helm/software/matita/contribs/didactic/shannon.ma

   1 (* Esercitazione di logica 29/10/2008.
   2
   3    Note per gli esercizi:
   4
   5      http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
   6
   7 *)
   8
   9 (* Esercizio 0
  10    ===========
  11
  12    Compilare i seguenti campi:
  13
  14    Nome1: ...
  15    Cognome1: ...
  16    Matricola1: ...
  17    Account1: ...
  18
  19    Nome2: ...
  20    Cognome2: ...
  21    Matricola2: ...
  22    Account2: ...
  23
  24    Prima di abbandonare la postazione:
  25
  26    * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
  27      /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
  28      account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
  29
  30    * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
  31      usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
  32 *)
  33
  34 (*DOCBEGIN
  35
  36 Il teorema di dualità
  37 =====================
  38
  39 Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
  40 se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
  41 loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
  42
  43 L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
  44
  45    * Scambia FTop con FBot e viceversa
  46
  47    * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
  48
  49    * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
  50      prima sottoformula.
  51
  52    Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
  53    `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
  54
  55 Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
  56 definire altre nozioni:
  57
  58 * La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
  59   Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
  60
  61 * La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
  62   Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
  63   `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
  64
  65 DOCEND*)
  66
  67 (* ATTENZIONE
  68    ==========
  69
  70    Non modificare quanto segue
  71 *)
  72 include "nat/minus.ma".
  73 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
  74 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  75 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  76 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
  77 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
  78 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
  79
  80 (* Ripasso
  81    =======
  82
  83    Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
  84    rapperesentati da un numero naturale
  85 *)
  86 inductive Formula : Type ≝
  87 | FBot: Formula
  88 | FTop: Formula
  89 | FAtom: nat → Formula
  90 | FAnd: Formula → Formula → Formula
  91 | FOr: Formula → Formula → Formula
  92 | FImpl: Formula → Formula → Formula
  93 | FNot: Formula → Formula
  94 .
  95
  96 (* Esercizio 1
  97    ===========
  98
  99    Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
 100    esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
 101    atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
 102    maggiore di 1.
 103
 104    Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
 105    e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
 106    usare la funzione `min`.
 107 *)
 108 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
 109  match F with
 110   [ FBot ⇒ 0
 111   | FTop ⇒ 1
 112   | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
 113   | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
 114   | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
 115   | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
 116   | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
 117   ]
 118 .
 119
 120 (* ATTENZIONE
 121    ==========
 122
 123    Non modificare quanto segue.
 124 *)
 125 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 126 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 127 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
 128 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
 129
 130 definition v20 ≝ λx.
 131        if eqb x 0 then 2
 132   else if eqb x 1 then 1
 133   else                 0.
 134
 135 (* Test 1
 136    ======
 137
 138    La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
 139    `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
 140
 141 *)
 142 eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
 143
 144 (*DOCBEGIN
 145
 146 La libreria di Matita
 147 =====================
 148
 149 Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
 150 librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
 151 sono necessari i seguenti lemmi:
 152
 153 * lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
 154 * lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
 155 * lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
 156 * lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
 157 * lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
 158 * lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
 159
 160 DOCEND*)
 161
 162 (* ATTENZIONE
 163    ==========
 164
 165    Non modificare quanto segue.
 166 *)
 167 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.  intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].  |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
 168 lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.  intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
 169 lemma min_max : ∀F,G,v.  min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
 170 lemma max_min : ∀F,G,v.  max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
 171 lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
 172 lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
 173 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
 174  match F with
 175   [ FBot ⇒ FBot
 176   | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
 177   | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
 178   (*BEGIN*)
 179   | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
 180   | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
 181   | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
 182   (*END*)
 183   | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
 184   ].
 185
 186 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
 187 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
 188 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
 189 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
 190 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)"  non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
 191 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
 192 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
 193
 194 theorem shannon :
 195   ∀F,x,v. [[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x]) ]]_v = [[F]]_v.
 196 intros; elim F;
 197 [1,2: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0); reflexivity;
 198 |4,5,6: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H H1; simplify; intros; rewrite > H; rewrite > H1; reflexivity;
 199 |7: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H; simplify; intros; rewrite > H; reflexivity;
 200 | cases (sem_bool (FAtom x) v); rewrite > H; simplify;
 201   cases (decidable_eq_nat n x); destruct H1;
 202   [1,3: rewrite > eqb_n_n; simplify; rewrite >H;reflexivity;.
 203   |*:simplify in H; rewrite > (not_eq_to_eqb_false ?? H1); simplify; reflexivity;]]
 204 qed.
 205
 206
 207
 208