helm/software/matita/contribs/dama/dama/supremum.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sequence.ma".
  16 include "ordered_set.ma".
  17
  18 (* Definition 2.4 *)
  19 definition upper_bound ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.a n ≤ u.
  20 definition lower_bound ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.u ≤ a n.
  21
  22 definition supremum ≝
  23   λO:ordered_set.λs:sequence O.λx.upper_bound ? s x ∧ (∀y:O.x ≰ y → ∃n.s n ≰ y).
  24 definition infimum ≝
  25   λO:ordered_set.λs:sequence O.λx.lower_bound ? s x ∧ (∀y:O.y ≰ x → ∃n.y ≰ s n).
  26
  27 definition increasing ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.∀n:nat.a n ≤ a (S n).
  28 definition decreasing ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.∀n:nat.a (S n) ≤ a n.
  29
  30 notation < "x \nbsp 'is_upper_bound' \nbsp s" non associative with precedence 50
  31   for @{'upper_bound $s $x}.
  32 notation < "x \nbsp 'is_lower_bound' \nbsp s" non associative with precedence 50
  33   for @{'lower_bound $s $x}.
  34 notation < "s \nbsp 'is_increasing'" non associative with precedence 50
  35   for @{'increasing $s}.
  36 notation < "s \nbsp 'is_decreasing'" non associative with precedence 50
  37   for @{'decreasing $s}.
  38 notation < "x \nbsp 'is_supremum' \nbsp s" non associative with precedence 50
  39   for @{'supremum $s $x}.
  40 notation < "x \nbsp 'is_infimum' \nbsp s" non associative with precedence 50
  41   for @{'infimum $s $x}.
  42
  43 notation > "x 'is_upper_bound' s" non associative with precedence 50
  44   for @{'upper_bound $s $x}.
  45 notation > "x 'is_lower_bound' s" non associative with precedence 50
  46   for @{'lower_bound $s $x}.
  47 notation > "s 'is_increasing'"    non associative with precedence 50
  48   for @{'increasing $s}.
  49 notation > "s 'is_decreasing'"    non associative with precedence 50
  50   for @{'decreasing $s}.
  51 notation > "x 'is_supremum' s"  non associative with precedence 50
  52   for @{'supremum $s $x}.
  53 notation > "x 'is_infimum' s"  non associative with precedence 50
  54   for @{'infimum $s $x}.
  55
  56 interpretation "Ordered set upper bound" 'upper_bound s x = (upper_bound _ s x).
  57 interpretation "Ordered set lower bound" 'lower_bound s x = (lower_bound _ s x).
  58 interpretation "Ordered set increasing"  'increasing s    = (increasing _ s).
  59 interpretation "Ordered set decreasing"  'decreasing s    = (decreasing _ s).
  60 interpretation "Ordered set strong sup"  'supremum s x  = (supremum _ s x).
  61 interpretation "Ordered set strong inf"  'infimum s x  = (infimum _ s x).
  62
  63 include "bishop_set.ma".
  64
  65 lemma uniq_supremum:
  66   ∀O:ordered_set.∀s:sequence O.∀t1,t2:O.
  67     t1 is_supremum s → t2 is_supremum s → t1 ≈ t2.
  68 intros (O s t1 t2 Ht1 Ht2); cases Ht1 (U1 H1); cases Ht2 (U2 H2);
  69 apply le_le_eq; intro X;
  70 [1: cases (H1 ? X); apply (U2 w); assumption
  71 |2: cases (H2 ? X); apply (U1 w); assumption]
  72 qed.
  73
  74 (* Fact 2.5 *)
  75 lemma supremum_is_upper_bound:
  76   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.
  77    u is_supremum a → ∀v.v is_upper_bound a → u ≤ v.
  78 intros 7 (C s u Hu v Hv H); cases Hu (_ H1); clear Hu;
  79 cases (H1 ? H) (w Hw); apply Hv; assumption;
  80 qed.
  81
  82 (* Lemma 2.6 *)
  83 definition strictly_increasing ≝
  84   λC:ordered_set.λa:sequence C.∀n:nat.a (S n) ≰ a n.
  85 definition strictly_decreasing ≝
  86   λC:ordered_set.λa:sequence C.∀n:nat.a n ≰ a (S n).
  87
  88
  89 notation < "s \nbsp 'is_strictly_increasing'" non associative with precedence 50
  90   for @{'strictly_increasing $s}.
  91 notation > "s 'is_strictly_increasing'" non associative with precedence 50
  92   for @{'strictly_increasing $s}.
  93 interpretation "Ordered set strict increasing"  'strictly_increasing s    =
  94   (strictly_increasing _ s).
  95 notation < "s \nbsp 'is_strictly_decreasing'" non associative with precedence 50
  96   for @{'strictly_decreasing $s}.
  97 notation > "s 'is_strictly_decreasing'" non associative with precedence 50
  98   for @{'strictly_decreasing $s}.
  99 interpretation "Ordered set strict decreasing"  'strictly_decreasing s    =
 100   (strictly_decreasing _ s).
 101
 102 notation "a \uparrow u" non associative with precedence 50 for @{'sup_inc $a $u}.
 103 interpretation "Ordered set supremum of increasing" 'sup_inc s u =
 104  (cic:/matita/dama/cprop_connectives/And.ind#xpointer(1/1)
 105   (increasing _ s)
 106   (supremum _ s u)).
 107 notation "a \downarrow u" non associative with precedence 50 for @{'inf_dec $a $u}.
 108 interpretation "Ordered set supremum of increasing" 'inf_dec s u =
 109  (cic:/matita/dama/cprop_connectives/And.ind#xpointer(1/1)
 110   (decreasing _ s)
 111   (infimum _ s u)).
 112
 113 include "nat/plus.ma".
 114 include "nat_ordered_set.ma".
 115
 116 alias symbol "nleq" = "Ordered set excess".
 117 alias symbol "leq" = "Ordered set less or equal than".
 118 lemma trans_increasing:
 119   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.a is_increasing → ∀n,m:nat_ordered_set. n ≤ m → a n ≤ a m.
 120 intros 5 (C a Hs n m); elim m; [
 121   rewrite > (le_n_O_to_eq n (not_lt_to_le O n H));
 122   intro X; cases (os_coreflexive ?? X);]
 123 cases (le_to_or_lt_eq ?? (not_lt_to_le (S n1) n H1)); clear H1;
 124 [2: rewrite > H2; intro; cases (os_coreflexive ?? H1);
 125 |1: apply (le_transitive ???? (H ?) (Hs ?));
 126     intro; whd in H1; apply (not_le_Sn_n n); apply (transitive_le ??? H2 H1);]
 127 qed.
 128
 129 lemma trans_increasing_exc:
 130   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.a is_increasing → ∀n,m:nat_ordered_set. m ≰ n → a n ≤ a m.
 131 intros 5 (C a Hs n m); elim m; [cases (not_le_Sn_O n H);]
 132 intro; apply H;
 133 [1: change in n1 with (os_carr nat_ordered_set); (* canonical structures *)
 134     change with (n<n1); (* is sort elimination not allowed preserved by delta? *)
 135     cases (le_to_or_lt_eq ?? H1); [apply le_S_S_to_le;assumption]
 136     cases (Hs n); rewrite < H3 in H2; assumption (* ogni goal di tipo Prop non è anche di tipo CProp *)
 137 |2: cases (os_cotransitive ??? (a n1) H2); [assumption]
 138     cases (Hs n1); assumption;]
 139 qed.
 140
 141 lemma strictly_increasing_reaches:
 142   ∀C:ordered_set.∀m:sequence nat_ordered_set.
 143    m is_strictly_increasing → ∀w.∃t.m t ≰ w.
 144 intros; elim w;
 145 [1: cases (nat_discriminable O (m O)); [2: cases (not_le_Sn_n O (ltn_to_ltO ?? H1))]
 146     cases H1; [exists [apply O] apply H2;]
 147     exists [apply (S O)] lapply (H O) as H3; rewrite < H2 in H3; assumption
 148 |2: cases H1 (p Hp); cases (nat_discriminable (S n) (m p));
 149     [1: cases H2; clear H2;
 150         [1: exists [apply p]; assumption;
 151         |2: exists [apply (S p)]; rewrite > H3; apply H;]
 152     |2: cases (?:False); change in Hp with (n<m p);
 153         apply (not_le_Sn_n (m p));
 154         apply (transitive_le ??? H2 Hp);]]
 155 qed.
 156
 157 lemma selection:
 158   ∀C:ordered_set.∀m:sequence nat_ordered_set.m is_strictly_increasing →
 159     ∀a:sequence C.∀u.a ↑ u → (λx.a (m x)) ↑ u.
 160 intros (C m Hm a u Ha); cases Ha (Ia Su); cases Su (Uu Hu); repeat split;
 161 [1: intro n; simplify; apply trans_increasing_exc; [assumption] apply (Hm n);
 162 |2: intro n; simplify; apply Uu;
 163 |3: intros (y Hy); simplify; cases (Hu ? Hy);
 164     cases (strictly_increasing_reaches C ? Hm w);
 165     exists [apply w1]; cases (os_cotransitive ??? (a (m w1)) H); [2:assumption]
 166     cases (trans_increasing_exc C ? Ia ?? H1); assumption;]
 167 qed.
 168
 169 (* Definition 2.7 *)
 170 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 171 alias symbol "and" = "constructive and".
 172 definition order_converge ≝
 173   λO:ordered_set.λa:sequence O.λx:O.
 174    ∃l:sequence O.∃u:sequence O.
 175     (*l is_increasing ∧ u is_decreasing ∧*) l ↑ x ∧ u ↓ x ∧
 176     ∀i:nat. (l i) is_infimum (λw.a (w+i)) ∧ (u i) is_supremum (λw.a (w+i)).
 177
 178 notation < "a \nbsp (\circ \atop (\horbar\triangleright)) \nbsp x" non associative with precedence 50
 179   for @{'order_converge $a $x}.
 180 notation > "a 'order_converges' x" non associative with precedence 50
 181   for @{'order_converge $a $x}.
 182 interpretation "Order convergence" 'order_converge s u = (order_converge _ s u).
 183
 184 (* Definition 2.8 *)
 185
 186 definition segment ≝ λO:ordered_set.λa,b:O.λx:O.
 187   (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) (x ≤ b) (a ≤ x)).
 188
 189 notation "[a,b]" non associative with precedence 50
 190   for @{'segment $a $b}.
 191 interpretation "Ordered set sergment" 'segment a b = (segment _ a b).
 192
 193 notation "hvbox(x \in break [a,b])" non associative with precedence 50
 194   for @{'segment2 $a $b $x}.
 195 interpretation "Ordered set sergment in" 'segment2 a b x= (segment _ a b x).
 196
 197 coinductive sigma (A:Type) (P:A→Prop) : Type ≝ sig_in : ∀x.P x → sigma A P.
 198
 199 definition pi1 : ∀A.∀P.sigma A P → A ≝ λA,P,s.match s with [sig_in x _ ⇒ x].
 200
 201 notation < "'fst' \nbsp x" non associative with precedence 50 for @{'pi1 $x}.
 202 notation < "'snd' \nbsp x" non associative with precedence 50 for @{'pi2 $x}.
 203 notation > "'fst' x" non associative with precedence 50 for @{'pi1 $x}.
 204 notation > "'snd' x" non associative with precedence 50 for @{'pi2 $x}.
 205 interpretation "sigma pi1" 'pi1 x = (pi1 _ _ x).
 206
 207 interpretation "Type exists" 'exists \eta.x =
 208   (cic:/matita/dama/supremum/sigma.ind#xpointer(1/1) _ x).
 209
 210 lemma segment_ordered_set:
 211   ∀O:ordered_set.∀u,v:O.ordered_set.
 212 intros (O u v); apply (mk_ordered_set (∃x.x ∈ [u,v]));
 213 [1: intros (x y); apply (fst x ≰ fst y);
 214 |2: intro x; cases x; simplify; apply os_coreflexive;
 215 |3: intros 3 (x y z); cases x; cases y ; cases z; simplify; apply os_cotransitive]
 216 qed.
 217
 218 notation "hvbox({[a, break b]})" non associative with precedence 90
 219   for @{'segment_set $a $b}.
 220 interpretation "Ordered set segment" 'segment_set a b =
 221  (segment_ordered_set _ a b).
 222
 223 (* Lemma 2.9 *)
 224 lemma segment_preserves_supremum:
 225   ∀O:ordered_set.∀l,u:O.∀a:sequence {[l,u]}.∀x:{[l,u]}.
 226     (λn.fst (a n)) is_increasing ∧
 227     (fst x) is_supremum (λn.fst (a n)) → a ↑ x.
 228 intros; split; cases H; clear H;
 229 [1: apply H1;
 230 |2: cases H2; split; clear H2;
 231     [1: apply H;
 232     |2: clear H; intro y0; apply (H3 (fst y0));]]
 233 qed.
 234
 235 (* Definition 2.10 *)
 236 coinductive pair (A,B:Type) : Type ≝ prod : ∀a:A.∀b:B.pair A B.
 237 definition first : ∀A.∀P.pair A P → A ≝ λA,P,s.match s with [prod x _ ⇒ x].
 238 definition second : ∀A.∀P.pair A P → P ≝ λA,P,s.match s with [prod _ y ⇒ y].
 239
 240 interpretation "pair pi1" 'pi1 x = (first _ _ x).
 241 interpretation "pair pi2" 'pi2 x = (second _ _ x).
 242
 243 notation "hvbox(\langle a, break b\rangle)" non associative with precedence 91 for @{ 'pair $a $b}.
 244 interpretation "pair" 'pair a b = (prod _ _ a b).
 245
 246 notation "a \times b" left associative with precedence 60 for @{'prod $a $b}.
 247 interpretation "prod" 'prod a b = (pair a b).
 248
 249 lemma square_ordered_set: ordered_set → ordered_set.
 250 intro O; apply (mk_ordered_set (O × O));
 251 [1: intros (x y); apply (fst x ≰ fst y ∨ snd x ≰ snd y);
 252 |2: intro x0; cases x0 (x y); clear x0; simplify; intro H;
 253     cases H (X X); apply (os_coreflexive ?? X);
 254 |3: intros 3 (x0 y0 z0); cases x0 (x1 x2); cases y0 (y1 y2) ; cases z0 (z1 z2);
 255     clear x0 y0 z0; simplify; intro H; cases H (H1 H1); clear H;
 256     [1: cases (os_cotransitive ??? z1 H1); [left; left|right;left]assumption;
 257     |2: cases (os_cotransitive ??? z2 H1); [left;right|right;right]assumption]]
 258 qed.
 259
 260 notation < "s  2 \atop \nleq" non associative with precedence 90
 261   for @{ 'square $s }.
 262 notation > "s 'square'" non associative with precedence 90
 263   for @{ 'square $s }.
 264 interpretation "ordered set square" 'square s = (square_ordered_set s).
 265
 266 definition square_segment ≝
 267   λO:ordered_set.λa,b:O.λx:square_ordered_set O.
 268   (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1)
 269    (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) (fst x ≤ b) (a ≤ fst x))
 270    (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) (snd x ≤ b) (a ≤ snd x))).
 271
 272 definition convex ≝
 273   λO:ordered_set.λU:O square → Prop.
 274   ∀p.U p → fst p ≤ snd p → ∀y. square_segment ? (fst p) (snd p) y → U y.
 275
 276 (* Definition 2.11 *)
 277 definition upper_located ≝
 278   λO:ordered_set.λa:sequence O.∀x,y:O. y ≰ x →
 279     (∃i:nat.a i ≰ x) ∨ (∃b:O.y≰b ∧ ∀i:nat.a i ≤ b).
 280
 281 definition lower_located ≝
 282   λO:ordered_set.λa:sequence O.∀x,y:O. x ≰ y →
 283     (∃i:nat.x ≰ a i) ∨ (∃b:O.b≰y ∧ ∀i:nat.b ≤ a i).
 284
 285 notation < "s \nbsp 'is_upper_located'" non associative with precedence 50
 286   for @{'upper_located $s}.
 287 notation > "s 'is_upper_located'" non associative with precedence 50
 288   for @{'upper_located $s}.
 289 interpretation "Ordered set upper locatedness" 'upper_located s    =
 290   (upper_located _ s).
 291
 292 notation < "s \nbsp 'is_lower_located'" non associative with precedence 50
 293   for @{'lower_located $s}.
 294 notation > "s 'is_lower_located'" non associative with precedence 50
 295   for @{'lower_located $s}.
 296 interpretation "Ordered set lower locatedness" 'lower_located s    =
 297   (lower_located _ s).
 298
 299 (* Lemma 2.12 *)
 300 lemma uparrow_upperlocated:
 301   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.a ↑ u → a is_upper_located.
 302 intros (C a u H); cases H (H2 H3); clear H; intros 3 (x y Hxy);
 303 cases H3 (H4 H5); clear H3; cases (os_cotransitive ??? u Hxy) (W W);
 304 [2: cases (H5 ? W) (w Hw); left; exists [apply w] assumption;
 305 |1: right; exists [apply u]; split; [apply W|apply H4]]
 306 qed.
 307
 308 lemma downarrow_lowerlocated:
 309   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.a ↓ u → a is_lower_located.
 310 intros (C a u H); cases H (H2 H3); clear H; intros 3 (x y Hxy);
 311 cases H3 (H4 H5); clear H3; cases (os_cotransitive ??? u Hxy) (W W);
 312 [1: cases (H5 ? W) (w Hw); left; exists [apply w] assumption;
 313 |2: right; exists [apply u]; split; [apply W|apply H4]]
 314 qed.
 315
 316