helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "relations.ma".
  16
  17 record basic_pair: Type1 ≝
  18  { concr: REL;
  19    form: REL;
  20    rel: arrows1 ? concr form
  21  }.
  22
  23 notation "x ⊩ y" with precedence 45 for @{'Vdash2 $x $y}.
  24 notation "⊩" with precedence 60 for @{'Vdash}.
  25
  26 interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y = (rel _ x y).
  27 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash = (rel _).
  28
  29 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  30 alias symbol "compose" = "category1 composition".
  31 record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type1 ≝
  32  { concr_rel: arrows1 ? (concr BP1) (concr BP2);
  33    form_rel: arrows1 ? (form BP1) (form BP2);
  34    commute: ⊩ ∘ concr_rel = form_rel ∘ ⊩
  35  }.
  36
  37 notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
  38 notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
  39
  40 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel __ r).
  41 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel __ r).
  42
  43 include "o-basic_pairs.ma".
  44 (* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
  45 definition o_basic_pair_of_basic_pair: cic:/matita/formal_topology/basic_pairs/basic_pair.ind#xpointer(1/1) → basic_pair.
  46  intro;
  47  constructor 1;
  48   [ apply (SUBSETS (concr b));
  49   | apply (SUBSETS (form b));
  50   | apply (orelation_of_relation ?? (rel b)); ]
  51 qed.
  52
  53 definition o_relation_pair_of_relation_pair:
  54  ∀BP1,BP2.cic:/matita/formal_topology/basic_pairs/relation_pair.ind#xpointer(1/1) BP1 BP2 →
  55   relation_pair (o_basic_pair_of_basic_pair BP1) (o_basic_pair_of_basic_pair BP2).
  56  intros;
  57  constructor 1;
  58   [ apply (orelation_of_relation ?? (r \sub \c));
  59   | apply (orelation_of_relation ?? (r \sub \f));
  60   |
  61   ]
  62 qed.
  63
  64 definition relation_pair_equality:
  65  ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
  66  intros;
  67  constructor 1;
  68   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  69   | simplify;
  70     intros;
  71     apply refl1;
  72   | simplify;
  73     intros 2;
  74     apply sym1;
  75   | simplify;
  76     intros 3;
  77     apply trans1;
  78   ]
  79 qed.
  80
  81 definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
  82  intros;
  83  constructor 1;
  84   [ apply (relation_pair b b1)
  85   | apply relation_pair_equality
  86   ]
  87 qed.
  88
  89 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': relation_pair_setoid o1 o2. r=r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
  90  intros 7 (o1 o2 r r' H c1 f2);
  91  split; intro H1;
  92   [ lapply (fi ?? (commute ?? r c1 f2) H1) as H2;
  93     lapply (if ?? (H c1 f2) H2) as H3;
  94     apply (if ?? (commute ?? r' c1 f2) H3);
  95   | lapply (fi ?? (commute ?? r' c1 f2) H1) as H2;
  96     lapply (fi ?? (H c1 f2) H2) as H3;
  97     apply (if ?? (commute ?? r c1 f2) H3);
  98   ]
  99 qed.
 100
 101 definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
 102  intro;
 103  constructor 1;
 104   [1,2: apply id1;
 105   | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
 106     lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
 107     apply (.= H);
 108     apply (H1 \sup -1);]
 109 qed.
 110
 111 definition relation_pair_composition:
 112  ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
 113  intros;
 114  constructor 1;
 115   [ intros (r r1);
 116     constructor 1;
 117      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
 118      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
 119      | lapply (commute ?? r) as H;
 120        lapply (commute ?? r1) as H1;
 121        apply (.= ASSOC1);
 122        apply (.= #‡H1);
 123        apply (.= ASSOC1\sup -1);
 124        apply (.= H‡#);
 125        apply ASSOC1]
 126   | intros;
 127     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 128     change in H with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 129     change in H1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 130     apply (.= ASSOC1);
 131     apply (.= #‡H1);
 132     apply (.= #‡(commute ?? b'));
 133     apply (.= ASSOC1 \sup -1);
 134     apply (.= H‡#);
 135     apply (.= ASSOC1);
 136     apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
 137     apply (ASSOC1 \sup -1)]
 138 qed.
 139
 140 definition BP: category1.
 141  constructor 1;
 142   [ apply basic_pair
 143   | apply relation_pair_setoid
 144   | apply id_relation_pair
 145   | apply relation_pair_composition
 146   | intros;
 147     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 148                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 149     apply (ASSOC1‡#);
 150   | intros;
 151     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 152     apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);
 153   | intros;
 154     change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 155     apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);]
 156 qed.
 157
 158 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 159  intros; constructor 1;
 160   [ apply (ext ? ? (rel o));
 161   | intros;
 162     apply (.= #‡H);
 163     apply refl1]
 164 qed.
 165
 166 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 167  λo.extS ?? (rel o).
 168
 169 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 170  intros (o); constructor 1;
 171   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 172     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 173   | intros; split; simplify; intros;
 174      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 175      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 176 qed.
 177
 178 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
 179
 180 definition fintersectsS:
 181  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 182  intros (o); constructor 1;
 183   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 184     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 185   | intros; split; simplify; intros;
 186      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 187      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 188 qed.
 189
 190 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
 191
 192 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 193  intros (o); constructor 1;
 194   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 195   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 196      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 197      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 198 qed.
 199
 200 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
 201 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).