1 (* Esercitazione di logica 22/10/2008. *)
6 Compilare i seguenti campi:
18 Prima di abbandonare la postazione:
20 * compilare il questionario in fondo al file
22 * salvare il file (menu 'File ▹ Save as ...') nella directory (cartella)
23 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
24 account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
29 Come scrivere i simboli
30 =======================
32 Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
33 e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
34 '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno
35 dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio ⇒ ha sia il nome
36 '\Rightarrow' sia '=>'.
38 Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
39 Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
40 l'intera lista dal menù a tendina 'View ▹ TeX/UTF8 table'.
49 La sintassi '∀v.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'".
51 La sintassi 'F → G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio
52 significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo '⇒' (usato a lezione)
53 non ha lo stesso significato in Matita.
55 La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
56 restituiscono un numero naturale.
61 Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
62 differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
63 per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
68 Se 'f' è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di 'f'
69 agli argomenti 'x' e 'y' si scrive '(f x y)' e non 'f(x,y)'. Le parentesi
70 possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
71 vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
72 Esempio: 'f x y + f y x' si legge '(f x y) + (f y x)'.
76 Le funzioni 'min' e 'max' non fanno eccezione, per calcolare il
77 massimo tra 'x' e 'y' si scrive '(max x y)' e non 'max{x,y}'
79 * Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
80 'let rec' (ricorsione) e il costrutto 'match' (analisi per casi).
82 Ad esempio la funzione count definita a lezione come
85 count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2
90 let rec count F on F ≝
93 | F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2
97 * Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
98 simile a BNF. Per esempio per definire
100 <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
102 si usa il seguente comando
111 La ratio è che 'Plus' prende due argomenti di tipo A per darmi un A,
112 mentre 'Zero' non prende nessun argomento per darmi un A. Al posto di usare
113 operatori infissi (0 + 0) la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
114 Quindi (0+0) si scriverà come (Plus Zero Zero).
120 Non modificare le seguenti tre righe
122 include "nat/minus.ma".
123 definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
124 definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
130 Definire il linguaggio delle formule riempiendo gli spazi
132 inductive Formula : Type ≝
134 | FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
135 | FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
136 | FAnd: Formula → Formula → Formula
137 | FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
138 | FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
139 | FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
146 Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la
147 funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
150 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
153 | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
157 | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
159 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
160 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
162 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
169 I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
171 if e then risultato1 else risultato2
173 Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa
174 è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'.
176 Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali
181 Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in
182 particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'.
188 Non modificare le linee seguenti
190 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
191 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
192 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else _ $e $t $f }.
193 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
194 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
195 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
196 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
197 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
203 Viene fornita una funzione di valutazione di esempio chiamata 'v1101'.
204 Tale funzione associa agli atomi 0, 1 e 3 un valore pari a 1,
205 invece a 2,4,5,6... un valore pari a 0.
207 Viene fornita una formula di esempio chiamata 'esempio1' che rappresenta
212 Dove A è rappresentato con l'atomo 0, B con l'atomo 1, ...
214 Tale formula è valida per la funzione di valutazione 'v1101'.
216 Il comando 'eval normalize [[ esempio1 ]]_v1101' permette di calcolare
217 la funzione 'sem' che avete appena definito. Tale funzione deve
218 computare a 1 (verrà mostrata una finestra col risultato).
219 Se così non fosse significa che avete commesso un errore nella
220 definizione di 'sem' e prima di continuare è necessario che la sistemiate.
222 definition v1101 ≝ λx.
223 if eqb x 0 then 1 (* Atom 0 ↦ 1 *)
224 else if eqb x 1 then 1 (* Atom 1 ↦ 1 *)
225 else if eqb x 2 then 0 (* Atom 2 ↦ 0 *)
226 else if eqb x 3 then 1 (* Atom 3 ↦ 1 *)
227 else 0. (* Atom _ ↦ 0 *)
230 definition esempio1 ≝ (FImpl (FAtom 3) (FOr (FAtom 2) (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)))).
232 (* eval normalize on [[ esempio1 ]]_v1101. *)
238 Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
239 degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'.
241 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
244 | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
245 | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
247 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
248 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
249 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
251 | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
254 (* AGGIUNGERE ALCUNI TEST *)
260 I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
264 Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare
265 la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'.
269 Questa notazione è una abbreviazione per '∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'.
270 Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f'
271 in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'.
277 Non modificare le linee seguenti
279 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
280 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
281 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
282 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
283 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
284 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
285 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
290 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
291 ========================================
293 L'ultimo esercizio richiede di scrivere una dimostrazione. Tale dimostrazione
294 deve essere scritta utilizzando il linguaggio di dimostrazione di Matita.
295 Tale linguaggio è composto dai seguenti comandi:
297 * 'assume nome : tipo'
298 * 'suppose nome : tipo'
299 * we procede by induction on x to prove Q'
308 Dimostra il teorema di sostituzione visto a lezione
310 theorem sostituzione: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
317 suppose (G1 ≡ G2) (H).
318 we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]).
320 the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
321 the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
322 the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
324 the thesis becomes (0 = [[FBot]]_v).
325 the thesis becomes (0 = 0).
329 the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
330 the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
332 the thesis becomes (1 = 1).
338 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
340 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
341 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
342 we proceed by cases on (eqb n x) to prove
343 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
344 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
346 the thesis becomes (G1 ≡ G2).
350 the thesis becomes (FAtom n ≡ FAtom n).
351 the thesis becomes (∀v. [[FAtom n]]_v = [[FAtom n]]_v).
353 the thesis becomes (v n = v n).
358 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
360 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
362 (∀v.[[ (FAnd F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FAnd F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
365 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
366 min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
367 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
368 by (*BEGIN*)IH2(*END*) we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
369 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
370 by (*BEGIN*)IH22(*END*) we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
372 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
373 = (min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
374 = (min ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by (*BEGIN*)IH111(*END*).
380 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
382 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
384 (∀v.[[ (FOr F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FOr F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
387 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
388 max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
389 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
390 by IH2 we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
391 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
392 by IH22 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
394 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
395 = (max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
396 = (max ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by IH111.
402 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
404 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
406 (∀v.max (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
407 max (1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
409 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH11).
410 by IH2 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH22).
412 (max (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
413 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH11.
414 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)) by IH22.
419 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH).
420 the thesis becomes (FNot (F1[ G1/x ]) ≡ FNot (F1[ G2/x ])).
421 the thesis becomes (∀v.[[FNot (F1[ G1/x ])]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
423 the thesis becomes (1 - [[F1[ G1/x ]]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
424 the thesis becomes (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v = 1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v).
425 by IH we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH1).
426 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH2).
428 (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v)
429 = (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) by IH2.
436 Compilare mettendo una X nella risposta scelta.
438 1) Pensi che sia utile l'integrazione del corso con una attività di
441 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
444 2) Pensi che gli esercizi proposti ti siano stati utili a capire meglio
445 quanto visto a lezione?
447 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
450 3) Gli esercizi erano
452 [ ] troppo facili [ ] alla tua portata [ ] impossibili
455 4) Il tempo a disposizione è stato
457 [ ] poco [ ] giusto [ ] troppo
460 5) Cose che miglioreresti nel software Matita
465 6) Suggerimenti sullo svolgimento delle attività in laboratorio