1 (* Esercitazione di logica 22/10/2008.
3 Esercizio 0: compilare i seguenti campi
15 Prima di abbandonare la postazione:
17 * compilare il questionario in fondo al file
19 * salvare il file (menu 'File ▹ Save as ...') nella directory (cartella)
20 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
21 account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
26 Come scrivere i simboli
27 =======================
29 Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
30 e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
31 '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno
32 dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio ⇒ ha sia il nome
33 '\Rightarrow' sia '=>'.
35 Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
36 Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
37 l'intera lista dal menù a tendina 'View ▹ TeX/UTF8 table'.
46 La sintassi '∀v.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'".
48 La sintassi 'F → G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio
49 significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo '⇒' (usato a lezione)
50 non ha lo stesso significato in Matita.
52 La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
53 restituiscono un numero naturale.
62 I comandi per le definizioni
63 ============================
65 Esistono due tipi di definizioni: definizioni ricorsive tramite sintassi
66 simile a BNF, definizione di funzioni per ricorsione strutturale.
68 Definire una nuova sintassi astratta
69 ------------------------------------
75 (* non modificare le seguenti tre righe *)
76 include "nat/minus.ma".
77 definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
78 definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
80 (* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *)
81 inductive Formula : Type ≝
83 | FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
84 | FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
85 | FAnd: Formula → Formula → Formula
86 | FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
87 | FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
88 | FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
91 (* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la
92 funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
94 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
97 | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
101 | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
103 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
104 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
106 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
110 (* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
112 if e then risultato1 else risultato2
114 Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa
115 è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'.
117 Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali
122 Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in
123 particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'.
125 Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3
127 definition if_then_else ≝ λe,t,f.match e return λ_.Formula with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
128 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
129 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
130 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else e t f).
131 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
132 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
133 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
134 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
137 (* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
138 degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *)
139 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
142 | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
143 | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
145 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
146 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
147 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
149 | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
152 (* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
156 Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare
157 la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'.
161 Questa notazione è una abbreviazione per '∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'.
162 Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f'
163 in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'.
165 Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 4
167 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
168 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
169 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
170 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
171 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
172 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
173 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
175 (* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *)
176 theorem substitution: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
183 suppose (G1 ≡ G2) (H).
184 we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]).
186 the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
187 the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
188 the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
190 the thesis becomes (0 = [[FBot]]_v).
191 the thesis becomes (0 = 0).
195 the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
196 the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
198 the thesis becomes (1 = 1).
204 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
206 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
207 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
208 we proceed by cases on (eqb n x) to prove
209 (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
210 if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
212 the thesis becomes (G1 ≡ G2).
216 the thesis becomes (FAtom n ≡ FAtom n).
217 the thesis becomes (∀v. [[FAtom n]]_v = [[FAtom n]]_v).
219 the thesis becomes (v n = v n).
224 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
226 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
228 (∀v.[[ (FAnd F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FAnd F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
231 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
232 min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
233 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
234 by (*BEGIN*)IH2(*END*) we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
235 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
236 by (*BEGIN*)IH22(*END*) we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
238 (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
239 = (min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
240 = (min ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by (*BEGIN*)IH111(*END*).
246 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
248 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
250 (∀v.[[ (FOr F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FOr F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
253 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
254 max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
255 by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
256 by IH2 we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
257 by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
258 by IH22 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
260 (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
261 = (max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
262 = (max ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by IH111.
268 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
270 by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
272 (∀v.max (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
273 max (1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
275 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH11).
276 by IH2 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH22).
278 (max (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
279 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH11.
280 = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)) by IH22.
285 by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH).
286 the thesis becomes (FNot (F1[ G1/x ]) ≡ FNot (F1[ G2/x ])).
287 the thesis becomes (∀v.[[FNot (F1[ G1/x ])]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
289 the thesis becomes (1 - [[F1[ G1/x ]]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
290 the thesis becomes (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v = 1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v).
291 by IH we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH1).
292 by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH2).
294 (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v)
295 = (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) by IH2.
302 Compilare mettendo una X nella risposta scelta.
304 1) Pensi che sia utile l'integrazione del corso con una attività di
307 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
310 2) Pensi che gli esercizi proposti ti siano stati utili a capire meglio
311 quanto visto a lezione?
313 [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
316 3) Gli esercizi erano
318 [ ] troppo facili [ ] alla tua portata [ ] impossibili
321 4) Il tempo a disposizione è stato
323 [ ] poco [ ] giusto [ ] troppo
326 5) Cose che miglioreresti nel software Matita
331 6) Suggerimenti sullo svolgimento delle attività in laboratorio