helm/software/matita/contribs/dama/dama/ordered_uniform.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "uniform.ma".
  16
  17 record ordered_uniform_space_ : Type ≝ {
  18   ous_os:> ordered_set;
  19   ous_us_: uniform_space;
  20   with_ : us_carr ous_us_ = bishop_set_of_ordered_set ous_os
  21 }.
  22
  23 lemma ous_unifspace: ordered_uniform_space_ → uniform_space.
  24 intro X; apply (mk_uniform_space (bishop_set_of_ordered_set X));
  25 unfold bishop_set_OF_ordered_uniform_space_;
  26 [1: rewrite < (with_ X); simplify; apply (us_unifbase (ous_us_ X));
  27 |2: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi1 (ous_us_ X));
  28 |3: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi2 (ous_us_ X));
  29 |4: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi3 (ous_us_ X));
  30 |5: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi4 (ous_us_ X))]
  31 qed.
  32
  33 coercion ous_unifspace.
  34
  35 record ordered_uniform_space : Type ≝ {
  36   ous_stuff :> ordered_uniform_space_;
  37   ous_convex: ∀U.us_unifbase ous_stuff U → convex ous_stuff U
  38 }.
  39
  40 definition Type_of_ordered_uniform_space : ordered_uniform_space → Type.
  41 intro; compose ordered_set_OF_ordered_uniform_space with os_l.
  42 apply (hos_carr (f o));
  43 qed.
  44
  45 definition Type_of_ordered_uniform_space_dual : ordered_uniform_space → Type.
  46 intro; compose ordered_set_OF_ordered_uniform_space with os_r.
  47 apply (hos_carr (f o));
  48 qed.
  49
  50 coercion Type_of_ordered_uniform_space.
  51 coercion Type_of_ordered_uniform_space_dual.
  52
  53 definition half_ordered_set_OF_ordered_uniform_space : ordered_uniform_space → half_ordered_set.
  54 intro; compose ordered_set_OF_ordered_uniform_space with os_l. apply (f o);
  55 qed.
  56
  57 definition invert_os_relation ≝
  58   λC:ordered_set.λU:C squareO → Prop.
  59     λx:C squareO. U 〈\snd x,\fst x〉.
  60
  61 interpretation "relation invertion" 'invert a = (invert_os_relation _ a).
  62 interpretation "relation invertion" 'invert_symbol = (invert_os_relation _).
  63 interpretation "relation invertion" 'invert_appl a x = (invert_os_relation _ a x).
  64
  65 lemma segment_square_of_ordered_set_square:
  66   ∀O:ordered_set.∀u,v:O.∀x:O squareO.
  67    \fst x ∈ [u,v] → \snd x ∈ [u,v] → {[u,v]} squareO.
  68 intros; split; exists; [1: apply (\fst x) |3: apply (\snd x)] assumption;
  69 qed.
  70
  71 coercion segment_square_of_ordered_set_square with 0 2 nocomposites.
  72
  73 alias symbol "pi1" (instance 4) = "exT \fst".
  74 alias symbol "pi1" (instance 2) = "exT \fst".
  75 lemma ordered_set_square_of_segment_square :
  76  ∀O:ordered_set.∀u,v:O.{[u,v]} squareO → O squareO ≝
  77   λO:ordered_set.λu,v:O.λb:{[u,v]} squareO.〈\fst(\fst b),\fst(\snd b)〉.
  78
  79 coercion ordered_set_square_of_segment_square nocomposites.
  80
  81 lemma restriction_agreement :
  82   ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀P:{[l,r]} squareO → Prop.∀OP:O squareO → Prop.Prop.
  83 apply(λO:ordered_uniform_space.λl,r:O.
  84        λP:{[l,r]} squareO → Prop. λOP:O squareO → Prop.
  85           ∀b:O squareO.∀H1,H2.(P b → OP b) ∧ (OP b → P b));
  86 [5,7: apply H1|6,8:apply H2]skip;
  87 qed.
  88
  89 lemma unrestrict: ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀U,u.∀x:{[l,r]} squareO.
  90   restriction_agreement ? l r U u → U x → u x.
  91 intros 7; cases x (b b1); cases b (w1 H1); cases b1 (w2 H2); clear b b1 x;
  92 cases (H 〈w1,w2〉 H1 H2) (L _); intro Uw; apply L; apply Uw;
  93 qed.
  94
  95 lemma restrict: ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀U,u.∀x:{[l,r]} squareO.
  96   restriction_agreement ? l r U u → u x → U x.
  97 intros 6; cases x (b b1); cases b (w1 H1); cases b1 (w2 H2); clear b1 b x;
  98 intros (Ra uw); cases (Ra 〈w1,w2〉 H1 H2) (_ R); apply R; apply uw;
  99 qed.
 100
 101 lemma invert_restriction_agreement:
 102   ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.
 103    ∀U:{[l,r]} squareO → Prop.∀u:O squareO → Prop.
 104     restriction_agreement ? l r U u →
 105     restriction_agreement ? l r (\inv U) (\inv u).
 106 intros 9; split; intro;
 107 [1: apply (unrestrict ????? (segment_square_of_ordered_set_square ??? 〈\snd b,\fst b〉 H2 H1) H H3);
 108 |2: apply (restrict ????? (segment_square_of_ordered_set_square ??? 〈\snd b,\fst b〉 H2 H1) H H3);]
 109 qed.
 110
 111 lemma bs2_of_bss2:
 112  ∀O:ordered_set.∀u,v:O.(bishop_set_of_ordered_set {[u,v]}) squareB → (bishop_set_of_ordered_set O) squareB ≝
 113   λO:ordered_set.λu,v:O.λb:{[u,v]} squareO.〈\fst(\fst b),\fst(\snd b)〉.
 114
 115 coercion bs2_of_bss2 nocomposites.
 116
 117 (*
 118 notation < "x \sub \neq" with precedence 91 for @{'bsss $x}.
 119 interpretation "bs_of_ss" 'bsss x = (bs_of_ss _ _ _ x).
 120 *)
 121
 122 (*
 123 lemma ss_of_bs:
 124  ∀O:ordered_set.∀u,v:O.
 125   ∀b:O squareO.\fst b ∈ [u,v] → \snd b ∈ [u,v] → {[u,v]} squareO ≝
 126  λO:ordered_set.λu,v:O.
 127   λb:O squareB.λH1,H2.〈≪\fst b,H1≫,≪\snd b,H2≫〉.
 128 *)
 129
 130 (*
 131 notation < "x \sub \nleq" with precedence 91 for @{'ssbs $x}.
 132 interpretation "ss_of_bs" 'ssbs x = (ss_of_bs _ _ _ x _ _).
 133 *)
 134
 135 lemma segment_ordered_uniform_space:
 136   ∀O:ordered_uniform_space.∀u,v:O.ordered_uniform_space.
 137 intros (O l r); apply mk_ordered_uniform_space;
 138 [1: apply (mk_ordered_uniform_space_ {[l,r]});
 139     [1: alias symbol "and" = "constructive and".
 140         letin f ≝ (λP:{[l,r]} squareO → Prop. ∃OP:O squareO → Prop.
 141                     (us_unifbase O OP) ∧ restriction_agreement ??? P OP);
 142         apply (mk_uniform_space (bishop_set_of_ordered_set {[l,r]}) f);
 143         [1: intros (U H); intro x; simplify;
 144             cases H (w Hw); cases Hw (Gw Hwp); clear H Hw; intro Hm;
 145             lapply (us_phi1 O w Gw x Hm) as IH;
 146             apply (restrict ? l r ??? Hwp IH); STOP
 147         |2: intros (U V HU HV); cases HU (u Hu); cases HV (v Hv); clear HU HV;
 148             cases Hu (Gu HuU); cases Hv (Gv HvV); clear Hu Hv;
 149             cases (us_phi2 ??? Gu Gv) (w HW); cases HW (Gw Hw); clear HW;
 150             exists; [apply (λb:{[l,r]} square.w b)] split;
 151             [1: unfold f; simplify; clearbody f;
 152                 exists; [apply w]; split; [assumption] intro b; simplify;
 153                 unfold segment_square_of_ordered_set_square;
 154                 cases b; intros; split; intros; assumption;
 155             |2: intros 2 (x Hx); cases (Hw ? Hx); split;
 156                 [apply (restrict ?????? HuU H)|apply (restrict ?????? HvV H1);]]
 157         |3: intros (U Hu); cases Hu (u HU); cases HU (Gu HuU); clear Hu HU;
 158             cases (us_phi3 ?? Gu) (w HW); cases HW (Gw Hwu); clear HW;
 159             exists; [apply (λx:{[l,r]} square.w x)] split;
 160             [1: exists;[apply w];split;[assumption] intros; simplify; intro;
 161                 unfold segment_square_of_ordered_set_square;
 162                 cases b; intros; split; intro; assumption;
 163             |2: intros 2 (x Hx); apply (restrict ?????? HuU); apply Hwu;
 164                 cases Hx (m Hm); exists[apply (\fst m)] apply Hm;]
 165         |4: intros (U HU x); cases HU (u Hu); cases Hu (Gu HuU); clear HU Hu;
 166             cases (us_phi4 ?? Gu x) (Hul Hur);
 167             split; intros;
 168             [1: lapply (invert_restriction_agreement ????? HuU) as Ra;
 169                 apply (restrict ????? x Ra);
 170                 apply Hul; apply (unrestrict ?????? HuU H);
 171             |2: apply (restrict ?????? HuU); apply Hur;
 172                 apply (unrestrict ?????? (invert_restriction_agreement ????? HuU) H);]]
 173     |2: simplify; reflexivity;]
 174 |2: simplify; unfold convex; intros;
 175     cases H (u HU); cases HU (Gu HuU); clear HU H;
 176     lapply (ous_convex ?? Gu (bs_of_ss ? l r p) ? H2 (bs_of_ss ? l r y) H3) as Cu;
 177     [1: apply (unrestrict ?????? HuU); apply H1;
 178     |2: apply (restrict ?????? HuU Cu);]]
 179 qed.
 180
 181 interpretation "Ordered uniform space segment" 'segment_set a b =
 182  (segment_ordered_uniform_space _ a b).
 183
 184 (* Lemma 3.2 *)
 185 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 186 lemma restric_uniform_convergence:
 187  ∀O:ordered_uniform_space.∀l,u:O.
 188   ∀x:{[l,u]}.
 189    ∀a:sequence {[l,u]}.
 190      ⌊n,\fst (a n)⌋ uniform_converges (\fst x) →
 191       a uniform_converges x.
 192 intros 8; cases H1; cases H2; clear H2 H1;
 193 cases (H ? H3) (m Hm); exists [apply m]; intros;
 194 apply (restrict ? l u ??? H4); apply (Hm ? H1);
 195 qed.
 196
 197 definition order_continuity ≝
 198   λC:ordered_uniform_space.∀a:sequence C.∀x:C.
 199     (a ↑ x → a uniform_converges x) ∧ (a ↓ x → a uniform_converges x).