]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/contribs/dama/dama_duality/excess.ma
fixed some regressions
[helm.git] / helm / software / matita / contribs / dama / dama_duality / excess.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15
16
17 include "higher_order_defs/relations.ma".
18 include "nat/plus.ma".
19 include "constructive_higher_order_relations.ma".
20 include "constructive_connectives.ma".
21
22 record excess_base : Type ≝ {
23   exc_carr:> Type;
24   exc_excess: exc_carr → exc_carr → Type;
25   exc_coreflexive: coreflexive ? exc_excess;
26   exc_cotransitive: cotransitive ? exc_excess 
27 }.
28
29 interpretation "Excess base excess" 'nleq a b = (exc_excess _ a b). 
30
31 (* E(#,≰) → E(#,sym(≰)) *)
32 lemma make_dual_exc: excess_base → excess_base.
33 intro E;
34 apply (mk_excess_base (exc_carr E));
35   [ apply (λx,y:E.y≰x);|apply exc_coreflexive;
36   | unfold cotransitive; simplify; intros (x y z H);
37     cases (exc_cotransitive E ??z H);[right|left]assumption]
38 qed.
39
40 record excess_dual : Type ≝ {
41   exc_dual_base:> excess_base;
42   exc_dual_dual_ : excess_base;
43   exc_with: exc_dual_dual_ = make_dual_exc exc_dual_base
44 }.
45
46 lemma mk_excess_dual_smart: excess_base → excess_dual.
47 intro; apply mk_excess_dual; [apply e| apply (make_dual_exc e)|reflexivity]
48 qed.
49
50 definition exc_dual_dual: excess_dual → excess_base.
51 intro E; apply (make_dual_exc E);
52 qed. 
53
54 coercion cic:/matita/excess/exc_dual_dual.con.
55
56 record apartness : Type ≝ {
57   ap_carr:> Type;
58   ap_apart: ap_carr → ap_carr → Type;
59   ap_coreflexive: coreflexive ? ap_apart;
60   ap_symmetric: symmetric ? ap_apart;
61   ap_cotransitive: cotransitive ? ap_apart
62 }.
63
64 notation "hvbox(a break # b)" non associative with precedence 50 for @{ 'apart $a $b}.
65 interpretation "apartness" 'apart x y = (ap_apart _ x y).
66
67 definition apartness_of_excess_base: excess_base → apartness.
68 intros (E); apply (mk_apartness E (λa,b:E. a ≰ b ∨ b ≰ a));  
69 [1: unfold; cases E; simplify; clear E; intros (x); unfold;
70     intros (H1); apply (H x); cases H1; assumption;
71 |2: unfold; intros(x y H); cases H; clear H; [right|left] assumption;
72 |3: intros (E); unfold; cases E (T f _ cTf); simplify; intros (x y z Axy);
73     cases Axy (H H); lapply (cTf ? ? z H) as H1; cases H1; clear Axy H1;
74     [left; left|right; left|right; right|left; right] assumption]
75 qed.
76
77 record excess_ : Type ≝ {
78   exc_exc:> excess_dual;
79   exc_ap_: apartness;
80   exc_with1: ap_carr exc_ap_ = exc_carr exc_exc
81 }.
82
83 definition exc_ap: excess_ → apartness.
84 intro E; apply (mk_apartness E); unfold Type_OF_excess_; 
85 cases (exc_with1 E); simplify;
86 [apply (ap_apart (exc_ap_ E));
87 |apply ap_coreflexive;|apply ap_symmetric;|apply ap_cotransitive] 
88 qed.
89
90 coercion cic:/matita/excess/exc_ap.con.
91
92 interpretation "Excess excess_" 'nleq a b =
93  (exc_excess (excess_base_OF_excess_1 _) a b).
94
95 record excess : Type ≝ {
96   excess_carr:> excess_;
97   ap2exc: ∀y,x:excess_carr. y # x → y ≰ x ∨ x ≰ y;
98   exc2ap: ∀y,x:excess_carr.y ≰ x ∨ x ≰ y →  y # x 
99 }.
100
101 interpretation "Excess excess" 'nleq a b =
102  (exc_excess (excess_base_OF_excess1 _) a b).
103  
104 interpretation "Excess (dual) excess" 'ngeq a b =
105  (exc_excess (excess_base_OF_excess _) a b).
106
107 definition strong_ext ≝ λA:apartness.λop:A→A.∀x,y. op x # op y → x # y.
108
109 definition le ≝ λE:excess_base.λa,b:E. ¬ (a ≰ b).
110
111 interpretation "Excess less or equal than" 'leq a b = 
112  (le (excess_base_OF_excess1 _) a b).
113
114 interpretation "Excess less or equal than" 'geq a b = 
115  (le (excess_base_OF_excess _) a b).
116
117 lemma le_reflexive: ∀E.reflexive ? (le E).
118 unfold reflexive; intros 3 (E x H); apply (exc_coreflexive ?? H);
119 qed.
120
121 lemma le_transitive: ∀E.transitive ? (le E).
122 unfold transitive; intros 7 (E x y z H1 H2 H3); cases (exc_cotransitive ??? y H3) (H4 H4);
123 [cases (H1 H4)|cases (H2 H4)]
124 qed.
125
126 definition eq ≝ λA:apartness.λa,b:A. ¬ (a # b).
127
128 notation "hvbox(a break ≈ b)" non associative with precedence 50 for @{ 'napart $a $b}.    
129 interpretation "Apartness alikeness" 'napart a b = (eq _ a b). 
130 interpretation "Excess alikeness" 'napart a b = (eq (excess_base_OF_excess1 _) a b). 
131 interpretation "Excess (dual) alikeness" 'napart a b = (eq (excess_base_OF_excess _) a b). 
132
133 lemma eq_reflexive:∀E:apartness. reflexive ? (eq E).
134 intros (E); unfold; intros (x); apply ap_coreflexive; 
135 qed.
136
137 lemma eq_sym_:∀E:apartness.symmetric ? (eq E).
138 unfold symmetric; intros 5 (E x y H H1); cases (H (ap_symmetric ??? H1)); 
139 qed.
140
141 lemma eq_sym:∀E:apartness.∀x,y:E.x ≈ y → y ≈ x ≝ eq_sym_.
142
143 (* SETOID REWRITE *)
144 coercion cic:/matita/excess/eq_sym.con.
145
146 lemma eq_trans_: ∀E:apartness.transitive ? (eq E).
147 (* bug. intros k deve fare whd quanto basta *)
148 intros 6 (E x y z Exy Eyz); intro Axy; cases (ap_cotransitive ???y Axy); 
149 [apply Exy|apply Eyz] assumption.
150 qed.
151
152 lemma eq_trans:∀E:apartness.∀x,z,y:E.x ≈ y → y ≈ z → x ≈ z ≝ 
153   λE,x,y,z.eq_trans_ E x z y.
154
155 notation > "'Eq'≈" non associative with precedence 50 for @{'eqrewrite}.
156 interpretation "eq_rew" 'eqrewrite = (eq_trans _ _ _).
157
158 alias id "antisymmetric" = "cic:/matita/constructive_higher_order_relations/antisymmetric.con".
159 lemma le_antisymmetric: 
160   ∀E:excess.antisymmetric ? (le (excess_base_OF_excess1 E)) (eq E).
161 intros 5 (E x y Lxy Lyx); intro H; 
162 cases (ap2exc ??? H); [apply Lxy;|apply Lyx] assumption;
163 qed.
164
165 definition lt ≝ λE:excess.λa,b:E. a ≤ b ∧ a # b.
166
167 interpretation "ordered sets less than" 'lt a b = (lt _ a b).
168
169 lemma lt_coreflexive: ∀E.coreflexive ? (lt E).
170 intros 2 (E x); intro H; cases H (_ ABS); 
171 apply (ap_coreflexive ? x ABS);
172 qed.
173  
174 lemma lt_transitive: ∀E.transitive ? (lt E).
175 intros (E); unfold; intros (x y z H1 H2); cases H1 (Lxy Axy); cases H2 (Lyz Ayz); 
176 split; [apply (le_transitive ???? Lxy Lyz)] clear H1 H2;
177 elim (ap2exc ??? Axy) (H1 H1); elim (ap2exc ??? Ayz) (H2 H2); [1:cases (Lxy H1)|3:cases (Lyz H2)]
178 clear Axy Ayz;lapply (exc_cotransitive (exc_dual_base E)) as c; unfold cotransitive in c;
179 lapply (exc_coreflexive (exc_dual_base E)) as r; unfold coreflexive in r;
180 [1: lapply (c ?? y H1) as H3; elim H3 (H4 H4); [cases (Lxy H4)|cases (r ? H4)]
181 |2: lapply (c ?? x H2) as H3; elim H3 (H4 H4); [apply exc2ap; right; assumption|cases (Lxy H4)]]
182 qed.
183
184 theorem lt_to_excess: ∀E:excess.∀a,b:E. (a < b) → (b ≰ a).
185 intros (E a b Lab); elim Lab (LEab Aab);
186 elim (ap2exc ??? Aab) (H H); [cases (LEab H)] fold normalize (b ≰ a); assumption; (* BUG *)  
187 qed.
188
189 lemma le_rewl: ∀E:excess.∀z,y,x:E. x ≈ y → x ≤ z → y ≤ z.
190 intros (E z y x Exy Lxz); apply (le_transitive ???? ? Lxz);
191 intro Xyz; apply Exy; apply exc2ap; right; assumption;
192 qed.
193
194 lemma le_rewr: ∀E:excess.∀z,y,x:E. x ≈ y → z ≤ x → z ≤ y.
195 intros (E z y x Exy Lxz); apply (le_transitive ???? Lxz);
196 intro Xyz; apply Exy; apply exc2ap; left; assumption;
197 qed.
198
199 notation > "'Le'≪" non associative with precedence 50 for @{'lerewritel}.
200 interpretation "le_rewl" 'lerewritel = (le_rewl _ _ _).
201 notation > "'Le'≫" non associative with precedence 50 for @{'lerewriter}.
202 interpretation "le_rewr" 'lerewriter = (le_rewr _ _ _).
203
204 lemma ap_rewl: ∀A:apartness.∀x,z,y:A. x ≈ y → y # z → x # z.
205 intros (A x z y Exy Ayz); cases (ap_cotransitive ???x Ayz); [2:assumption]
206 cases (Exy (ap_symmetric ??? a));
207 qed.
208   
209 lemma ap_rewr: ∀A:apartness.∀x,z,y:A. x ≈ y → z # y → z # x.
210 intros (A x z y Exy Azy); apply ap_symmetric; apply (ap_rewl ???? Exy);
211 apply ap_symmetric; assumption;
212 qed.
213
214 notation > "'Ap'≪" non associative with precedence 50 for @{'aprewritel}.
215 interpretation "ap_rewl" 'aprewritel = (ap_rewl _ _ _).
216 notation > "'Ap'≫" non associative with precedence 50 for @{'aprewriter}.
217 interpretation "ap_rewr" 'aprewriter = (ap_rewr _ _ _).
218
219 alias symbol "napart" = "Apartness alikeness".
220 lemma exc_rewl: ∀A:excess.∀x,z,y:A. x ≈ y → y ≰ z → x ≰ z.
221 intros (A x z y Exy Ayz); elim (exc_cotransitive ???x Ayz); [2:assumption]
222 cases Exy; apply exc2ap; right; assumption;
223 qed.
224   
225 lemma exc_rewr: ∀A:excess.∀x,z,y:A. x ≈ y → z ≰ y → z ≰ x.
226 intros (A x z y Exy Azy); elim (exc_cotransitive ???x Azy); [assumption]
227 elim (Exy); apply exc2ap; left; assumption;
228 qed.
229
230 notation > "'Ex'≪" non associative with precedence 50 for @{'excessrewritel}.
231 interpretation "exc_rewl" 'excessrewritel = (exc_rewl _ _ _).
232 notation > "'Ex'≫" non associative with precedence 50 for @{'excessrewriter}.
233 interpretation "exc_rewr" 'excessrewriter = (exc_rewr _ _ _).
234
235 lemma lt_rewr: ∀A:excess.∀x,z,y:A. x ≈ y → z < y → z < x.
236 intros (A x y z E H); split; elim H; 
237 [apply (Le≫ ? (eq_sym ??? E));|apply (Ap≫ ? E)] assumption;
238 qed.
239
240 lemma lt_rewl: ∀A:excess.∀x,z,y:A. x ≈ y → y < z → x < z.
241 intros (A x y z E H); split; elim H; 
242 [apply (Le≪ ? (eq_sym ??? E));| apply (Ap≪ ? E);] assumption;
243 qed.
244
245 notation > "'Lt'≪" non associative with precedence 50 for @{'ltrewritel}.
246 interpretation "lt_rewl" 'ltrewritel = (lt_rewl _ _ _).
247 notation > "'Lt'≫" non associative with precedence 50 for @{'ltrewriter}.
248 interpretation "lt_rewr" 'ltrewriter = (lt_rewr _ _ _).
249
250 lemma lt_le_transitive: ∀A:excess.∀x,y,z:A.x < y → y ≤ z → x < z.
251 intros (A x y z LT LE); cases LT (LEx APx); split; [apply (le_transitive ???? LEx LE)]
252 apply exc2ap; cases (ap2exc ??? APx) (EXx EXx); [cases (LEx EXx)]
253 cases (exc_cotransitive ??? z EXx) (EXz EXz); [cases (LE EXz)]
254 right; assumption;
255 qed.
256
257 lemma le_lt_transitive: ∀A:excess.∀x,y,z:A.x ≤ y → y < z → x < z.
258 intros (A x y z LE LT); cases LT (LEx APx); split; [apply (le_transitive ???? LE LEx)]
259 elim (ap2exc ??? APx) (EXx EXx); [cases (LEx EXx)]
260 elim (exc_cotransitive ??? x EXx) (EXz EXz); [apply exc2ap; right; assumption]
261 cases LE; assumption;
262 qed.
263     
264 lemma le_le_eq: ∀E:excess.∀a,b:E. a ≤ b → b ≤ a → a ≈ b.
265 intros (E x y L1 L2); intro H; cases (ap2exc ??? H); [apply L1|apply L2] assumption;
266 qed.
267
268 lemma eq_le_le: ∀E:excess.∀a,b:E. a ≈ b → a ≤ b ∧ b ≤ a.
269 intros (E x y H); whd in H;
270 split; intro; apply H; apply exc2ap; [left|right] assumption.
271 qed.
272
273 lemma ap_le_to_lt: ∀E:excess.∀a,c:E.c # a → c ≤ a → c < a.
274 intros; split; assumption;
275 qed.
276
277 definition total_order_property : ∀E:excess. Type ≝ 
278   λE:excess. ∀a,b:E. a ≰ b → b < a.
279