helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_rebase.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "models/q_function.ma".
  16
  17 alias symbol "lt" = "Q less than".
  18 alias symbol "Q" = "Rationals".
  19 axiom q_unlimited: ∀x:ℚ.∃y:ratio.x<Qpos y.
  20 axiom q_halving: ∀x,y:ℚ.∃z:ℚ.x<z ∧ z<y.
  21 lemma same_values_unit_OQ:
  22   ∀b1,b2,h1,l. b2 < b1 → sorted q2_lt (〈b1,h1〉::l) →
  23     sorted q2_lt  [〈b2,〈OQ,OQ〉〉] →
  24     same_values_simpl (〈b1,h1〉::l) [〈b2,〈OQ,OQ〉〉]  → h1 = 〈OQ,OQ〉.
  25 intros 4; cases l;
  26 [1: intros; cases (q_unlimited b1); cut (b2 < Qpos w); [2:apply (q_lt_trans ??? H H4);]
  27     lapply (H3 H1 ? H2 ? w H4 Hcut) as K; simplify; [1,2: autobatch]
  28     rewrite > (value_unit 〈b1,h1〉) in K;
  29     rewrite > (value_unit 〈b2,〈OQ,OQ〉〉) in K; assumption;
  30 |2: intros; (* MANCA che le basi sono positive,
  31                poi con halving prendi tra b1 e \fst p e hai h1=OQ,OQ*)
  32
  33
  34 definition eject ≝
  35   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  36 coercion eject.
  37 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
  38 coercion inject with 0 1 nocomposites.
  39
  40 definition rebase: ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.rebase_spec l1 l2 p.
  41 intros 2 (f1 f2); cases f1 (b1 Hs1 Hb1 He1); cases f2 (b2 Hs2 Hb2 He2); clear f1 f2;
  42 alias symbol "leq" = "natural 'less or equal to'".
  43 alias symbol "minus" = "Q minus".
  44 letin aux ≝ (
  45 let rec aux (l1,l2:list bar) (n : nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
  46 match n with
  47 [ O ⇒ 〈[], []〉
  48 | S m ⇒
  49   match l1 with
  50   [ nil ⇒ 〈copy l2, l2〉
  51   | cons he1 tl1 ⇒
  52      match l2 with
  53      [ nil ⇒ 〈l1, copy l1〉
  54      | cons he2 tl2 ⇒
  55          let base1 ≝ \fst he1 in
  56          let base2 ≝ \fst he2 in
  57          let height1 ≝ \snd he1 in
  58          let height2 ≝ \snd he2 in
  59          match q_cmp base1 base2 with
  60          [ q_leq Hp1 ⇒
  61              match q_cmp base2 base1 with
  62              [ q_leq Hp2 ⇒
  63                  let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
  64                  〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
  65              | q_gt Hp ⇒
  66                  let rest ≝ base2 - base1 in
  67                  let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
  68                  〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉]
  69          | q_gt Hp ⇒
  70              let rest ≝ base1 - base2 in
  71              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
  72              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉]]]]
  73 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.\len l1 + \len l2 ≤ m → rebase_spec_aux l1 l2 z);
  74 [7: clearbody aux; cases (aux b1 b2 (\len b1 + \len b2)) (res Hres);
  75     exists; [split; constructor 1; [apply (\fst res)|5:apply (\snd res)]]
  76     [1,4: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); assumption;
  77     |2,5: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); clear Hres aux;
  78           lapply (H3 O) as K; clear H1 H2 H3 H4 H5; unfold nth_base;
  79           cases H in K He1 He2 Hb1 Hb2; simplify; intros; assumption;
  80     |3,6: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); clear Hres aux;
  81           cases H in He1 He2; simplify; intros;
  82           [1,6,8,12: assumption;
  83           |2,7: rewrite > len_copy; generalize in match (\len ?); intro X;
  84                 cases X; [1,3: reflexivity] simplify;
  85                 [apply (copy_OQ ys n);|apply (copy_OQ xs n);]
  86           |3,4: rewrite < H6; assumption;
  87           |5: cases r1 in H6; simplify; intros; [reflexivity] rewrite < H6; assumption;
  88           |9,11: rewrite < H7; assumption;
  89           |10: cases r2 in H7; simplify; intros; [reflexivity] rewrite < H7; assumption]]
  90     split; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); clear Hres; unfold same_values; intros;
  91     [1: assumption
  92     |2,3: simplify in match (\snd 〈?,?〉); simplify in match (\fst 〈?,?〉);
  93         apply same_values_simpl_to_same_values; assumption]
  94 |3: cut (\fst b3 = \fst b) as E; [2: apply q_le_to_le_to_eq; assumption]
  95     clear H6 H5 H4 H3 He2 Hb2 Hs2 b2 He1 Hb1 Hs1 b1; cases (aux l2 l3 n1) (rc Hrc);
  96     clear aux; intro K; simplify in K; rewrite <plus_n_Sm in K;
  97     lapply le_S_S_to_le to K as W; lapply lt_to_le to W as R;
  98     simplify in match (? ≪rc,Hrc≫); intros (Hsbl2 Hendbl2 Hsb3l3 Hendb3l3);
  99     change in Hendbl2 with (\snd (\last ▭ (b::l2)) = 〈OQ,OQ〉);
 100     change in Hendb3l3 with (\snd (\last ▭ (b3::l3)) = 〈OQ,OQ〉);
 101     cases (Hrc R) (RC S1 S2 SB SV1 SV2); clear Hrc R W K;
 102       [2,4: apply (sorted_tail q2_lt);[apply b|3:apply b3]assumption;
 103       |3: cases l2 in Hendbl2; simplify; intros; [reflexivity] assumption;
 104       |5: cases l3 in Hendb3l3; simplify; intros; [reflexivity] assumption;]
 105     constructor 1; simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉);
 106     [1: cases b in E Hsbl2 Hendbl2; cases b3 in Hsb3l3 Hendb3l3; intros (Hsbl3 Hendbl2 E Hsb3l2 Hendb3l3);
 107         simplify in E; destruct E; constructor 3;
 108         [1: clear Hendbl2 Hsbl3 SV2 SB S2;
 109             cases RC in S1 SV1 Hsb3l2 Hendb3l3; intros;
 110             [1,6: reflexivity;
 111             |3,4: assumption;
 112             |5: simplify in H6:(??%) ⊢ %; rewrite > H3; cases r1 in H6; intros [2:reflexivity]
 113                 use same_values_unit_OQ;
 114
 115             |2: simplify in H3:(??%) ⊢ %; rewrite > H3; rewrite > len_copy; elim (\len ys); [reflexivity]
 116           symmetry; apply (copy_OQ ys n2);
 117         | cases H8 in H5 H7; simplify; intros; [2,6:reflexivity|3,4,5: assumption]
 118           simplify; rewrite > H5; rewrite > len_copy; elim (\len xs); [reflexivity]
 119           symmetry; apply (copy_OQ xs n2);]
 120     |2: apply (aux_preserves_sorting ? b3 ??? H8); assumption;
 121     |3: apply (aux_preserves_sorting2 ? b3 ??? H8); try assumption;
 122         try reflexivity; cases (inversion_sorted ?? H4);[2:rewrite >H3; apply (sorted_one q2_lt);]
 123         cases l2 in H3 H4; intros; [apply (sorted_one q2_lt)]
 124         apply (sorted_cons q2_lt);[2:apply (sorted_tail q2_lt ?? H3);] whd;
 125         rewrite > E; assumption;
 126     |4: apply I
 127     |5: apply I
 128     |6: intro; elim i; intros; simplify; solve [symmetry;assumption|apply H13]
 129     |7: unfold; intros; clear H9 H10 H11 H12 H13; simplify in Hi1 Hi2 H16 H18;
 130        cases H8 in H14 H15 H17 H3 H16 H18 H5 H6;
 131        simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉); intros;
 132        [1: reflexivity;
 133        |2: simplify in H3; rewrite > (value_unit b); rewrite > H3; symmetry;
 134            cases b in H3 H12 Hi2; intros 2; simplify in H12; rewrite > H12;
 135            intros; change in ⊢ (? ? (? % ? ? ? ?) ?) with (copy (〈q,〈OQ,OQ〉〉::〈b1,〈OQ,OQ〉〉::ys));
 136            apply (value_copy (〈q,〈OQ,OQ〉〉::〈b1,〈OQ,OQ〉〉::ys));
 137        |3: apply (same_value_tail b b1 h1 h3 xs r1 input); assumption;
 138        |4: apply (same_value_tail b b1 h1 h1 xs r1 input); assumption;
 139        |5: simplify in H9; STOP
 140
 141        |6: reflexivity;]
 142
 143             ]
 144     |8:
 145
 146
 147 include "Q/q/qtimes.ma".
 148
 149 let rec area (l:list bar) on l ≝
 150   match l with
 151   [ nil ⇒ OQ
 152   | cons he tl ⇒ area tl + Qpos (\fst he) * ⅆ[OQ,\snd he]].
 153
 154 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 155 alias symbol "minus" = "Q minus".
 156 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 157 definition minus_spec_bar ≝
 158  λf,g,h:list bar.
 159    same_bases f g → len f = len g →
 160      ∀s,i:ℚ. \snd (\fst (value (mk_q_f s h) i)) =
 161        \snd (\fst (value (mk_q_f s f) i)) - \snd (\fst (value (mk_q_f s g) i)).
 162
 163 definition minus_spec ≝
 164  λf,g:q_f.
 165    ∃h:q_f.
 166      ∀i:ℚ. \snd (\fst (value h i)) =
 167        \snd (\fst (value f i)) - \snd (\fst (value g i)).
 168
 169 definition eject_bar : ∀P:list bar → CProp.(∃l:list bar.P l) → list bar ≝
 170  λP.λp.match p with [ex_introT x _ ⇒ x].
 171 definition inject_bar ≝ ex_introT (list bar).
 172
 173 coercion inject_bar with 0 1 nocomposites.
 174 coercion eject_bar with 0 0 nocomposites.
 175
 176 lemma minus_q_f : ∀f,g. minus_spec f g.
 177 intros;
 178 letin aux ≝ (
 179   let rec aux (l1, l2 : list bar) on l1 ≝
 180     match l1 with
 181     [ nil ⇒ []
 182     | cons he1 tl1 ⇒
 183         match l2 with
 184         [ nil ⇒ []
 185         | cons he2 tl2 ⇒ 〈\fst he1, \snd he1 - \snd he2〉 :: aux tl1 tl2]]
 186   in aux : ∀l1,l2 : list bar.∃h.minus_spec_bar l1 l2 h);
 187 [2: intros 4; simplify in H3; destruct H3;
 188 |3: intros 4; simplify in H3; cases l1 in H2; [2: intro X; simplify in X; destruct X]
 189     intros; rewrite > (value_OQ_e (mk_q_f s []) i); [2: reflexivity]
 190     rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_OQ; reflexivity;
 191 |1: cases (aux l2 l3); unfold in H2; intros 4;
 192     simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))) ?);
 193     cases (q_cmp i (s + Qpos (\fst b)));
 194
 195
 196
 197 definition excess ≝
 198   λf,g.∃i.\snd (\fst (value f i)) < \snd (\fst (value g i)).
 199