]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/contribs/dama/dama/property_exhaustivity.ma
some work on duality, still not finisched
[helm.git] / helm / software / matita / contribs / dama / dama / property_exhaustivity.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ordered_uniform.ma".
16 include "property_sigma.ma".
17
18 (* Definition 3.7 *)
19 definition exhaustive ≝
20   λC:ordered_uniform_space.
21    ∀a,b:sequence C.
22      (a is_increasing → a is_upper_located → a is_cauchy) ∧
23      (b is_decreasing → b is_lower_located → b is_cauchy).
24
25 lemma segment_upperbound:
26   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.u is_upper_bound ⌊n,\fst (a n)⌋.
27 intros 5; change with (\fst (a n) ≤ u); cases (a n); cases H; assumption;
28 qed.
29
30 lemma segment_lowerbound:
31   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.l is_lower_bound ⌊n,\fst (a n)⌋.
32 intros 5; change with (l ≤ \fst (a n)); cases (a n); cases H; assumption;
33 qed.
34
35 lemma segment_preserves_uparrow:
36   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.∀x,h. 
37     ⌊n,\fst (a n)⌋ ↑ x → a ↑ ≪x,h≫.
38 intros; cases H (Ha Hx); split [apply Ha] cases Hx; 
39 split; [apply H1] intros;
40 cases (H2 (\fst y)); [2: apply H3;] exists [apply w] assumption;
41 qed.
42
43 lemma segment_preserves_downarrow:
44   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.∀x,h. 
45     ⌊n,\fst (a n)⌋ ↓ x → a ↓ ≪x,h≫.
46 intros; cases H (Ha Hx); split [apply Ha] cases Hx; 
47 split; [apply H1] intros;
48 cases (H2 (\fst y));[2:apply H3]; exists [apply w] assumption;
49 qed.
50     
51 (* Fact 2.18 *)
52 lemma segment_cauchy:
53   ∀C:ordered_uniform_space.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.
54     a is_cauchy → ⌊n,\fst (a n)⌋ is_cauchy.
55 intros 7; 
56 alias symbol "pi1" (instance 3) = "pair pi1".
57 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
58 apply (H (λx:{[l,u]} square.U 〈\fst (\fst x),\fst (\snd x)〉));
59 (unfold segment_ordered_uniform_space; simplify);
60 exists [apply U] split; [assumption;]
61 intro; cases b; intros; simplify; split; intros; assumption;
62 qed.       
63
64 (* Lemma 3.8 *)
65 lemma restrict_uniform_convergence_uparrow:
66   ∀C:ordered_uniform_space.property_sigma C →
67     ∀l,u:C.exhaustive {[l,u]} →
68      ∀a:sequence {[l,u]}.∀x:C. ⌊n,\fst (a n)⌋ ↑ x → 
69       x∈[l,u] ∧ ∀h:x ∈ [l,u].a uniform_converges ≪x,h≫.
70 intros; cases H2 (Ha Hx); clear H2; cases Hx; split;
71 [1: split;
72     [1: apply (supremum_is_upper_bound C ?? Hx u); 
73         apply (segment_upperbound ? l);
74     |2: apply (le_transitive ? ??? ? (H2 O));
75         apply (segment_lowerbound ?l u);]
76 |2: intros;
77     lapply (uparrow_upperlocated ? a ≪x,h≫) as Ha1;
78       [2: apply segment_preserves_uparrow;split; assumption;] 
79     lapply (segment_preserves_supremum ? l u a ≪?,h≫) as Ha2; 
80       [2:split; assumption]; cases Ha2; clear Ha2;
81     cases (H1 a a); lapply (H6 H4 Ha1) as HaC;
82     lapply (segment_cauchy ? l u ? HaC) as Ha;
83     lapply (sigma_cauchy ? H  ? x ? Ha); [left; split; assumption]
84     apply restric_uniform_convergence; assumption;]
85 qed.
86       
87 lemma restrict_uniform_convergence_downarrow:
88   ∀C:ordered_uniform_space.property_sigma C →
89     ∀l,u:C.exhaustive {[l,u]} →
90      ∀a:sequence {[l,u]}.∀x:C. ⌊n,\fst (a n)⌋ ↓ x → 
91       x∈[l,u] ∧ ∀h:x ∈ [l,u].a uniform_converges ≪x,h≫.
92 intros; cases H2 (Ha Hx); clear H2; cases Hx; split;
93 [1: split;
94     [2: apply (infimum_is_lower_bound C ?? Hx l); 
95         apply (segment_lowerbound ? l u);
96     |1: apply (le_transitive ???? (H2 O));
97         apply (segment_upperbound ? l u);]
98 |2: intros;
99     lapply (downarrow_lowerlocated ? a ≪x,h≫) as Ha1;
100       [2: apply segment_preserves_downarrow;split; assumption;] 
101     lapply (segment_preserves_infimum ?l u a ≪?,h≫) as Ha2; 
102       [2:split; assumption]; cases Ha2; clear Ha2;
103     cases (H1 a a); lapply (H7 H4 Ha1) as HaC;
104     lapply (segment_cauchy ? l u ? HaC) as Ha;
105     lapply (sigma_cauchy ? H  ? x ? Ha); [right; split; assumption]
106     apply restric_uniform_convergence; assumption;]
107 qed.