helm/software/matita/contribs/dama/dama/property_exhaustivity.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ordered_uniform.ma".
  16 include "property_sigma.ma".
  17
  18 (* Definition 3.7 *)
  19 definition exhaustive ≝
  20   λC:ordered_uniform_space.
  21    ∀a,b:sequence C.
  22      (a is_increasing → a is_upper_located → a is_cauchy) ∧
  23      (b is_decreasing → b is_lower_located → b is_cauchy).
  24
  25 lemma segment_upperbound:
  26   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.u is_upper_bound ⌊n,\fst (a n)⌋.
  27 intros 5; change with (\fst (a n) ≤ u); cases (a n); cases H; assumption;
  28 qed.
  29
  30 lemma segment_lowerbound:
  31   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.l is_lower_bound ⌊n,\fst (a n)⌋.
  32 intros 5; change with (l ≤ \fst (a n)); cases (a n); cases H; assumption;
  33 qed.
  34
  35 lemma segment_preserves_uparrow:
  36   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.∀x,h.
  37     ⌊n,\fst (a n)⌋ ↑ x → a ↑ ≪x,h≫.
  38 intros; cases H (Ha Hx); split [apply Ha] cases Hx;
  39 split; [apply H1] intros;
  40 cases (H2 (\fst y)); [2: apply H3;] exists [apply w] assumption;
  41 qed.
  42
  43 lemma segment_preserves_downarrow:
  44   ∀C:ordered_set.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.∀x,h.
  45     ⌊n,\fst (a n)⌋ ↓ x → a ↓ ≪x,h≫.
  46 intros; cases H (Ha Hx); split [apply Ha] cases Hx;
  47 split; [apply H1] intros;
  48 cases (H2 (\fst y));[2:apply H3]; exists [apply w] assumption;
  49 qed.
  50
  51 (* Fact 2.18 *)
  52 lemma segment_cauchy:
  53   ∀C:ordered_uniform_space.∀l,u:C.∀a:sequence {[l,u]}.
  54     a is_cauchy → ⌊n,\fst (a n)⌋ is_cauchy.
  55 intros 7;
  56 alias symbol "pi1" (instance 3) = "pair pi1".
  57 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  58 apply (H (λx:{[l,u]} square.U 〈\fst (\fst x),\fst (\snd x)〉));
  59 (unfold segment_ordered_uniform_space; simplify);
  60 exists [apply U] split; [assumption;]
  61 intro; cases b; intros; simplify; split; intros; assumption;
  62 qed.
  63
  64 (* Lemma 3.8 *)
  65 lemma restrict_uniform_convergence_uparrow:
  66   ∀C:ordered_uniform_space.property_sigma C →
  67     ∀l,u:C.exhaustive {[l,u]} →
  68      ∀a:sequence {[l,u]}.∀x:C. ⌊n,\fst (a n)⌋ ↑ x →
  69       x∈[l,u] ∧ ∀h:x ∈ [l,u].a uniform_converges ≪x,h≫.
  70 intros; cases H2 (Ha Hx); clear H2; cases Hx; split;
  71 [1: split;
  72     [1: apply (supremum_is_upper_bound C ?? Hx u);
  73         apply (segment_upperbound ? l);
  74     |2: apply (le_transitive ? ??? ? (H2 O));
  75         apply (segment_lowerbound ?l u);]
  76 |2: intros;
  77     lapply (uparrow_upperlocated ? a ≪x,h≫) as Ha1;
  78       [2: apply segment_preserves_uparrow;split; assumption;]
  79     lapply (segment_preserves_supremum ? l u a ≪?,h≫) as Ha2;
  80       [2:split; assumption]; cases Ha2; clear Ha2;
  81     cases (H1 a a); lapply (H6 H4 Ha1) as HaC;
  82     lapply (segment_cauchy ? l u ? HaC) as Ha;
  83     lapply (sigma_cauchy ? H  ? x ? Ha); [left; split; assumption]
  84     apply restric_uniform_convergence; assumption;]
  85 qed.
  86
  87 lemma restrict_uniform_convergence_downarrow:
  88   ∀C:ordered_uniform_space.property_sigma C →
  89     ∀l,u:C.exhaustive {[l,u]} →
  90      ∀a:sequence {[l,u]}.∀x:C. ⌊n,\fst (a n)⌋ ↓ x →
  91       x∈[l,u] ∧ ∀h:x ∈ [l,u].a uniform_converges ≪x,h≫.
  92 intros; cases H2 (Ha Hx); clear H2; cases Hx; split;
  93 [1: split;
  94     [2: apply (infimum_is_lower_bound C ?? Hx l);
  95         apply (segment_lowerbound ? l u);
  96     |1: apply (le_transitive ???? (H2 O));
  97         apply (segment_upperbound ? l u);]
  98 |2: intros;
  99     lapply (downarrow_lowerlocated ? a ≪x,h≫) as Ha1;
 100       [2: apply segment_preserves_downarrow;split; assumption;]
 101     lapply (segment_preserves_infimum ?l u a ≪?,h≫) as Ha2;
 102       [2:split; assumption]; cases Ha2; clear Ha2;
 103     cases (H1 a a); lapply (H7 H4 Ha1) as HaC;
 104     lapply (segment_cauchy ? l u ? HaC) as Ha;
 105     lapply (sigma_cauchy ? H  ? x ? Ha); [right; split; assumption]
 106     apply restric_uniform_convergence; assumption;]
 107 qed.