4 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione
5 reperibile all'URL seguente:
7 http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-shannon.ma.html
9 2. Questa volta si fa sul serio:
11 l'esercizio proposto è MOLTO difficile, occorre la vostra massima
12 concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio)
20 Compilare i seguenti campi:
37 Non modificare quanto segue
39 include "nat/minus.ma".
40 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
41 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
42 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
43 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
44 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
45 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
50 Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
51 rapperesentati da un numero naturale
53 inductive Formula : Type ≝
56 | FAtom: nat → Formula
57 | FAnd: Formula → Formula → Formula
58 | FOr: Formula → Formula → Formula
59 | FImpl: Formula → Formula → Formula
60 | FNot: Formula → Formula
66 La semantica di una formula `F` in un mondo `v`: `[[ F ]]_v`
68 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
72 | FAtom n ⇒ min (v n) 1
73 | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
74 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
75 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
76 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
83 Non modificare quanto segue.
85 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
86 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
87 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
88 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
89 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
94 L'operazione di sostituzione di una formula `G` al posto dell'atomo
95 `x` in una formula `F`: `F[G/x]`
98 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
102 | FAtom n ⇒ if eqb n x then G else (FAtom n)
103 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
104 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
105 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
106 | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
112 Non modificare quanto segue.
114 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
115 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
116 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
117 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
118 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
119 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
120 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
121 lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
122 lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
123 definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
127 La libreria di Matita
128 =====================
130 Per portare a termine l'esercitazione sono necessari i seguenti lemmi:
132 * lemma `decidable_eq_nat` : `∀x,y.x = y ∨ x ≠ y`
133 * lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
134 * lemma `not_eq_to_eqb_false` : `∀x,y.x ≠ y → eqb x y = false`
135 * lemma `eq_to_eqb_true` : `∀x,y.x = y → eqb x y = true`
136 * lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v`
137 * lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v`
139 Nota su `x = y` e `eqb x y`
140 ---------------------------
142 Se vi siete mai chiesti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
143 quanto segue prova a chiarirla.
145 Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
146 sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
147 anche `y` è il numero `3`.
149 `eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
150 e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
151 di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
152 un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
154 risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
155 ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
156 `eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
157 I teoremi `eq_to_eqb_true` e
158 `not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
159 corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
160 se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
162 Il teorema di espansione di Shannon
163 ===================================
165 Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
167 FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
169 Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
170 formula è equivalente a `F`:
172 IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
174 Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
175 atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
177 La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
179 Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
180 Il lemma asserisce quanto segue:
182 ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
184 Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
185 supposto che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
186 I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
187 una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
188 si conclude con una catena di uguaglianze.
190 Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
191 occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
192 aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
193 Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
194 In entrambi i casi, usando i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
195 si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
196 Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
198 Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
199 ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
200 si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
201 una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
202 e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
207 ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
212 suppose ([[ FAtom x ]]_v = 0) (H).
213 we proceed by induction on F to prove ([[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
215 the thesis becomes ([[ FBot[FBot/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
216 the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
219 the thesis becomes ([[ FTop[FBot/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
220 the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
224 the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FBot/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
225 the thesis becomes ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
226 by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
227 we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
229 by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
231 ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
232 = ([[ if true then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
235 = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
236 = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
239 by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
241 ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
242 = ([[ if false then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
247 by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
249 by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
250 the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
252 ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
253 = ([[ FAnd (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
254 = (min [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
255 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
256 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
257 = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
261 by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
263 by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
264 the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
266 ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
267 = ([[ FOr (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
268 = (max [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
269 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
270 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
271 = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
275 by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
277 by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
278 the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
280 ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
281 = ([[ FImpl (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
282 = (max (1 - [[ f1[FBot/x] ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v).
283 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
284 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
285 = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
289 by induction hypothesis we know ([[ f[FBot/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
290 the thesis becomes ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
292 ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v)
293 = ([[ FNot (f[FBot/x]) ]]_v).
294 = (1 - [[ f[FBot/x] ]]_v).
295 = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
302 ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
307 suppose ([[ FAtom x ]]_v = 1) (H).
308 we proceed by induction on F to prove ([[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
310 the thesis becomes ([[ FBot[FTop/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
311 the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
314 the thesis becomes ([[ FTop[FTop/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
315 the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
319 the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FTop/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
320 the thesis becomes ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
321 by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
322 we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
324 by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
326 ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
327 = ([[ if true then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
330 = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
331 = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
334 by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
336 ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
337 = ([[ if false then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
342 by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
344 by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
345 the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
347 ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
348 = ([[ FAnd (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
349 = (min [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
350 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
351 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
352 = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
356 by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
358 by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
359 the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
361 ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
362 = ([[ FOr (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
363 = (max [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
364 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
365 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
366 = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
370 by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
372 by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
373 the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
375 ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
376 = ([[ FImpl (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
377 = (max (1 - [[ f1[FTop/x] ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v).
378 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
379 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
380 = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
384 by induction hypothesis we know ([[ f[FTop/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
385 the thesis becomes ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
387 ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v)
388 = ([[ FNot (f[FTop/x]) ]]_v).
389 = (1 - [[ f[FTop/x] ]]_v).
390 = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
397 ∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
402 the thesis becomes ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
403 by sem_bool we proved ([[ FAtom x]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x]]_v = 1) (H).
404 we proceed by cases on H to prove ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
407 ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
408 = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
409 = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
410 = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
411 = (max (min 0 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 0) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
412 = (max 0 (min 1 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
413 = (max 0 [[ F[FBot/x] ]]_v) by min_1_sem.
414 = ([[ F[FBot/x] ]]_v).
415 = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_false.
419 ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
420 = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
421 = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
422 = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
423 = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 1) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
424 = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
425 = (max [[ F[FTop/x] ]]_v (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)) by min_1_sem.
426 = (max [[ F[FTop/x] ]]_v 0).
427 = ([[ F[FTop/x] ]]_v) by max_0_sem.
428 = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_true.
440 1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
441 simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
442 oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
443 `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
445 2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
447 1. Inizia con una sequenza di comandi `assume` o `suppose` oppure
448 `by induction hypothesis we know`. Tale sequenza di comandi può anche
451 2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
453 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
454 utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
457 4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
459 5. Se necessario un comando `conclude` seguito da un numero anche
460 molto lungo di passi `= (...) by ... .` per rendere la parte
461 sinistra della vostra tesi uguale alla parte destra.
463 6. Ogni caso termina con `done`.
465 3. Ogni caso corrispondente a un nodo con sottoformule (FAnd/For/FNot)
466 avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
467 ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
469 I comandi da utilizzare
470 =======================
472 * `the thesis becomes (...).`
474 Afferma quale sia la tesi da dimostrare. Se ripetuto
475 permette di espandere le definizioni.
477 * `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
479 Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
482 Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
486 Nelle dimostrazioni per casi o per induzioni si utulizza tale comando
487 per inizia la sotto prova relativa a un caso. Esempio: `case Fbot.`
491 Ogni caso di una dimostrazione deve essere terminato con il comando
494 * `assume ... : (...) .`
496 Assume una formula o un numero, ad esempio `assume n : (ℕ).` assume
497 un numero naturale `n`.
499 * `by ..., ..., ..., we proved (...) (...).`
501 Permette di comporre lemmi e ipotesi per ottenere nuove ipotesi.
502 Ad esempio `by H, H1 we prove (F ≡ G) (H2).` ottiene una nuova ipotesi
503 `H2` che dice che `F ≡ G` componendo insieme `H` e `H1`.
505 * `conclude (...) = (...) by ... .`
507 Il comando conclude lavora SOLO sulla parte sinistra della tesi. È il comando
508 con cui si inizia una catena di uguaglianze. La prima formula che si
509 scrive deve essere esattamente uguale alla parte sinistra della conclusione
510 originale. Esempio `conclude ([[ FAtom x ]]_v) = ([[ FAtom n ]]_v) by H.`
511 Se la giustificazione non è un lemma o una ipotesi ma la semplice espansione
512 di una definizione, la parte `by ...` deve essere omessa.
516 Continua un comando `conclude`, lavorando sempre sulla parte sinistra della