helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "relations.ma".
  16 include "notation.ma".
  17
  18 record basic_pair: Type1 ≝ {
  19    concr: REL; form: REL; rel: concr ⇒_\r1 form
  20 }.
  21
  22 interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y c = (fun21 ??? (rel c) x y).
  23 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (rel c).
  24
  25 record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type1 ≝ {
  26    concr_rel: (concr BP1) ⇒_\r1 (concr BP2); form_rel: (form BP1) ⇒_\r1 (form BP2);
  27    commute: ⊩ ∘ concr_rel =_1 form_rel ∘ ⊩
  28  }.
  29
  30 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel ?? r).
  31 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel ?? r).
  32
  33 definition relation_pair_equality: ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
  34  intros; constructor 1; [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  35   | simplify; intros; apply refl1;
  36   | simplify; intros 2; apply sym1;
  37   | simplify; intros 3; apply trans1; ]
  38 qed.
  39
  40 definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
  41  intros;
  42  constructor 1;
  43   [ apply (relation_pair b b1)
  44   | apply relation_pair_equality
  45   ]
  46 qed.
  47
  48 definition relation_pair_of_relation_pair_setoid :
  49   ∀P,Q. relation_pair_setoid P Q → relation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  50 coercion relation_pair_of_relation_pair_setoid.
  51
  52 lemma eq_to_eq':
  53   ∀o1,o2.∀r,r':relation_pair_setoid o1 o2. r =_1 r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
  54  intros 5 (o1 o2 r r' H);
  55  apply (.= (commute ?? r)^-1);
  56  change in H with (⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  57  apply rule (.= H);
  58  apply (commute ?? r').
  59 qed.
  60
  61 definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
  62  intro;
  63  constructor 1;
  64   [1,2: apply id1;
  65   | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
  66     lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
  67     apply (.= H);
  68     apply (H1 \sup -1);]
  69 qed.
  70
  71 lemma relation_pair_composition:
  72   ∀o1,o2,o3: basic_pair.
  73   relation_pair_setoid o1 o2 → relation_pair_setoid o2 o3 → relation_pair_setoid o1 o3.
  74 intros 3 (o1 o2 o3);
  75   intros (r r1);
  76     constructor 1;
  77      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  78      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  79      | lapply (commute ?? r) as H;
  80        lapply (commute ?? r1) as H1;
  81        alias symbol "trans" = "trans1".
  82        alias symbol "assoc" = "category1 assoc".
  83        apply (.= ASSOC);
  84        apply (.= #‡H1);
  85        alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
  86        apply (.= ASSOC ^ -1);
  87        apply (.= H‡#);
  88        apply ASSOC]
  89 qed.
  90
  91 lemma relation_pair_composition_is_morphism:
  92   ∀o1,o2,o3: basic_pair.
  93   ∀a,a':relation_pair_setoid o1 o2.
  94   ∀b,b':relation_pair_setoid o2 o3.
  95    a=a' → b=b' →
  96     relation_pair_composition o1 o2 o3 a b
  97     = relation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
  98 intros 3 (o1 o2 o3);
  99     intros;
 100     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 101     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 102     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 103     apply (.= ASSOC);
 104     apply (.= #‡e1);
 105     apply (.= #‡(commute ?? b'));
 106     apply (.= ASSOC ^ -1);
 107     apply (.= e‡#);
 108     apply (.= ASSOC);
 109     apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
 110     apply (ASSOC ^ -1);
 111 qed.
 112
 113 definition relation_pair_composition_morphism:
 114  ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
 115  intros;
 116  constructor 1;
 117   [ apply relation_pair_composition;
 118   | apply relation_pair_composition_is_morphism;]
 119 qed.
 120
 121 lemma relation_pair_composition_morphism_assoc:
 122 Πo1:basic_pair
 123 .Πo2:basic_pair
 124  .Πo3:basic_pair
 125   .Πo4:basic_pair
 126    .Πa12:relation_pair_setoid o1 o2
 127     .Πa23:relation_pair_setoid o2 o3
 128      .Πa34:relation_pair_setoid o3 o4
 129       .relation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
 130        (relation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
 131        =relation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
 132         (relation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
 133    intros;
 134     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 135                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 136     alias symbol "refl" = "refl1".
 137     alias symbol "prop2" = "prop21".
 138     apply (ASSOC‡#);
 139 qed.
 140
 141 lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id:
 142   ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
 143   relation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (id_relation_pair o1) a=a.
 144    intros;
 145     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 146     apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);
 147 qed.
 148
 149 lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
 150   ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
 151   relation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (id_relation_pair o2)=a.
 152   intros;
 153     change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 154     apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);
 155 qed.
 156
 157 definition BP: category1.
 158  constructor 1;
 159   [ apply basic_pair
 160   | apply relation_pair_setoid
 161   | apply id_relation_pair
 162   | apply relation_pair_composition_morphism
 163   | apply relation_pair_composition_morphism_assoc;
 164   | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id;
 165   | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
 166 qed.
 167
 168 definition basic_pair_of_BP : objs1 BP → basic_pair ≝ λx.x.
 169 coercion basic_pair_of_BP.
 170
 171 definition relation_pair_setoid_of_arrows1_BP :
 172   ∀P,Q. arrows1 BP P Q → relation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 173 coercion relation_pair_setoid_of_arrows1_BP.
 174
 175 definition BPext: ∀o: BP. (form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
 176  intros; constructor 1;
 177   [ apply (ext ? ? (rel o));
 178   | intros;
 179     apply (.= #‡e);
 180     apply refl1]
 181 qed.
 182
 183 definition BPextS: ∀o: BP. Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
 184  intros; constructor 1;
 185   [ apply (minus_image ?? (rel o));
 186   | intros; apply (#‡e); ]
 187 qed.
 188
 189 definition fintersects: ∀o: BP. (form o) × (form o) ⇒_1 Ω^(form o).
 190  intros (o); constructor 1;
 191   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 192     intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
 193   | intros; split; simplify; intros;
 194      [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
 195      | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
 196 qed.
 197
 198 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersects ?) U V).
 199
 200 definition fintersectsS:
 201  ∀o:BP. Ω^(form o) × Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(form o).
 202  intros (o); constructor 1;
 203   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω^(form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 204     intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
 205   | intros; split; simplify; intros;
 206      [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
 207      | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
 208 qed.
 209
 210 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersectsS ?) U V).
 211
 212 definition relS: ∀o: BP. (concr o) × Ω^(form o) ⇒_1 CPROP.
 213  intros (o); constructor 1;
 214   [ apply (λx:concr o.λS: Ω^(form o).∃y:form o.y ∈ S ∧ x ⊩⎽o y);
 215   | intros; split; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
 216      [ apply (. (#‡e1^-1)‡(e^-1‡#)); assumption
 217      | apply (. (#‡e1)‡(e‡#)); assumption]]
 218 qed.
 219
 220 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y c = (fun21 (concr ?) ?? (relS c) x y).
 221 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash c = (fun21 ??? (relS c)).