helm/software/matita/contribs/dama/dama_didactic/bottom.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "nat/times.ma".
  18 include "nat/orders.ma".
  19
  20 include "decl.ma".
  21
  22 inductive L (T:Type):Type:=
  23   bottom: L T
  24  |j: T → L T.
  25
  26 inductive eq (T:Type) : L T → L T → Prop :=
  27  eq_refl:∀x:T. eq T (j ? x) (j ? x).
  28
  29 notation "hvbox(a break ≡ b)"
  30   non associative with precedence 45
  31 for @{ 'equiv $a $b }.
  32
  33 interpretation "uguaglianza parziale" 'equiv x y = (eq _ x y).
  34
  35 coercion cic:/matita/tests/decl/L.ind#xpointer(1/1/2).
  36
  37 lemma sim: ∀T:Type. ∀x,y:T. (j ? x) ≡ (j ? y) → (j ? y) ≡ (j ? x).
  38  intros.
  39  inversion H.
  40  intros.
  41  apply eq_refl.
  42 qed.
  43
  44 lemma trans: ∀T:Type. ∀x,y,z:T.
  45  (j ? x) ≡ (j ? y) → (j ? y) ≡ (j ? z) → (j ? x) ≡ (j ? z).
  46  intros.
  47  inversion H1.
  48  intros.
  49  rewrite > H2 in H.
  50  assumption.
  51 qed.
  52
  53 axiom R:Type.
  54 axiom R0:R.
  55 axiom R1:R.
  56 axiom Rplus: L R→L R→L R.
  57 axiom Rmult: L R→L R→L R.(*
  58 axiom Rdiv: L R→L R→L R.*)
  59 axiom Rinv: L R→L R.
  60 axiom Relev: L R→L R→L R.
  61 axiom Rle: L R→L R→Prop.
  62 axiom Rge: L R→L R→Prop.
  63
  64 interpretation "real plus" 'plus x y = (Rplus x y).
  65
  66 interpretation "real leq" 'leq x y = (Rle x y).
  67
  68 interpretation "real geq" 'geq x y = (Rge x y).
  69
  70 let rec elev (x:L R) (n:nat) on n: L R ≝
  71  match n with
  72   [O ⇒ match x with [bottom ⇒ bottom ? | j y ⇒ (j ? R1)]
  73   | S n ⇒ Rmult x (elev x n)
  74   ].
  75
  76 let rec real_of_nat (n:nat) : L R ≝
  77  match n with
  78   [ O ⇒ (j ? R0)
  79   | S n ⇒ real_of_nat n + (j ? R1)
  80   ].
  81
  82 coercion cic:/matita/tests/decl/real_of_nat.con.
  83
  84 axiom Rplus_commutative: ∀x,y:R. (j ? x) + (j ? y) ≡ (j ? y) + (j ? x).
  85 axiom R0_neutral: ∀x:R. (j ? x) + (j ? R0) ≡ (j ? x).
  86 axiom Rmult_commutative: ∀x,y:R. Rmult (j ? x) (j ? y) ≡ Rmult (j ? y) (j ? x).
  87 axiom R1_neutral: ∀x:R. Rmult (j ? x) (j ? R1) ≡ (j ? x).
  88
  89 axiom Rinv_ok:
  90  ∀x:R. ¬((j ? x) ≡ (j ? R0)) → Rmult (Rinv (j ? x)) (j ? x) ≡ (j ? R1).
  91 definition is_defined :=
  92  λ T:Type. λ x:L T. ∃y:T. x = (j ? y).
  93 axiom Rinv_ok2: ∀x:L R. ¬(x = bottom ?) → ¬(x ≡ (j ? R0)) → is_defined ? (Rinv x).
  94
  95 definition Rdiv :=
  96  λ x,y:L R. Rmult x (Rinv y).
  97
  98 (*
  99 lemma pippo: ∀x:R. ¬((j ? x) ≡ (j ? R0)) → Rdiv (j ? R1) (j ? x) ≡ Rinv (j ? x).
 100  intros.
 101  unfold Rdiv.
 102  elim (Rinv_ok2 ? ? H).
 103  rewrite > H1.
 104  rewrite > Rmult_commutative.
 105  apply R1_neutral.
 106 *)
 107
 108 axiom Rdiv_le: ∀x,y:R. (j ? R1) ≤ (j ? y) → Rdiv (j ? x) (j ? y) ≤ (j ? x).
 109 axiom R2_1: (j ? R1) ≤ S (S O).
 110
 111
 112 axiom Rdiv_pos: ∀ x,y:R.
 113  (j ? R0) ≤ (j ? x) → (j ? R1) ≤ (j ? y) → (j ? R0) ≤ Rdiv (j ? x) (j ? y).
 114 axiom Rle_R0_R1: (j ? R0) ≤ (j ? R1).
 115 axiom div: ∀x:R. (j ? x) = Rdiv (j ? x) (S (S O)) → (j ? x) = O.