helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma

   1 (* Esercitazione di logica 29/10/2008. *)
   2
   3 (* Esercizio 0
   4    ===========
   5
   6    Compilare i seguenti campi:
   7
   8    Nome1: ...
   9    Cognome1: ...
  10    Matricola1: ...
  11    Account1: ...
  12
  13    Nome2: ...
  14    Cognome2: ...
  15    Matricola2: ...
  16    Account2: ...
  17
  18    Prima di abbandonare la postazione:
  19
  20    * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
  21      /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
  22      account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
  23
  24    * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
  25      usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
  26 *)
  27
  28 (*DOCBEGIN
  29
  30 Il teorema di dualità
  31 =====================
  32
  33 Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
  34 se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
  35 loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
  36
  37 L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
  38
  39    * Scambia FTop con FBot e viceversa
  40
  41    * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
  42
  43    * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
  44      prima sottoformula.
  45
  46    Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
  47    `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
  48
  49 Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
  50 definire altre nozioni:
  51
  52 * La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
  53   Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
  54
  55 * La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
  56   Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
  57   `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
  58
  59 DOCEND*)
  60
  61 (* ATTENZIONE
  62    ==========
  63
  64    Non modificare quanto segue
  65 *)
  66 include "nat/minus.ma".
  67 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
  68 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  69 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  70 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
  71 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
  72 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
  73
  74 (* Ripasso
  75    =======
  76
  77    Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
  78    rapperesentati da un numero naturale
  79 *)
  80 inductive Formula : Type ≝
  81 | FBot: Formula
  82 | FTop: Formula
  83 | FAtom: nat → Formula
  84 | FAnd: Formula → Formula → Formula
  85 | FOr: Formula → Formula → Formula
  86 | FImpl: Formula → Formula → Formula
  87 | FNot: Formula → Formula
  88 .
  89
  90 (* Esercizio 1
  91    ===========
  92
  93    Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
  94    esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
  95    atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
  96    maggiore di 1.
  97
  98    Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
  99    e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
 100    usare la funzione `min`.
 101 *)
 102 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
 103  match F with
 104   [ FBot ⇒ 0
 105   | FTop ⇒ 1
 106   | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
 107   | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
 108   | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
 109   | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
 110   | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
 111   ]
 112 .
 113
 114 (* ATTENZIONE
 115    ==========
 116
 117    Non modificare quanto segue.
 118 *)
 119 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 120 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 121 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
 122 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
 123
 124 definition v20 ≝ λx.
 125        if eqb x 0 then 2
 126   else if eqb x 1 then 1
 127   else                 0.
 128
 129 (* Test 1
 130    ======
 131
 132    La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
 133    `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
 134
 135 *)
 136 eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
 137
 138 (*DOCBEGIN
 139
 140 La libreria di Matita
 141 =====================
 142
 143 Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
 144 librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
 145 sono necessari i seguenti lemmi:
 146
 147 * lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
 148 * lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
 149 * lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
 150 * lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
 151 * lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
 152
 153 DOCEND*)
 154
 155 (* ATTENZIONE
 156    ==========
 157
 158    Non modificare quanto segue.
 159 *)
 160 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.  intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].  |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
 161 lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.  intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
 162 lemma min_max : ∀F,G,v.  min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
 163 lemma max_min : ∀F,G,v.  max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
 164
 165 (* Esercizio 2
 166    ===========
 167
 168    Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
 169    che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
 170
 171    Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
 172    `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
 173 *)
 174 let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
 175  match F with
 176   [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
 177   | FTop ⇒ FTop
 178   | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
 179   | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
 180   | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
 181   | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
 182   | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
 183   ].
 184
 185 (* Test 2
 186    ======
 187
 188    Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
 189
 190        FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1)))
 191 *)
 192
 193 eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))).
 194
 195 (* ATTENZIONE
 196    ==========
 197
 198    Non modificare quanto segue
 199 *)
 200 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
 201 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)"  non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
 202 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
 203 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
 204 lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
 205
 206 (* Esercizio 3
 207    ===========
 208
 209    Definire per ricorsione strutturale la funzione di
 210    dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
 211
 212    * Scambia FTop con FBot e viceversa
 213
 214    * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
 215
 216    * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
 217      prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
 218      è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
 219      cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
 220
 221    Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
 222    `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
 223 *)
 224 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
 225   match F with
 226   [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
 227   | FTop ⇒ FBot
 228   | FAtom n ⇒ FAtom n
 229   | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
 230   | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
 231   | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
 232   | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
 233   ].
 234
 235 (* Test 3
 236    ======
 237
 238    Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
 239
 240        FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop)
 241 *)
 242
 243 eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
 244
 245 (* Spiegazione
 246    ===========
 247
 248    La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
 249    Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
 250    `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
 251
 252 *)
 253 definition invert ≝
 254  λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
 255
 256 interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
 257
 258 (*DOCBEGIN
 259
 260 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
 261 ========================================
 262
 263 Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
 264 utilizzare il seguente comando:
 265
 266 * by H1, H2 we proved P (H)
 267
 268   Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
 269   permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
 270   separandoli con una virgola.
 271
 272 DOCEND*)
 273
 274 (* Esercizio 4
 275    ===========
 276
 277    Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
 278    la semantica in un mondo `v` associato alla formula
 279    negata di `F` e uguale alla semantica associata
 280    a `F` in un mondo invertito.
 281 *)
 282 lemma negate_invert:
 283   ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
 284 assume F:Formula.
 285 assume v:(ℕ→ℕ).
 286 we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
 287   case FBot.
 288     (*BEGIN*)
 289     the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
 290     (*END*)
 291   done.
 292   case FTop.
 293     (*BEGIN*)
 294     the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
 295     (*END*)
 296   done.
 297   case FAtom.
 298     assume n : ℕ.
 299     the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
 300     the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
 301     the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
 302     by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
 303     we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
 304       case Left.
 305         conclude
 306             (1 - (min (v n) 1))
 307           = (1 - 0) by H.
 308           = 1.
 309           = (min 1 1).
 310           = (min (if true then 1 else O) 1).
 311           = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
 312           = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
 313       done.
 314       case Right.
 315         (*BEGIN*)
 316         conclude
 317             (1 - (min (v n) 1))
 318           = (1 - 1) by H.
 319           = 0.
 320           = (min 0 1).
 321           = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
 322           = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
 323         (*END*)
 324       done.
 325   case FAnd.
 326     assume f : Formula.
 327     by induction hypothesis we know
 328       ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
 329     assume f1 : Formula.
 330     by induction hypothesis we know
 331      ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
 332     the thesis becomes
 333      ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
 334     the thesis becomes
 335      (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
 336     conclude
 337         (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
 338       = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
 339       = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
 340   done.
 341   case FOr.
 342     (*BEGIN*)
 343     assume f : Formula.
 344     by induction hypothesis we know
 345       ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
 346     assume f1 : Formula.
 347     by induction hypothesis we know
 348      ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
 349     the thesis becomes
 350      ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
 351     the thesis becomes
 352      (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
 353     conclude
 354         (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
 355       = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
 356       = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
 357     (*END*)
 358   done.
 359   case FImpl.
 360     (*BEGIN*)
 361     assume f : Formula.
 362     by induction hypothesis we know
 363       ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
 364     assume f1 : Formula.
 365     by induction hypothesis we know
 366      ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
 367     the thesis becomes
 368      ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
 369     the thesis becomes
 370      (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
 371     conclude
 372         (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
 373       = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
 374       = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
 375     (*END*)
 376   done.
 377   case FNot.
 378     (*BEGIN*)
 379     assume f : Formula.
 380     by induction hypothesis we know
 381       ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
 382     the thesis becomes
 383       ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
 384     the thesis becomes
 385       (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
 386     conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
 387     (*END*)
 388   done.
 389 qed.
 390
 391 (* Esercizio 5
 392    ===========
 393
 394    Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
 395 *)
 396 lemma negate_fun:
 397  ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
 398  assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
 399  assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
 400  suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
 401  the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
 402  the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
 403  assume v:(ℕ→ℕ).
 404  conclude
 405      [[ negate F ]]_v
 406    = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
 407    = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
 408    = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
 409  done.
 410 qed.
 411
 412 (* Esercizio 6
 413    ===========
 414
 415    Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a
 416    dualizzarla e negarla.
 417 *)
 418 lemma not_dualize_eq_negate:
 419  ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
 420  (*BEGIN*)
 421  assume F:Formula.
 422  the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
 423  (*END*)
 424  assume v:(ℕ→ℕ).
 425  we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
 426  case FBot.
 427    (*BEGIN*)
 428    the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
 429    (*END*)
 430  done.
 431  case FTop.
 432    (*BEGIN*)
 433    the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
 434    (*END*)
 435  done.
 436  case FAtom.
 437    (*BEGIN*)
 438    assume n : ℕ.
 439    the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
 440    (*END*)
 441  done.
 442  case FAnd.
 443    assume f : Formula.
 444    by induction hypothesis we know
 445      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
 446    assume f1 : Formula.
 447    by induction hypothesis we know
 448     ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
 449    the thesis becomes
 450     ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
 451    the thesis becomes
 452     (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
 453    conclude
 454        (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
 455      = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.
 456      = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
 457      = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
 458      = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
 459  done.
 460  case FOr.
 461    (*BEGIN*)
 462    assume f : Formula.
 463    by induction hypothesis we know
 464      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
 465    assume f1 : Formula.
 466    by induction hypothesis we know
 467     ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
 468    the thesis becomes
 469     ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
 470    the thesis becomes
 471     (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
 472    conclude
 473        (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
 474      = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
 475      = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
 476      = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
 477      = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
 478    (*END*)
 479  done.
 480  case FImpl.
 481    (*BEGIN*)
 482    assume f : Formula.
 483    by induction hypothesis we know
 484      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
 485    assume f1 : Formula.
 486    by induction hypothesis we know
 487     ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
 488    the thesis becomes
 489     ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
 490    the thesis becomes
 491     (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
 492    conclude
 493        (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
 494      = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.
 495      = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
 496      = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
 497      = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
 498    (*END*)
 499  done.
 500  case FNot.
 501    (*BEGIN*)
 502    assume f : Formula.
 503    by induction hypothesis we know
 504      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
 505    the thesis becomes
 506       ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
 507    the thesis becomes
 508       (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
 509    conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
 510    (*END*)
 511  done.
 512 qed.
 513
 514 (* Esercizio 7
 515    ===========
 516
 517    Dimostrare che la negazione è iniettiva
 518 *)
 519 lemma minus_injective : ∀x.x≤1 → 1 - (1 - x) = x.
 520 intros; inversion H; intros; destruct; try reflexivity;
 521 rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;
 522 qed.
 523
 524 lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [2:apply le_n] apply le_O_n;qed.
 525
 526 theorem not_inj:
 527  ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
 528  (*BEGIN*)
 529  assume F:Formula.
 530  assume G:Formula.
 531  suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
 532  the thesis becomes (F ≡ G).
 533  the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
 534  (*END*)
 535  assume v:(ℕ→ℕ).
 536  conclude
 537      ([[F]]_v)
 538    = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (minus_injective [[F]]_v (sem_le_1 ??)).
 539    = (1 -
 540    = (1 - (1 - [[G]]_v))
 541
 542  by H we proved ([[ FNot F ]]_v=[[ FNot G ]]_v) (H1).
 543  using H1 we proved (1 - [[ F ]]_v=1 - [[ G ]]_v) (H2).
 544  by minus_injective, sem_le_1 we proved ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v) (H3);
 545  done.
 546 qed.
 547
 548 (*DOCBEGIN
 549
 550 La prova del teorema di dualità
 551 ===============================
 552
 553 Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
 554 `F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
 555
 556     ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
 557
 558 Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
 559
 560 1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
 561    `min_bool`
 562
 563         ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
 564
 565 2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
 566
 567         ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
 568
 569 2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
 570    utilizzando `max_min` e `min_max`
 571
 572         ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
 573
 574 4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
 575
 576         ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
 577
 578 Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
 579 procede come di seguito:
 580
 581 1. Assume l'ipotesi
 582
 583         F1 ≡ F2
 584
 585 2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
 586
 587         negate F1 ≡ negate F2
 588
 589 3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
 590    `equiv_rewrite` ottiene
 591
 592         FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
 593
 594 4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
 595
 596         dualize F1 ≡ dualize F2
 597
 598 DOCEND*)
 599
 600 (* Esercizio 8
 601    ===========
 602
 603    Dimostrare il teorema di dualità
 604 *)
 605 theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
 606  assume F1:Formula.
 607  assume F2:Formula.
 608  suppose (F1 ≡ F2) (H).
 609  the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
 610  by (*BEGIN*)negate_fun(*END*) we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
 611  by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
 612  by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
 613  by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
 614  done.
 615 qed.