1 (* Esercitazione di logica 22/10/2008.
3 Esercizio 0: compilare i seguenti campi
15 Prima di abbandonare la postazione:
17 * compilare il questionario in fondo al file
19 * salvare il file (menu 'File ▹ Save as ...') nella directory (cartella)
20 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
21 account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
25 Come scrivere i simboli
26 =======================
28 Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
29 e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
30 '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno
31 dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio ⇒ ha sia il nome
32 '\Rightarrow' sia '=>'.
34 Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
35 Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
36 l'intera lista dal menù a tendina 'View ▹ TeX/UTF8 table'.
45 La sintassi '∀v.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'".
47 La sintassi 'F → G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio
48 significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo '⇒' (usato a lezione)
49 non ha lo stesso significato in Matita.
51 La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
52 restituiscono un numero naturale.
57 Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
58 differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
59 per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
64 Se 'f' è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di 'f'
65 agli argomenti 'x' e 'y' si scrive '(f x y)' e non 'f(x,y)'. Le parentesi
66 possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
67 vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
68 Esempio: 'f x y + f y x' si legge '(f x y) + (f y x)'.
72 Le funzioni 'min' e 'max' non fanno eccezione, per calcolare il
73 massimo tra 'x' e 'y' si scrive '(max x y)' e non 'max{x,y}'
75 * Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
76 'let rec' (ricorsione) e il costrutto 'match' (analisi per casi).
78 Ad esempio la funzione count definita a lezione come
81 count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2
86 let rec count F on F ≝
89 | F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2
93 * Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
94 simile a BNF. Per esempio per definire
96 <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
98 si usa il seguente comando
107 La ratio è che 'Plus' prende due argomenti di tipo A per darmi un A,
108 mentre 'Zero' non prende nessun argomento per darmi un A. Al posto di usare
109 operatori infissi (0 + 0) la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
110 Quindi (0+0) si scriverà come (Plus Zero Zero).
114 (* non modificare le seguenti tre righe *)
115 include "nat/minus.ma".
116 definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
117 definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
120 (* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *)
121 inductive Formula : Type ≝
123 | FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
124 | FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
125 | FAnd: Formula → Formula → Formula
126 | FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
127 | FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
128 | FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
132 (* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la
133 funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
135 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
138 | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
142 | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
144 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
145 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
147 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
152 (* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
154 if e then risultato1 else risultato2
156 Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa
157 è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'.
159 Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali
164 Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in
165 particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'.
167 Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3
169 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
170 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
171 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else _ $e $t $f }.
172 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
173 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
174 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
175 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
176 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
179 (* TESTARE LA DEFINIZIONE DI SEM *)
180 definition v110 ≝ λx.
181 if eqb x 0 then 1 (* Atom 0 ↦ 1 *)
182 else if eqb x 1 then 1 (* Atom 1 ↦ 1 *)
183 else if eqb x 2 then 0 (* Atom 2 ↦ 0 *)
184 else 0. (* Atom _ ↦ 0 *)
187 definition formula1 ≝ (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)).
190 eval normalize on [[ formula1 ]]_v110.
193 (* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
194 degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *)
195 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
198 | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
199 | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
201 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
202 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
203 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
205 | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
208 (* AGGIUNGERE ALCUNI TEST *)
211 (* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
215 Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare
216 la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'.
220 Questa notazione è una abbreviazione per '∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'.
221 Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f'
222 in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'.
224 Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 4
226 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
227 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
228 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
229 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
230 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
231 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
232 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
236 (* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *)
237 theorem substitution: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
244 suppose (G1 ≡ G2) (H).
245 we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]).
247 the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
248 the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
249 the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
251 the thesis becomes (0 = [[FBot]]_v).
252 the thesis becomes (0 = 0).
256 the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
257 the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
259 the thesis becomes (1 = 1).
265 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
267 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
268 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
269 we proceed by cases on (eqb n x) to prove
270 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
271 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
273 the thesis becomes (G1 ≡ G2).
277 the thesis becomes (FAtom n ≡ FAtom n).
278 the thesis becomes (∀v. [[FAtom n]]_v = [[FAtom n]]_v).
280 the thesis becomes (v n = v n).
285 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
287 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
289 (∀v.[[ (FAnd F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FAnd F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
292 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
293 min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
294 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
295 by (*BEGIN*)IH2(*END*) we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
296 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
297 by (*BEGIN*)IH22(*END*) we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
299 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
300 = (min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
301 = (min ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by (*BEGIN*)IH111(*END*).
307 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
309 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
311 (∀v.[[ (FOr F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FOr F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
314 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
315 max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
316 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
317 by IH2 we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
318 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
319 by IH22 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
321 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
322 = (max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
323 = (max ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by IH111.
329 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
331 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
333 (∀v.max (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
334 max (1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
336 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH11).
337 by IH2 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH22).
339 (max (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
340 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH11.
341 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)) by IH22.
346 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH).
347 the thesis becomes (FNot (F1[ G1/x ]) ≡ FNot (F1[ G2/x ])).
348 the thesis becomes (∀v.[[FNot (F1[ G1/x ])]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
350 the thesis becomes (1 - [[F1[ G1/x ]]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
351 the thesis becomes (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v = 1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v).
352 by IH we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH1).
353 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH2).
355 (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v)
356 = (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) by IH2.
362 (substitution (FAtom 1) (FAtom 1) formula1 1 (λ_.refl_eq ??) v110).
366 Compilare mettendo una X nella risposta scelta.
368 1) Pensi che sia utile l'integrazione del corso con una attività di
371 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
374 2) Pensi che gli esercizi proposti ti siano stati utili a capire meglio
375 quanto visto a lezione?
377 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
380 3) Gli esercizi erano
382 [ ] troppo facili [ ] alla tua portata [ ] impossibili
385 4) Il tempo a disposizione è stato
387 [ ] poco [ ] giusto [ ] troppo
390 5) Cose che miglioreresti nel software Matita
395 6) Suggerimenti sullo svolgimento delle attività in laboratorio