1 (* Esercitazione di logica 29/10/2008.
5 http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
12 Compilare i seguenti campi:
24 Prima di abbandonare la postazione:
26 * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
27 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
28 account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
30 * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
31 usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
39 Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
40 se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
41 loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
43 L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
45 * Scambia FTop con FBot e viceversa
47 * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
49 * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
52 Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
55 Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
56 definire altre nozioni:
58 * La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
59 Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
61 * La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
62 Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
63 `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
70 Non modificare quanto segue
72 include "nat/minus.ma".
73 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
74 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
75 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
76 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
77 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
78 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
83 Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
84 rapperesentati da un numero naturale
86 inductive Formula : Type ≝
89 | FAtom: nat → Formula
90 | FAnd: Formula → Formula → Formula
91 | FOr: Formula → Formula → Formula
92 | FImpl: Formula → Formula → Formula
93 | FNot: Formula → Formula
99 Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
100 esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
101 atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
104 Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
105 e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
106 usare la funzione `min`.
108 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
112 | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
113 | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
114 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
115 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
116 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
123 Non modificare quanto segue.
125 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
126 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
127 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
128 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
132 else if eqb x 1 then 1
138 La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
139 `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
142 eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
146 La libreria di Matita
147 =====================
149 Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
150 librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
151 sono necessari i seguenti lemmi:
153 * lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
154 * lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
155 * lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
156 * lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
157 * lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
158 * lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
165 Non modificare quanto segue.
167 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
168 lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
169 lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
170 lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
171 lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
172 lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
177 Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
178 che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
180 Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
183 let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
185 [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
187 | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
188 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
189 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
190 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
191 | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
197 Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
199 FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1)))
202 eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))).
207 Non modificare quanto segue
209 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
210 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
211 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
212 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
213 lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
218 Definire per ricorsione strutturale la funzione di
219 dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
221 * Scambia FTop con FBot e viceversa
223 * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
225 * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
226 prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
227 è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
228 cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
230 Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
233 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
235 [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
238 | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
239 | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
240 | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
241 | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
247 Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
249 FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop)
252 eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
257 La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
258 Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
259 `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
263 λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
265 interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
269 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
270 ========================================
272 Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
273 utilizzare il seguente comando:
275 * by H1, H2 we proved P (H)
277 Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
278 permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
279 separandoli con una virgola.
286 Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
287 la semantica in un mondo `v` associato alla formula
288 negata di `F` e uguale alla semantica associata
289 a `F` in un mondo invertito.
292 ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
295 we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
298 the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
303 the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
308 the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
309 the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
310 the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
311 by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
312 we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
319 = (min (if true then 1 else O) 1).
320 = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
321 = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
330 = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
331 = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
336 by induction hypothesis we know
337 ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
339 by induction hypothesis we know
340 ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
342 ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
344 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
346 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
347 = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
348 = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
353 by induction hypothesis we know
354 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
356 by induction hypothesis we know
357 ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
359 ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
361 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
363 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
364 = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
365 = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
371 by induction hypothesis we know
372 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
374 by induction hypothesis we know
375 ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
377 ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
379 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
381 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
382 = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
383 = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
389 by induction hypothesis we know
390 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
392 ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
394 (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
395 conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
403 Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
406 ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
407 assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
408 assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
409 suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
410 the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
411 the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
415 = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
416 = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
417 = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
424 Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a
425 dualizzarla e negarla.
427 lemma not_dualize_eq_negate:
428 ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
431 the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
434 we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
437 the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
442 the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
448 the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
453 by induction hypothesis we know
454 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
456 by induction hypothesis we know
457 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
459 ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
461 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
463 (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
464 = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.
465 = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
466 = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
467 = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
472 by induction hypothesis we know
473 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
475 by induction hypothesis we know
476 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
478 ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
480 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
482 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
483 = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
484 = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
485 = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
486 = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
492 by induction hypothesis we know
493 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
495 by induction hypothesis we know
496 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
498 ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
500 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
502 (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
503 = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.
504 = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
505 = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
506 = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
512 by induction hypothesis we know
513 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
515 ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
517 (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
518 conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
526 Dimostrare che la negazione è iniettiva
529 ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
533 suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
534 the thesis becomes (F ≡ G).
535 the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
538 by sem_le_1 we proved ([[F]]_v ≤ 1) (H1).
539 by (*BEGIN*)sem_le_1(*END*) we proved ([[G]]_v ≤ 1) (H2).
540 by min_1_1, H1 we proved (1 - (1 - [[F]]_v) = [[F]]_v) (H3).
541 by (*BEGIN*)min_1_1, H2(*END*) we proved ((*BEGIN*)1 - (1 - [[G]]_v)(*END*) = [[G]]_v) (H4).
544 = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (*BEGIN*)H3(*END*).
545 = (1 - [[(*BEGIN*)FNot F(*END*)]]_v).
546 = (1 - [[ FNot G]]_v) by H.
547 = (1 - (*BEGIN*)(1 - [[G]]_v)(*END*)).
548 = [[G]]_v by (*BEGIN*)H4(*END*).
554 La prova del teorema di dualità
555 ===============================
557 Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
558 `F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
560 ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
562 Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
564 1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
567 ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
569 2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
571 ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
573 2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
574 utilizzando `max_min` e `min_max`
576 ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
578 4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
580 ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
582 Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
583 procede come di seguito:
589 2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
591 negate F1 ≡ negate F2
593 3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
594 `equiv_rewrite` ottiene
596 FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
598 4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
600 dualize F1 ≡ dualize F2
607 Dimostrare il teorema di dualità
609 theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
612 suppose (F1 ≡ F2) (H).
613 the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
614 by (*BEGIN*)negate_fun(*END*), H we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
615 by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
616 by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
617 by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).