helm/software/matita/contribs/dama/dama/supremum.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sequence.ma".
  16 include "ordered_set.ma".
  17
  18 (* Definition 2.4 *)
  19 definition upper_bound ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.a n ≤ u.
  20 definition lower_bound ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.u ≤ a n.
  21
  22 definition supremum ≝
  23   λO:ordered_set.λs:sequence O.λx.upper_bound ? s x ∧ (∀y:O.x ≰ y → ∃n.s n ≰ y).
  24 definition infimum ≝
  25   λO:ordered_set.λs:sequence O.λx.lower_bound ? s x ∧ (∀y:O.y ≰ x → ∃n.y ≰ s n).
  26
  27 definition increasing ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.∀n:nat.a n ≤ a (S n).
  28 definition decreasing ≝ λO:ordered_set.λa:sequence O.∀n:nat.a (S n) ≤ a n.
  29
  30 notation < "x \nbsp 'is_upper_bound' \nbsp s" non associative with precedence 50
  31   for @{'upper_bound $s $x}.
  32 notation < "x \nbsp 'is_lower_bound' \nbsp s" non associative with precedence 50
  33   for @{'lower_bound $s $x}.
  34 notation < "s \nbsp 'is_increasing'" non associative with precedence 50
  35   for @{'increasing $s}.
  36 notation < "s \nbsp 'is_decreasing'" non associative with precedence 50
  37   for @{'decreasing $s}.
  38 notation < "x \nbsp 'is_supremum' \nbsp s" non associative with precedence 50
  39   for @{'supremum $s $x}.
  40 notation < "x \nbsp 'is_infimum' \nbsp s" non associative with precedence 50
  41   for @{'infimum $s $x}.
  42
  43 notation > "x 'is_upper_bound' s" non associative with precedence 50
  44   for @{'upper_bound $s $x}.
  45 notation > "x 'is_lower_bound' s" non associative with precedence 50
  46   for @{'lower_bound $s $x}.
  47 notation > "s 'is_increasing'"    non associative with precedence 50
  48   for @{'increasing $s}.
  49 notation > "s 'is_decreasing'"    non associative with precedence 50
  50   for @{'decreasing $s}.
  51 notation > "x 'is_supremum' s"  non associative with precedence 50
  52   for @{'supremum $s $x}.
  53 notation > "x 'is_infimum' s"  non associative with precedence 50
  54   for @{'infimum $s $x}.
  55
  56 interpretation "Ordered set upper bound" 'upper_bound s x =
  57   (cic:/matita/dama/supremum/upper_bound.con _ s x).
  58 interpretation "Ordered set lower bound" 'lower_bound s x =
  59   (cic:/matita/dama/supremum/lower_bound.con _ s x).
  60 interpretation "Ordered set increasing"  'increasing s    =
  61   (cic:/matita/dama/supremum/increasing.con _ s).
  62 interpretation "Ordered set decreasing"  'decreasing s    =
  63   (cic:/matita/dama/supremum/decreasing.con _ s).
  64 interpretation "Ordered set strong sup"  'supremum s x  =
  65   (cic:/matita/dama/supremum/supremum.con _ s x).
  66 interpretation "Ordered set strong inf"  'infimum s x  =
  67   (cic:/matita/dama/supremum/infimum.con _ s x).
  68
  69 include "bishop_set.ma".
  70
  71 lemma uniq_supremum:
  72   ∀O:ordered_set.∀s:sequence O.∀t1,t2:O.
  73     t1 is_supremum s → t2 is_supremum s → t1 ≈ t2.
  74 intros (O s t1 t2 Ht1 Ht2); cases Ht1 (U1 H1); cases Ht2 (U2 H2);
  75 apply le_le_eq; intro X;
  76 [1: cases (H1 ? X); apply (U2 w); assumption
  77 |2: cases (H2 ? X); apply (U1 w); assumption]
  78 qed.
  79
  80 (* Fact 2.5 *)
  81 lemma supremum_is_upper_bound:
  82   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.
  83    u is_supremum a → ∀v.v is_upper_bound a → u ≤ v.
  84 intros 7 (C s u Hu v Hv H); cases Hu (_ H1); clear Hu;
  85 cases (H1 ? H) (w Hw); apply Hv; assumption;
  86 qed.
  87
  88 (* Lemma 2.6 *)
  89 definition strictly_increasing ≝
  90   λC:ordered_set.λa:sequence C.∀n:nat.a (S n) ≰ a n.
  91 definition strictly_decreasing ≝
  92   λC:ordered_set.λa:sequence C.∀n:nat.a n ≰ a (S n).
  93
  94
  95 notation < "s \nbsp 'is_strictly_increasing'" non associative with precedence 50
  96   for @{'strictly_increasing $s}.
  97 notation > "s 'is_strictly_increasing'" non associative with precedence 50
  98   for @{'strictly_increasing $s}.
  99 interpretation "Ordered set strict increasing"  'strictly_increasing s    =
 100   (cic:/matita/dama/supremum/strictly_increasing.con _ s).
 101 notation < "s \nbsp 'is_strictly_decreasing'" non associative with precedence 50
 102   for @{'strictly_decreasing $s}.
 103 notation > "s 'is_strictly_decreasing'" non associative with precedence 50
 104   for @{'strictly_decreasing $s}.
 105 interpretation "Ordered set strict decreasing"  'strictly_decreasing s    =
 106   (cic:/matita/dama/supremum/strictly_decreasing.con _ s).
 107
 108 notation "a \uparrow u" non associative with precedence 50 for @{'sup_inc $a $u}.
 109 interpretation "Ordered set supremum of increasing" 'sup_inc s u =
 110  (cic:/matita/dama/cprop_connectives/And.ind#xpointer(1/1)
 111   (cic:/matita/dama/supremum/increasing.con _ s)
 112   (cic:/matita/dama/supremum/supremum.con _ s u)).
 113 notation "a \downarrow u" non associative with precedence 50 for @{'inf_dec $a $u}.
 114 interpretation "Ordered set supremum of increasing" 'inf_dec s u =
 115  (cic:/matita/dama/cprop_connectives/And.ind#xpointer(1/1)
 116   (cic:/matita/dama/supremum/decreasing.con _ s)
 117   (cic:/matita/dama/supremum/infimum.con _ s u)).
 118
 119 include "nat/plus.ma".
 120 include "nat_ordered_set.ma".
 121
 122 alias symbol "nleq" = "Ordered set excess".
 123 alias symbol "leq" = "Ordered set less or equal than".
 124 lemma trans_increasing:
 125   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.a is_increasing → ∀n,m:nat_ordered_set. n ≤ m → a n ≤ a m.
 126 intros 5 (C a Hs n m); elim m; [
 127   rewrite > (le_n_O_to_eq n (not_lt_to_le O n H));
 128   intro X; cases (os_coreflexive ?? X);]
 129 cases (le_to_or_lt_eq ?? (not_lt_to_le (S n1) n H1)); clear H1;
 130 [2: rewrite > H2; intro; cases (os_coreflexive ?? H1);
 131 |1: apply (le_transitive ???? (H ?) (Hs ?));
 132     intro; whd in H1; apply (not_le_Sn_n n); apply (transitive_le ??? H2 H1);]
 133 qed.
 134
 135 lemma trans_increasing_exc:
 136   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.a is_increasing → ∀n,m:nat_ordered_set. m ≰ n → a n ≤ a m.
 137 intros 5 (C a Hs n m); elim m; [cases (not_le_Sn_O n H);]
 138 intro; apply H;
 139 [1: change in n1 with (os_carr nat_ordered_set); (* canonical structures *)
 140     change with (n<n1); (* is sort elimination not allowed preserved by delta? *)
 141     cases (le_to_or_lt_eq ?? H1); [apply le_S_S_to_le;assumption]
 142     cases (Hs n); rewrite < H3 in H2; assumption (* ogni goal di tipo Prop non è anche di tipo CProp *)
 143 |2: cases (os_cotransitive ??? (a n1) H2); [assumption]
 144     cases (Hs n1); assumption;]
 145 qed.
 146
 147 lemma strictly_increasing_reaches:
 148   ∀C:ordered_set.∀m:sequence nat_ordered_set.
 149    m is_strictly_increasing → ∀w.∃t.m t ≰ w.
 150 intros; elim w;
 151 [1: cases (nat_discriminable O (m O)); [2: cases (not_le_Sn_n O (ltn_to_ltO ?? H1))]
 152     cases H1; [exists [apply O] apply H2;]
 153     exists [apply (S O)] lapply (H O) as H3; rewrite < H2 in H3; assumption
 154 |2: cases H1 (p Hp); cases (nat_discriminable (S n) (m p));
 155     [1: cases H2; clear H2;
 156         [1: exists [apply p]; assumption;
 157         |2: exists [apply (S p)]; rewrite > H3; apply H;]
 158     |2: cases (?:False); change in Hp with (n<m p);
 159         apply (not_le_Sn_n (m p));
 160         apply (transitive_le ??? H2 Hp);]]
 161 qed.
 162
 163 lemma selection:
 164   ∀C:ordered_set.∀m:sequence nat_ordered_set.m is_strictly_increasing →
 165     ∀a:sequence C.∀u.a ↑ u → (λx.a (m x)) ↑ u.
 166 intros (C m Hm a u Ha); cases Ha (Ia Su); cases Su (Uu Hu); repeat split;
 167 [1: intro n; simplify; apply trans_increasing_exc; [assumption] apply (Hm n);
 168 |2: intro n; simplify; apply Uu;
 169 |3: intros (y Hy); simplify; cases (Hu ? Hy);
 170     cases (strictly_increasing_reaches C ? Hm w);
 171     exists [apply w1]; cases (os_cotransitive ??? (a (m w1)) H); [2:assumption]
 172     cases (trans_increasing_exc C ? Ia ?? H1); assumption;]
 173 qed.
 174
 175 (* Definition 2.7 *)
 176 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 177 alias symbol "and" = "constructive and".
 178 definition order_converge ≝
 179   λO:ordered_set.λa:sequence O.λx:O.
 180    ∃l:sequence O.∃u:sequence O.
 181     l is_increasing ∧ u is_decreasing ∧ l ↑ x ∧ u ↓ x ∧
 182     ∀i:nat. (l i) is_infimum (λw.a (w+i)) ∧ (u i) is_supremum (λw.a (w+i)).
 183
 184 notation < "a \nbsp (\circ \atop (\horbar\triangleright)) \nbsp x" non associative with precedence 50
 185   for @{'order_converge $a $x}.
 186 notation > "a 'order_converges' x" non associative with precedence 50
 187   for @{'order_converge $a $x}.
 188 interpretation "Order convergence" 'order_converge s u =
 189  (cic:/matita/dama/supremum/order_converge.con _ s u).
 190
 191 (* Definition 2.8 *)
 192
 193 definition segment ≝ λO:ordered_set.λa,b:O.λx:O.
 194   (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) (x ≤ b) (a ≤ x)).
 195
 196 notation "[a,b]" non associative with precedence 50
 197   for @{'segment $a $b}.
 198 interpretation "Ordered set sergment" 'segment a b =
 199   (cic:/matita/dama/supremum/segment.con _ a b).
 200
 201 notation "hvbox(x \in break [a,b])" non associative with precedence 50
 202   for @{'segment2 $a $b $x}.
 203 interpretation "Ordered set sergment in" 'segment2 a b x=
 204   (cic:/matita/dama/supremum/segment.con _ a b x).
 205
 206 coinductive sigma (A:Type) (P:A→Prop) : Type ≝ sig_in : ∀x.P x → sigma A P.
 207
 208 definition pi1 : ∀A.∀P.sigma A P → A ≝ λA,P,s.match s with [sig_in x _ ⇒ x].
 209
 210 notation < "'fst' \nbsp x" non associative with precedence 50 for @{'pi1 $x}.
 211 notation < "'snd' \nbsp x" non associative with precedence 50 for @{'pi2 $x}.
 212 notation > "'fst' x" non associative with precedence 50 for @{'pi1 $x}.
 213 notation > "'snd' x" non associative with precedence 50 for @{'pi2 $x}.
 214 interpretation "sigma pi1" 'pi1 x =
 215  (cic:/matita/dama/supremum/pi1.con _ _ x).
 216
 217 interpretation "Type exists" 'exists \eta.x =
 218   (cic:/matita/dama/supremum/sigma.ind#xpointer(1/1) _ x).
 219
 220 lemma segment_ordered_set:
 221   ∀O:ordered_set.∀u,v:O.ordered_set.
 222 intros (O u v); apply (mk_ordered_set (∃x.x ∈ [u,v]));
 223 [1: intros (x y); apply (fst x ≰ fst y);
 224 |2: intro x; cases x; simplify; apply os_coreflexive;
 225 |3: intros 3 (x y z); cases x; cases y ; cases z; simplify; apply os_cotransitive]
 226 qed.
 227
 228 notation "hvbox({[a, break b]})" non associative with precedence 90
 229   for @{'segment_set $a $b}.
 230 interpretation "Ordered set segment" 'segment_set a b =
 231  (cic:/matita/dama/supremum/segment_ordered_set.con _ a b).
 232
 233 (* Lemma 2.9 *)
 234 lemma segment_preserves_supremum:
 235   ∀O:ordered_set.∀l,u:O.∀a:sequence {[l,u]}.∀x:{[l,u]}.
 236     (λn.fst (a n)) is_increasing ∧
 237     (fst x) is_supremum (λn.fst (a n)) → a ↑ x.
 238 intros; split; cases H; clear H;
 239 [1: apply H1;
 240 |2: cases H2; split; clear H2;
 241     [1: apply H;
 242     |2: clear H; intro y0; apply (H3 (fst y0));]]
 243 qed.
 244
 245 (* Definition 2.10 *)
 246 coinductive pair (A,B:Type) : Type ≝ prod : ∀a:A.∀b:B.pair A B.
 247 definition first : ∀A.∀P.pair A P → A ≝ λA,P,s.match s with [prod x _ ⇒ x].
 248 definition second : ∀A.∀P.pair A P → P ≝ λA,P,s.match s with [prod _ y ⇒ y].
 249
 250 interpretation "pair pi1" 'pi1 x =
 251  (cic:/matita/dama/supremum/first.con _ _ x).
 252 interpretation "pair pi2" 'pi2 x =
 253  (cic:/matita/dama/supremum/second.con _ _ x).
 254
 255 notation "hvbox(\langle a, break b\rangle)" non associative with precedence 91 for @{ 'pair $a $b}.
 256 interpretation "pair" 'pair a b =
 257  (cic:/matita/dama/supremum/pair.ind#xpointer(1/1/1) _ _ a b).
 258
 259 notation "a \times b" left associative with precedence 60 for @{'prod $a $b}.
 260 interpretation "prod" 'prod a b =
 261  (cic:/matita/dama/supremum/pair.ind#xpointer(1/1) a b).
 262
 263 lemma square_ordered_set: ordered_set → ordered_set.
 264 intro O; apply (mk_ordered_set (O × O));
 265 [1: intros (x y); apply (fst x ≰ fst y ∨ snd x ≰ snd y);
 266 |2: intro x0; cases x0 (x y); clear x0; simplify; intro H;
 267     cases H (X X); apply (os_coreflexive ?? X);
 268 |3: intros 3 (x0 y0 z0); cases x0 (x1 x2); cases y0 (y1 y2) ; cases z0 (z1 z2);
 269     clear x0 y0 z0; simplify; intro H; cases H (H1 H1); clear H;
 270     [1: cases (os_cotransitive ??? z1 H1); [left; left|right;left]assumption;
 271     |2: cases (os_cotransitive ??? z2 H1); [left;right|right;right]assumption]]
 272 qed.
 273
 274 notation < "s  2 \atop \nleq" non associative with precedence 90
 275   for @{ 'square $s }.
 276 notation > "s 'square'" non associative with precedence 90
 277   for @{ 'square $s }.
 278 interpretation "ordered set square" 'square s =
 279  (cic:/matita/dama/supremum/square_ordered_set.con s).
 280
 281 definition square_segment ≝
 282   λO:ordered_set.λa,b:O.λx:square_ordered_set O.
 283   (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1)
 284    (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) (fst x ≤ b) (a ≤ fst x))
 285    (cic:/matita/logic/connectives/And.ind#xpointer(1/1) (snd x ≤ b) (a ≤ snd x))).
 286
 287 definition convex ≝
 288   λO:ordered_set.λU:O square → Prop.
 289   ∀p.U p → fst p ≤ snd p → ∀y. square_segment ? (fst p) (snd p) y → U y.
 290
 291 (* Definition 2.11 *)
 292 definition upper_located ≝
 293   λO:ordered_set.λa:sequence O.∀x,y:O. y ≰ x →
 294     (∃i:nat.a i ≰ x) ∨ (∃b:O.y≰b ∧ ∀i:nat.a i ≤ b).
 295
 296 definition lower_located ≝
 297   λO:ordered_set.λa:sequence O.∀x,y:O. x ≰ y →
 298     (∃i:nat.x ≰ a i) ∨ (∃b:O.b≰y ∧ ∀i:nat.b ≤ a i).
 299
 300 notation < "s \nbsp 'is_upper_located'" non associative with precedence 50
 301   for @{'upper_located $s}.
 302 notation > "s 'is_upper_located'" non associative with precedence 50
 303   for @{'upper_located $s}.
 304 interpretation "Ordered set upper locatedness" 'upper_located s    =
 305   (cic:/matita/dama/supremum/upper_located.con _ s).
 306
 307 notation < "s \nbsp 'is_lower_located'" non associative with precedence 50
 308   for @{'lower_located $s}.
 309 notation > "s 'is_lower_located'" non associative with precedence 50
 310   for @{'lower_located $s}.
 311 interpretation "Ordered set lower locatedness" 'lower_located s    =
 312   (cic:/matita/dama/supremum/lower_located.con _ s).
 313
 314 (* Lemma 2.12 *)
 315 lemma uparrow_upperlocated:
 316   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.a ↑ u → a is_upper_located.
 317 intros (C a u H); cases H (H2 H3); clear H; intros 3 (x y Hxy);
 318 cases H3 (H4 H5); clear H3; cases (os_cotransitive ??? u Hxy) (W W);
 319 [2: cases (H5 ? W) (w Hw); left; exists [apply w] assumption;
 320 |1: right; exists [apply u]; split; [apply W|apply H4]]
 321 qed.
 322
 323 lemma downarrow_lowerlocated:
 324   ∀C:ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.a ↓ u → a is_lower_located.
 325 intros (C a u H); cases H (H2 H3); clear H; intros 3 (x y Hxy);
 326 cases H3 (H4 H5); clear H3; cases (os_cotransitive ??? u Hxy) (W W);
 327 [1: cases (H5 ? W) (w Hw); left; exists [apply w] assumption;
 328 |2: right; exists [apply u]; split; [apply W|apply H4]]
 329 qed.
 330
 331