  25 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
  26 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input) (v1 Hv1);
  27 cases Hv1 (HV1 HV1 HV1 HV1); cases HV1 (Hi1 Hv11 Hv12); clear HV1 Hv1;
  28 [1: cut (input < start l1) as K;[2: apply (q_lt_trans ??? Hi1 H)]
  29     rewrite > (value_OQ_l ?? K); simplify; symmetry; assumption;
  30 |2: cut (start l1 + sum_bases (bars l1) (len (bars l1)) ≤ input) as K;[2:
  31       simplify in Hi1; apply (q_le_trans ???? Hi1); rewrite > H2;
  32       rewrite > q_plus_sym in ⊢ (? ? (? ? %));
  33       rewrite > q_plus_assoc; rewrite > q_elim_minus;
  34       rewrite > q_plus_sym in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?));
  35       rewrite > q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  36       rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_sym in ⊢ (? ? (? % ?));
  37       rewrite > q_plus_OQ; apply q_eq_to_le; reflexivity;]
  38     rewrite > (value_OQ_r ?? K); simplify; symmetry; assumption;
  39 |3: simplify in Hi1; destruct Hi1;
  40 |4:
  41
  42 STOP
  43
  44 qed.
  45
  46
  47
  48 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  49 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
  50 definition rebase_spec ≝
  51  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
  52    And4
  53     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
  54     (start (\fst p) = start (\snd p))
  55     (same_bases (\fst p) (\snd p))
  56     (same_values l1 (\fst p))
  57     (same_values l2 (\snd p)).
  58
  59 definition rebase_spec_simpl ≝
  60  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
  61    And3
  62     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
  63     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
  64     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
  65
  66 (* a local letin makes russell fail *)
  67 definition cb0h : list bar → list bar ≝
  68   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
  69
  70 definition eject ≝
  71   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  72 coercion eject.
  73 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
  74 coercion inject with 0 1 nocomposites.
  75
  76 definition rebase: rebase_spec.
  77 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
  78 letin spec ≝ (
  79   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
  80 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
  81 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
  82 letin aux ≝ (
  83 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
  84 match n with
  85 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
  86 | S m ⇒
  87   match l1 with
  88   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
  89   | cons he1 tl1 ⇒
  90      match l2 with
  91      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
  92      | cons he2 tl2 ⇒
  93          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
  94          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
  95          let height1 ≝ (\snd he1) in
  96          let height2 ≝ (\snd he2) in
  97          match q_cmp base1 base2 with
  98          [ q_eq _ ⇒
  99              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 100              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 101          | q_lt Hp ⇒
 102              let rest ≝ base2 - base1 in
 103              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 104              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 105          | q_gt Hp ⇒
 106              let rest ≝ base1 - base2 in
 107              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 108              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 109 ]]]]
 110 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 111 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 112     cases (q_cmp s1 s2);
 113     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 114         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 115         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 116         [1,2: assumption;
 117         |3: intro; apply (H3 input);
 118         |4: intro; rewrite > H in H4;
 119             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 120     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 121           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 122           assumption]
 123         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 124         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 125         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 126         [1: reflexivity
 127         |2: assumption;
 128         |3: assumption;
 129         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 130             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 131             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 132             whd in ⊢ (% → ?);
 133             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 134                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 135                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 136                 whd in ⊢ (% → ?);
 137                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 138
 139             (* TODO *) ]]
 140 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 141       assumption;
 142 |3:(* TODO *)
 143 |4:(* TODO *)
 144 |5:(* TODO *)
 145 |6:(* TODO *)
 146 |7:(* TODO *)
 147 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 148 qed.