helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "relations.ma".
  16
  17 record basic_pair: Type1 ≝
  18  { concr: REL;
  19    form: REL;
  20    rel: arrows1 ? concr form
  21  }.
  22
  23 notation "x ⊩ y" with precedence 45 for @{'Vdash2 $x $y}.
  24 notation "⊩" with precedence 60 for @{'Vdash}.
  25
  26 interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y = (rel _ x y).
  27 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash = (rel _).
  28
  29 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  30 alias symbol "compose" = "category1 composition".
  31 record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type1 ≝
  32  { concr_rel: arrows1 ? (concr BP1) (concr BP2);
  33    form_rel: arrows1 ? (form BP1) (form BP2);
  34    commute: ⊩ ∘ concr_rel = form_rel ∘ ⊩
  35  }.
  36
  37 notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
  38 notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
  39
  40 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel __ r).
  41 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel __ r).
  42
  43 definition relation_pair_equality:
  44  ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
  45  intros;
  46  constructor 1;
  47   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  48   | simplify;
  49     intros;
  50     apply refl1;
  51   | simplify;
  52     intros 2;
  53     apply sym1;
  54   | simplify;
  55     intros 3;
  56     apply trans1;
  57   ]
  58 qed.
  59
  60 definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
  61  intros;
  62  constructor 1;
  63   [ apply (relation_pair b b1)
  64   | apply relation_pair_equality
  65   ]
  66 qed.
  67
  68 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': relation_pair_setoid o1 o2. r=r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
  69  intros 7 (o1 o2 r r' H c1 f2);
  70  split; intro H1;
  71   [ lapply (fi ?? (commute ?? r c1 f2) H1) as H2;
  72     lapply (if ?? (H c1 f2) H2) as H3;
  73     apply (if ?? (commute ?? r' c1 f2) H3);
  74   | lapply (fi ?? (commute ?? r' c1 f2) H1) as H2;
  75     lapply (fi ?? (H c1 f2) H2) as H3;
  76     apply (if ?? (commute ?? r c1 f2) H3);
  77   ]
  78 qed.
  79
  80 definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
  81  intro;
  82  constructor 1;
  83   [1,2: apply id1;
  84   | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
  85     lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
  86     apply (.= H);
  87     apply (H1 \sup -1);]
  88 qed.
  89
  90 definition relation_pair_composition:
  91  ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
  92  intros;
  93  constructor 1;
  94   [ intros (r r1);
  95     constructor 1;
  96      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  97      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  98      | lapply (commute ?? r) as H;
  99        lapply (commute ?? r1) as H1;
 100        alias symbol "trans" = "trans1".
 101        alias symbol "assoc" = "category1 assoc".
 102        apply (.= ASSOC);
 103        apply (.= #‡H1);
 104        alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 105        apply (.= ASSOC ^ -1);
 106        apply (.= H‡#);
 107        apply ASSOC]
 108   | intros;
 109     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 110     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 111     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 112     apply (.= ASSOC);
 113     apply (.= #‡e1);
 114     apply (.= #‡(commute ?? b'));
 115     apply (.= ASSOC ^ -1);
 116     apply (.= e‡#);
 117     apply (.= ASSOC);
 118     apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
 119     apply (ASSOC ^ -1)]
 120 qed.
 121
 122 definition BP: category1.
 123  constructor 1;
 124   [ apply basic_pair
 125   | apply relation_pair_setoid
 126   | apply id_relation_pair
 127   | apply relation_pair_composition
 128   | intros;
 129     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 130                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 131     alias symbol "refl" = "refl1".
 132     alias symbol "prop2" = "prop21".
 133     apply (ASSOC‡#);
 134   | intros;
 135     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 136     apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);
 137   | intros;
 138     change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 139     apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);]
 140 qed.
 141
 142 (*
 143 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 144  intros; constructor 1;
 145   [ apply (ext ? ? (rel o));
 146   | intros;
 147     apply (.= #‡H);
 148     apply refl1]
 149 qed.
 150
 151 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 152  λo.extS ?? (rel o).
 153
 154 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 155  intros (o); constructor 1;
 156   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 157     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 158   | intros; split; simplify; intros;
 159      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 160      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 161 qed.
 162
 163 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
 164
 165 definition fintersectsS:
 166  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 167  intros (o); constructor 1;
 168   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 169     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 170   | intros; split; simplify; intros;
 171      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 172      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 173 qed.
 174
 175 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
 176
 177 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 178  intros (o); constructor 1;
 179   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 180   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 181      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 182      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 183 qed.
 184
 185 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
 186 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).
 187 *)