helm/software/matita/contribs/dama/dama/ordered_uniform.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "uniform.ma".
  16
  17 record ordered_uniform_space_ : Type ≝ {
  18   ous_os:> ordered_set;
  19   ous_us_: uniform_space;
  20   with_ : us_carr ous_us_ = bishop_set_of_ordered_set ous_os
  21 }.
  22
  23 lemma ous_unifspace: ordered_uniform_space_ → uniform_space.
  24 intro X; apply (mk_uniform_space (bishop_set_of_ordered_set X));
  25 unfold bishop_set_OF_ordered_uniform_space_;
  26 [1: rewrite < (with_ X); simplify; apply (us_unifbase (ous_us_ X));
  27 |2: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi1 (ous_us_ X));
  28 |3: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi2 (ous_us_ X));
  29 |4: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi3 (ous_us_ X));
  30 |5: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi4 (ous_us_ X))]
  31 qed.
  32
  33 coercion cic:/matita/dama/ordered_uniform/ous_unifspace.con.
  34
  35 record ordered_uniform_space : Type ≝ {
  36   ous_stuff :> ordered_uniform_space_;
  37   ous_convex: ∀U.us_unifbase ous_stuff U → convex ous_stuff U
  38 }.
  39
  40 lemma segment_square_of_O_square:
  41   ∀O:ordered_set.∀u,v:O.∀x:O square.fst x ∈ [u,v] → snd x ∈ [u,v] → {[u,v]} square.
  42 intros; split; exists; [1: apply (fst x) |3: apply (snd x)] assumption;
  43 qed.
  44
  45 coercion cic:/matita/dama/ordered_uniform/segment_square_of_O_square.con 0 2.
  46
  47 alias symbol "pi1" (instance 4) = "sigma pi1".
  48 alias symbol "pi1" (instance 2) = "sigma pi1".
  49 lemma O_square_of_segment_square :
  50  ∀O:ordered_set.∀u,v:O.{[u,v]} square → O square ≝
  51  λO:ordered_set.λu,v:O.λb:{[u,v]} square.〈fst(fst b),fst(snd b)〉.
  52
  53 coercion cic:/matita/dama/ordered_uniform/O_square_of_segment_square.con.
  54
  55 lemma restriction_agreement :
  56   ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀P:{[l,r]} square → Prop.∀OP:O square → Prop.Prop.
  57 apply(λO:ordered_uniform_space.λl,r:O.λP:{[l,r]} square → Prop.λOP:O square → Prop.
  58     ∀b:O square.∀H1,H2.
  59       (P b → OP b) ∧ (OP b → P b));
  60 [5,7: apply H1|6,8:apply H2]skip;
  61 qed.
  62
  63 lemma unrestrict: ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀U,u.∀x:{[l,r]} square.
  64   restriction_agreement ? l r U u → U x → u x.
  65 intros 7; cases x (b b1); cases b; cases b1;
  66 cases (H 〈x1,x2〉 H1 H2) (L _); intros; apply L; assumption;
  67 qed.
  68
  69 lemma restrict: ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀U,u.∀x:{[l,r]} square.
  70   restriction_agreement ? l r U u → u x → U x.
  71 intros 6; cases x (b b1); cases b; cases b1; intros (X);
  72 cases (X 〈x1,x2〉 H H1) (_ R); apply R; assumption;
  73 qed.
  74
  75 lemma invert_restriction_agreement:
  76   ∀O:ordered_uniform_space.∀l,r:O.∀U:{[l,r]} square → Prop.∀u.
  77     restriction_agreement ? l r U u →
  78     restriction_agreement ? l r (inv U) (inv u).
  79 intros 9; split; intro;
  80 [1: apply (unrestrict ????? (segment_square_of_O_square ??? 〈snd b,fst b〉 H2 H1) H H3);
  81 |2: apply (restrict ????? (segment_square_of_O_square ??? 〈snd b,fst b〉 H2 H1) H H3);]
  82 qed.
  83
  84 lemma bs_of_ss:
  85  ∀O:ordered_set.∀u,v:O.{[u,v]} square → (bishop_set_of_ordered_set O) square ≝
  86  λO:ordered_set.λu,v:O.λb:{[u,v]} square.〈fst(fst b),fst(snd b)〉.
  87
  88 notation < "x \sub \neq" non associative with precedence 91 for @{'bsss $x}.
  89 interpretation "bs_of_ss" 'bsss x = (bs_of_ss _ _ _ x).
  90
  91 lemma segment_ordered_uniform_space:
  92   ∀O:ordered_uniform_space.∀u,v:O.ordered_uniform_space.
  93 intros (O l r); apply mk_ordered_uniform_space;
  94 [1: apply (mk_ordered_uniform_space_ {[l,r]});
  95     [1: alias symbol "and" = "constructive and".
  96         letin f ≝ (λP:{[l,r]} square → Prop. ∃OP:O square → Prop.
  97                     (us_unifbase O OP) ∧ restriction_agreement ??? P OP);
  98         apply (mk_uniform_space (bishop_set_of_ordered_set {[l,r]}) f);
  99         [1: intros (U H); intro x; unfold mk_set; simplify;
 100             cases H (w Hw); cases Hw (Gw Hwp); clear H Hw; intro Hm;
 101             lapply (us_phi1 ?? Gw x Hm) as IH;
 102             apply (restrict ?????? Hwp IH);
 103         |2: intros (U V HU HV); cases HU (u Hu); cases HV (v Hv); clear HU HV;
 104             cases Hu (Gu HuU); cases Hv (Gv HvV); clear Hu Hv;
 105             cases (us_phi2 ??? Gu Gv) (w HW); cases HW (Gw Hw); clear HW;
 106             exists; [apply (λb:{[l,r]} square.w b)] split;
 107             [1: unfold f; simplify; clearbody f;
 108                 exists; [apply w]; split; [assumption] intro b; simplify;
 109                 unfold segment_square_of_O_square; (* ??? *)
 110                 cases b; intros; split; intros; assumption;
 111             |2: intros 2 (x Hx); unfold mk_set; cases (Hw ? Hx); split;
 112                 [apply (restrict ?????? HuU H)|apply (restrict ?????? HvV H1);]]
 113         |3: intros (U Hu); cases Hu (u HU); cases HU (Gu HuU); clear Hu HU;
 114             cases (us_phi3 ?? Gu) (w HW); cases HW (Gw Hwu); clear HW;
 115             exists; [apply (λx:{[l,r]} square.w x)] split;
 116             [1: exists;[apply w];split;[assumption] intros; simplify; intro;
 117                 unfold segment_square_of_O_square; (* ??? *)
 118                 cases b; intros; split; intro; assumption;
 119             |2: intros 2 (x Hx); apply (restrict ?????? HuU); apply Hwu;
 120                 cases Hx (m Hm); exists[apply (fst m)] apply Hm;]
 121         |4: intros (U HU x); cases HU (u Hu); cases Hu (Gu HuU); clear HU Hu;
 122             cases (us_phi4 ?? Gu x) (Hul Hur);
 123             split; intros;
 124             [1: apply (restrict ?????? (invert_restriction_agreement ????? HuU));
 125                 apply Hul; apply (unrestrict ?????? HuU H);
 126             |2: apply (restrict ?????? HuU); apply Hur;
 127                 apply (unrestrict ?????? (invert_restriction_agreement ????? HuU) H);]]
 128     |2: simplify; reflexivity;]
 129 |2: simplify; unfold convex; intros;
 130     cases H (u HU); cases HU (Gu HuU); clear HU H;
 131     lapply (ous_convex ?? Gu (bs_of_ss ? l r p) ? H2 (bs_of_ss ? l r y) H3) as Cu;
 132     [1: apply (unrestrict ?????? HuU); apply H1;
 133     |2: apply (restrict ?????? HuU Cu);]]
 134 qed.
 135
 136 interpretation "Ordered uniform space segment" 'segment_set a b =
 137  (segment_ordered_uniform_space _ a b).
 138
 139 (* Lemma 3.2 *)
 140 alias symbol "pi1" = "sigma pi1".
 141 lemma restric_uniform_convergence:
 142  ∀O:ordered_uniform_space.∀l,u:O.
 143   ∀x:{[l,u]}.
 144    ∀a:sequence {[l,u]}.
 145      (λn.fst (a n)) uniform_converges (fst x) →
 146       a uniform_converges x.
 147 intros 8; cases H1; cases H2; clear H2 H1;
 148 cases (H ? H3) (m Hm); exists [apply m]; intros;
 149 apply (restrict ? l u ??? H4); apply (Hm ? H1);
 150 qed.
 151
 152 definition order_continuity ≝
 153   λC:ordered_uniform_space.∀a:sequence C.∀x:C.
 154     (a ↑ x → a uniform_converges x) ∧ (a ↓ x → a uniform_converges x).