1 (* Esercitazione di logica 22/10/2008. *)
6 Compilare i seguenti campi:
18 Prima di abbandonare la postazione:
20 * compilare il questionario in fondo al file
22 * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
23 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
24 account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
29 Come scrivere i simboli
30 =======================
32 Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
33 e poi premere ALT-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
34 `\nome`, ad esempio `\equiv`. Alcuni simboli molto frequenti hanno
35 dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio `⇒` ha sia il nome
36 `\Rightarrow` sia `=>`.
38 Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
39 Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
40 l'intera lista dal menù a tendina `View ▹ TeX/UTF8 table`.
43 * `⇒` : `\Rightarrow`, `=>`
49 La sintassi `∀x.P` significa "per tutti gli `x` vale `P`".
51 La sintassi `F → G` dove `F` e `G` sono proposizioni nel metalinguaggio
52 significa "`F` implica `G`". Attenzione, il simbolo `⇒` (usato a lezione)
53 non ha lo stesso significato in Matita.
55 La sintassi `ℕ → ℕ` è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
56 restituiscono un numero naturale.
61 Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
62 differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
63 per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
68 Se `f` è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di `f`
69 agli argomenti `x` e `y` si scrive `(f x y)` e non `f(x,y)`. Le parentesi
70 possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
71 vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
72 Esempio: `f x y + f y x` si legge `(f x y) + (f y x)`.
76 Le funzioni `min` e `max` non fanno eccezione, per calcolare il
77 massimo tra `x` e `y` si scrive `(max x y)` e non `max{x,y}`
79 * Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
80 `let rec` (ricorsione) e il costrutto `match` (analisi per casi).
82 Ad esempio la funzione count definita a lezione come
85 count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2
90 let rec count F on F ≝
93 | F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2
97 * Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
98 simile a BNF. Per esempio per definire
100 <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
102 si usa il seguente comando
111 La ratio è che `Plus` prende due argomenti di tipo `A` per darmi un `A`,
112 mentre `Zero` non prende nessun argomento per darmi un `A`. Al posto di usare
113 operatori infissi `(0 + 0)` la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
114 Quindi `(0+0)` si scriverà come `(Plus Zero Zero)`.
121 Non modificare le seguenti tre righe
123 include "nat/minus.ma".
124 definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
125 definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
131 Definire il linguaggio delle formule riempiendo gli spazi
133 inductive Formula : Type ≝
135 | FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
136 | FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
137 | FAnd: Formula → Formula → Formula
138 | FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
139 | FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
140 | FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
147 Data la funzione di valutazione per gli atomi `v`, definire la
148 funzione `sem` per una generica formula `F` che vi associa la semantica
151 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
154 | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
158 | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
160 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
161 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
163 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
170 I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
172 if e then risultato1 else risultato2
174 Questa notazione permette di valutare l'espressione `e`. Se questa
175 è vera restituisce `risultato1`, altrimenti restituisce `risultato2`.
177 Un esempio di espressione è `eqb n m`, che confronta i due numeri naturali
182 Questa notazione utilizza la funzione `sem` precedentemente definita, in
183 particolare `[[ f ]]_v` è una abbreviazione per `sem v f`.
189 Non modificare le linee seguenti
191 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
192 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
193 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
194 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
195 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
196 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
197 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
198 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
204 Viene fornita una funzione di valutazione di esempio chiamata `v1101`.
205 Tale funzione associa agli atomi 0, 1 e 3 un valore pari a 1,
206 invece a 2,4,5,6... un valore pari a 0.
208 Viene fornita una formula di esempio chiamata `esempio1` che rappresenta
213 Dove A è rappresentato con l'atomo 0, B con l'atomo 1, ...
215 Tale formula è valida per la funzione di valutazione `v1101`.
217 Il comando `eval normalize [[ esempio1 ]]_v1101` permette di calcolare
218 la funzione `sem` che avete appena definito. Tale funzione deve
219 computare a 1 (verrà mostrata una finestra col risultato).
220 Se così non fosse significa che avete commesso un errore nella
221 definizione di `sem` e prima di continuare è necessario che la sistemiate.
223 definition v1101 ≝ λx.
224 if eqb x 0 then 1 (* FAtom 0 ↦ 1 *)
225 else if eqb x 1 then 1 (* FAtom 1 ↦ 1 *)
226 else if eqb x 2 then 0 (* FAtom 2 ↦ 0 *)
227 else if eqb x 3 then 1 (* FAtom 3 ↦ 1 *)
228 else 0. (* FAtom _ ↦ 0 *)
231 definition esempio1 ≝
232 (FImpl (FNot (FAtom 3)) (FOr (FAtom 2) (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)))).
234 eval normalize on [[ esempio1 ]]_v1101.
240 Definire la funzione di sostituzione di una formula `G` al posto
241 degli atomi uguali a `x` in una formula `F`.
243 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
246 | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
247 | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
249 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
250 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
251 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
253 | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
260 I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
264 Questa notazione utilizza la funzione `subst` appena definita, in particolare
265 la scrittura `F [ G /x ]` è una abbreviazione per `subst x G F`.
269 Questa notazione è una abbreviazione per `∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v`.
270 Asserisce che for ogni funzione di valutazione `v`, la semantica di `f`
271 in `v` è uguale alla semantica di `g` in `v`.
277 Non modificare le linee seguenti
279 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
280 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
281 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
282 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
283 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
284 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
285 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
290 Viene fornita una formula di esempio `esempio2`,
291 e una formula `esempio3` che rimpiazzerà gli atomi
292 `FAtom 2` di `esempio2`.
294 Il risultato atteso è la formula:
296 FAnd (FImpl (FOr (FAtom O) (FAtom 1)) (FAtom 1))
297 (FOr (FAtom O) (FAtom 1))
301 definition esempio2 ≝ (FAnd (FImpl (FAtom 2) (FAtom 1)) (FAtom 2)).
303 definition esempio3 ≝ (FOr (FAtom 0) (FAtom 1)).
305 eval normalize on (esempio2 [ esempio3 / 2]).
309 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
310 ========================================
312 L'ultimo esercizio richiede di scrivere una dimostrazione. Tale dimostrazione
313 deve essere scritta utilizzando il linguaggio di dimostrazione di Matita.
314 Tale linguaggio è composto dai seguenti comandi:
316 * `assume nome : tipo`
318 Quando si deve dimostrare un tesi come `∀F : Formula.P`, il comando
319 `assume F : Formula` fissa una generica `Formula` `F` e la tesi
320 diventa `P` dove `F` è fissata.
324 Quando si deve dimostrare una tesi come `P → Q`, il comando
325 `suppose P (Ipotesi1)` da il nome `Ipotesi1` a `P` e cambia la tesi
326 `Q`, che ora può essere dimostrata facendo riferimento all'assunzione
327 `P` tramite il nome `Ipotesi1`.
329 * `we procede by induction on F to prove Q`
331 Se `F` è il nome di una (ad esempio) `Formula` precedentemente
332 assunta tramite il comando `assume`, inizia una prova per induzione su `F`.
336 Nelle prove per induzione o per casi, ogni caso deve iniziare con il
337 comando `case nome`, ad esempio se si procede per induzione di una
338 formula uno dei casi sarà quello in cui la formula è `⊥`, si deve quindi
339 iniziare la sotto dimostrazione per tale caso con `case ⊥`.
341 * `we procede by cases on x to prove Q`
343 Analogo a `we procede by induction on F to prove Q`
345 * `by induction hypothesis we know P (name)`
347 Nei casi non base di una prova per induzione sono disponibili delle ipotesi
348 induttive, quindi la tesi è della forma `P → Q`, ed è possibile
349 dare un nome a `P` e procedere a dimostrare `Q`. Simile a `suppose`.
351 * `the thesis becomes P`
353 Permette di modificare la tesi, utilizzando le definizioni (eventualmente
354 ricorsive) che vi compaiono. Ad esempio se la tesi fosse `min 3 5 = max 1 3`
355 si potrebbe usare il comando `the thesis becomes (3 = max 1 3)` in quanto
356 per definizione di minimo, il minimo tra `3` e `5` è `3`.
358 * `by name1 we proved P (name2)`
360 Permette di ottenere una nuova ipotesi `P` chiamandola `name2` utilizzando
363 * `conclude (P) = (Q) by name`
365 Quando la tesi è della forma `P = Q`, si possono utilizzare delle ipotesi
366 della forma `A = B` riscrivendo `A` in `B` (o viceversa) in `P`. Per esempio
367 se la tesi fosse `sin π + 3 = 7 - 4` e si avesse una ipotesi `sin π = 0` dal
368 nome `H`, si potrebbe usare il comando `conclude (sin π + 3) = (0 + 3) by H`
369 per cambiare la conclusione in `0 + 3 = 7 - 4`.
373 Da utilizzare in seguito a un comando `conclude` per riscrivere con altre
378 Termina un caso della dimostrazione, è possibile utilizzarlo quando la tesi
379 è della forma `t = t`, ad esempio `0 = 0` oppure `v x = v x`.
386 Dimostra il teorema di sostituzione visto a lezione
388 theorem sostituzione: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
395 suppose (G1 ≡ G2) (H).
396 we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]).
398 the thesis becomes (FBot[ G1/x ] ≡ FBot[ G2/x ]).
399 the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
400 the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
401 the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
403 the thesis becomes (0 = [[FBot]]_v).
404 the thesis becomes (0 = 0).
408 the thesis becomes (FTop[ G1/x ] ≡ FTop[ G2/x ]).
409 the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
410 the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
412 the thesis becomes (1 = 1).
417 the thesis becomes ((FAtom n)[ G1/x ] ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
419 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
421 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
422 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
423 we proceed by cases on (eqb n x) to prove
424 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
425 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
427 the thesis becomes (G1 ≡ G2).
431 the thesis becomes (FAtom n ≡ FAtom n).
432 the thesis becomes (∀v. [[FAtom n]]_v = [[FAtom n]]_v).
434 the thesis becomes (v n = v n).
439 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
441 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
443 (∀v.[[ (FAnd F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FAnd F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
446 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
447 min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
448 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
449 by (*BEGIN*)IH2(*END*) we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
450 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
451 by (*BEGIN*)IH22(*END*) we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
453 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
454 = (min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
455 = (min ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by (*BEGIN*)IH111(*END*).
461 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
463 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
465 (∀v.[[ (FOr F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FOr F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
468 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
469 max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
470 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
471 by IH2 we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
472 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
473 by IH22 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
475 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
476 = (max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
477 = (max ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by IH111.
483 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
485 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
487 (∀v.max (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
488 max (1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
490 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH11).
491 by IH2 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH22).
493 (max (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
494 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH11.
495 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)) by IH22.
500 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH).
501 the thesis becomes (FNot (F1[ G1/x ]) ≡ FNot (F1[ G2/x ])).
502 the thesis becomes (∀v.[[FNot (F1[ G1/x ])]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
504 the thesis becomes (1 - [[F1[ G1/x ]]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
505 the thesis becomes (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v = 1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v).
506 by IH we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH1).
507 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH2).
509 (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v)
510 = (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) by IH2.
517 Compilare mettendo una X nella risposta scelta.
519 1) Pensi che sia utile l'integrazione del corso con una attività di
522 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
525 2) Pensi che gli esercizi proposti ti siano stati utili a capire meglio
526 quanto visto a lezione?
528 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
531 3) Gli esercizi erano
533 [ ] troppo facili [ ] alla tua portata [ ] impossibili
536 4) Il tempo a disposizione è stato
538 [ ] poco [ ] giusto [ ] troppo
541 5) Cose che miglioreresti nel software Matita
546 6) Suggerimenti sullo svolgimento delle attività in laboratorio