helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_rebase.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "models/q_function.ma".
  16
  17 alias symbol "lt" = "Q less than".
  18 alias symbol "Q" = "Rationals".
  19 axiom q_unlimited: ∀x:ℚ.∃y:ratio.x<Qpos y.
  20 axiom q_halving: ∀x,y:ℚ.∃z:ℚ.x<z ∧ z<y.
  21 alias symbol "not" = "logical not".
  22 axiom q_not_OQ_lt_Qneg: ∀r. ¬ (OQ < Qneg r).
  23 lemma same_values_unit_OQ:
  24   ∀b1,b2,h1,l. OQ < b2 → b2 < b1 → sorted q2_lt (〈b1,h1〉::l) →
  25     sorted q2_lt  [〈b2,〈OQ,OQ〉〉] →
  26     same_values_simpl (〈b1,h1〉::l) [〈b2,〈OQ,OQ〉〉]  → h1 = 〈OQ,OQ〉.
  27 intros 5 (b1 b2 h1 l POS); cases l;
  28 [1: intros; cases (q_unlimited b1); cut (b2 < Qpos w); [2:apply (q_lt_trans ??? H H4);]
  29     lapply (H3 H1 ? H2 ? w H4 Hcut) as K; simplify; [1,2: autobatch]
  30     rewrite > (value_unit 〈b1,h1〉) in K;
  31     rewrite > (value_unit 〈b2,〈OQ,OQ〉〉) in K; assumption;
  32 |2: intros; unfold in H3; lapply depth=0 (H3 H1 ? H2 ?) as K; [1,2:simplify; autobatch]
  33     clear H3; cases (q_halving b1 (b1 + \fst p)) (w Pw); cases w in Pw; intros;
  34     [cases (q_lt_le_incompat ?? POS); apply q_lt_to_le; cases H3;
  35      apply (q_lt_trans ???? H4); assumption;
  36     |3: elim H3; lapply (q_lt_trans ??? H H4); lapply (q_lt_trans ??? POS Hletin);
  37         cases (q_not_OQ_lt_Qneg ? Hletin1);
  38     | cases H3; lapply (K r);
  39       [2: simplify; assumption
  40       |3: simplify; apply (q_lt_trans ???? H4); assumption;
  41       |rewrite > (value_head b1,h1 .. q) in Hletin;
  42
  43
  44
  45  (* MANCA che le basi sono positive,
  46                poi con halving prendi tra b1 e \fst p e hai h1=OQ,OQ*)
  47
  48
  49 definition eject ≝
  50   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  51 coercion eject.
  52 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
  53 coercion inject with 0 1 nocomposites.
  54
  55 definition rebase: ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.rebase_spec l1 l2 p.
  56 intros 2 (f1 f2); cases f1 (b1 Hs1 Hb1 He1); cases f2 (b2 Hs2 Hb2 He2); clear f1 f2;
  57 alias symbol "leq" = "natural 'less or equal to'".
  58 alias symbol "minus" = "Q minus".
  59 letin aux ≝ (
  60 let rec aux (l1,l2:list bar) (n : nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
  61 match n with
  62 [ O ⇒ 〈[], []〉
  63 | S m ⇒
  64   match l1 with
  65   [ nil ⇒ 〈copy l2, l2〉
  66   | cons he1 tl1 ⇒
  67      match l2 with
  68      [ nil ⇒ 〈l1, copy l1〉
  69      | cons he2 tl2 ⇒
  70          let base1 ≝ \fst he1 in
  71          let base2 ≝ \fst he2 in
  72          let height1 ≝ \snd he1 in
  73          let height2 ≝ \snd he2 in
  74          match q_cmp base1 base2 with
  75          [ q_leq Hp1 ⇒
  76              match q_cmp base2 base1 with
  77              [ q_leq Hp2 ⇒
  78                  let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
  79                  〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
  80              | q_gt Hp ⇒
  81                  let rest ≝ base2 - base1 in
  82                  let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
  83                  〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉]
  84          | q_gt Hp ⇒
  85              let rest ≝ base1 - base2 in
  86              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
  87              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉]]]]
  88 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.\len l1 + \len l2 ≤ m → rebase_spec_aux l1 l2 z);
  89 [7: clearbody aux; cases (aux b1 b2 (\len b1 + \len b2)) (res Hres);
  90     exists; [split; constructor 1; [apply (\fst res)|5:apply (\snd res)]]
  91     [1,4: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); assumption;
  92     |2,5: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); clear Hres aux;
  93           lapply (H3 O) as K; clear H1 H2 H3 H4 H5; unfold nth_base;
  94           cases H in K He1 He2 Hb1 Hb2; simplify; intros; assumption;
  95     |3,6: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); clear Hres aux;
  96           cases H in He1 He2; simplify; intros;
  97           [1,6,8,12: assumption;
  98           |2,7: rewrite > len_copy; generalize in match (\len ?); intro X;
  99                 cases X; [1,3: reflexivity] simplify;
 100                 [apply (copy_OQ ys n);|apply (copy_OQ xs n);]
 101           |3,4: rewrite < H6; assumption;
 102           |5: cases r1 in H6; simplify; intros; [reflexivity] rewrite < H6; assumption;
 103           |9,11: rewrite < H7; assumption;
 104           |10: cases r2 in H7; simplify; intros; [reflexivity] rewrite < H7; assumption]]
 105     split; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); clear Hres; unfold same_values; intros;
 106     [1: assumption
 107     |2,3: simplify in match (\snd 〈?,?〉); simplify in match (\fst 〈?,?〉);
 108         apply same_values_simpl_to_same_values; assumption]
 109 |3: cut (\fst b3 = \fst b) as E; [2: apply q_le_to_le_to_eq; assumption]
 110     clear H6 H5 H4 H3 He2 Hb2 Hs2 b2 He1 Hb1 Hs1 b1; cases (aux l2 l3 n1) (rc Hrc);
 111     clear aux; intro K; simplify in K; rewrite <plus_n_Sm in K;
 112     lapply le_S_S_to_le to K as W; lapply lt_to_le to W as R;
 113     simplify in match (? ≪rc,Hrc≫); intros (Hsbl2 Hendbl2 Hsb3l3 Hendb3l3);
 114     change in Hendbl2 with (\snd (\last ▭ (b::l2)) = 〈OQ,OQ〉);
 115     change in Hendb3l3 with (\snd (\last ▭ (b3::l3)) = 〈OQ,OQ〉);
 116     cases (Hrc R) (RC S1 S2 SB SV1 SV2); clear Hrc R W K;
 117       [2,4: apply (sorted_tail q2_lt);[apply b|3:apply b3]assumption;
 118       |3: cases l2 in Hendbl2; simplify; intros; [reflexivity] assumption;
 119       |5: cases l3 in Hendb3l3; simplify; intros; [reflexivity] assumption;]
 120     constructor 1; simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉);
 121     [1: cases b in E Hsbl2 Hendbl2; cases b3 in Hsb3l3 Hendb3l3; intros (Hsbl3 Hendbl2 E Hsb3l2 Hendb3l3);
 122         simplify in E; destruct E; constructor 3;
 123         [1: clear Hendbl2 Hsbl3 SV2 SB S2;
 124             cases RC in S1 SV1 Hsb3l2 Hendb3l3; intros;
 125             [1,6: reflexivity;
 126             |3,4: assumption;
 127             |5: simplify in H6:(??%) ⊢ %; rewrite > H3; cases r1 in H6; intros [2:reflexivity]
 128                 use same_values_unit_OQ;
 129
 130             |2: simplify in H3:(??%) ⊢ %; rewrite > H3; rewrite > len_copy; elim (\len ys); [reflexivity]
 131           symmetry; apply (copy_OQ ys n2);
 132         | cases H8 in H5 H7; simplify; intros; [2,6:reflexivity|3,4,5: assumption]
 133           simplify; rewrite > H5; rewrite > len_copy; elim (\len xs); [reflexivity]
 134           symmetry; apply (copy_OQ xs n2);]
 135     |2: apply (aux_preserves_sorting ? b3 ??? H8); assumption;
 136     |3: apply (aux_preserves_sorting2 ? b3 ??? H8); try assumption;
 137         try reflexivity; cases (inversion_sorted ?? H4);[2:rewrite >H3; apply (sorted_one q2_lt);]
 138         cases l2 in H3 H4; intros; [apply (sorted_one q2_lt)]
 139         apply (sorted_cons q2_lt);[2:apply (sorted_tail q2_lt ?? H3);] whd;
 140         rewrite > E; assumption;
 141     |4: apply I
 142     |5: apply I
 143     |6: intro; elim i; intros; simplify; solve [symmetry;assumption|apply H13]
 144     |7: unfold; intros; clear H9 H10 H11 H12 H13; simplify in Hi1 Hi2 H16 H18;
 145        cases H8 in H14 H15 H17 H3 H16 H18 H5 H6;
 146        simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉); intros;
 147        [1: reflexivity;
 148        |2: simplify in H3; rewrite > (value_unit b); rewrite > H3; symmetry;
 149            cases b in H3 H12 Hi2; intros 2; simplify in H12; rewrite > H12;
 150            intros; change in ⊢ (? ? (? % ? ? ? ?) ?) with (copy (〈q,〈OQ,OQ〉〉::〈b1,〈OQ,OQ〉〉::ys));
 151            apply (value_copy (〈q,〈OQ,OQ〉〉::〈b1,〈OQ,OQ〉〉::ys));
 152        |3: apply (same_value_tail b b1 h1 h3 xs r1 input); assumption;
 153        |4: apply (same_value_tail b b1 h1 h1 xs r1 input); assumption;
 154        |5: simplify in H9; STOP
 155
 156        |6: reflexivity;]
 157
 158             ]
 159     |8:
 160
 161
 162 include "Q/q/qtimes.ma".
 163
 164 let rec area (l:list bar) on l ≝
 165   match l with
 166   [ nil ⇒ OQ
 167   | cons he tl ⇒ area tl + Qpos (\fst he) * ⅆ[OQ,\snd he]].
 168
 169 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 170 alias symbol "minus" = "Q minus".
 171 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 172 definition minus_spec_bar ≝
 173  λf,g,h:list bar.
 174    same_bases f g → len f = len g →
 175      ∀s,i:ℚ. \snd (\fst (value (mk_q_f s h) i)) =
 176        \snd (\fst (value (mk_q_f s f) i)) - \snd (\fst (value (mk_q_f s g) i)).
 177
 178 definition minus_spec ≝
 179  λf,g:q_f.
 180    ∃h:q_f.
 181      ∀i:ℚ. \snd (\fst (value h i)) =
 182        \snd (\fst (value f i)) - \snd (\fst (value g i)).
 183
 184 definition eject_bar : ∀P:list bar → CProp.(∃l:list bar.P l) → list bar ≝
 185  λP.λp.match p with [ex_introT x _ ⇒ x].
 186 definition inject_bar ≝ ex_introT (list bar).
 187
 188 coercion inject_bar with 0 1 nocomposites.
 189 coercion eject_bar with 0 0 nocomposites.
 190
 191 lemma minus_q_f : ∀f,g. minus_spec f g.
 192 intros;
 193 letin aux ≝ (
 194   let rec aux (l1, l2 : list bar) on l1 ≝
 195     match l1 with
 196     [ nil ⇒ []
 197     | cons he1 tl1 ⇒
 198         match l2 with
 199         [ nil ⇒ []
 200         | cons he2 tl2 ⇒ 〈\fst he1, \snd he1 - \snd he2〉 :: aux tl1 tl2]]
 201   in aux : ∀l1,l2 : list bar.∃h.minus_spec_bar l1 l2 h);
 202 [2: intros 4; simplify in H3; destruct H3;
 203 |3: intros 4; simplify in H3; cases l1 in H2; [2: intro X; simplify in X; destruct X]
 204     intros; rewrite > (value_OQ_e (mk_q_f s []) i); [2: reflexivity]
 205     rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_OQ; reflexivity;
 206 |1: cases (aux l2 l3); unfold in H2; intros 4;
 207     simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))) ?);
 208     cases (q_cmp i (s + Qpos (\fst b)));
 209
 210
 211
 212 definition excess ≝
 213   λf,g.∃i.\snd (\fst (value f i)) < \snd (\fst (value g i)).
 214