helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs.ma".
  16 include "o-basic_pairs.ma".
  17 include "relations_to_o-algebra.ma".
  18
  19 (* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
  20 definition o_basic_pair_of_basic_pair: basic_pair → Obasic_pair.
  21  intro b;
  22  constructor 1;
  23   [ apply (map_objs2 ?? POW (concr b));
  24   | apply (map_objs2 ?? POW (form b));
  25   | apply (map_arrows2 ?? POW (concr b) (form b) (rel b)); ]
  26 qed.
  27
  28 definition o_relation_pair_of_relation_pair:
  29  ∀BP1,BP2. relation_pair BP1 BP2 →
  30   Orelation_pair (o_basic_pair_of_basic_pair BP1) (o_basic_pair_of_basic_pair BP2).
  31  intros;
  32  constructor 1;
  33   [ apply (map_arrows2 ?? POW (concr BP1) (concr BP2) (r \sub \c));
  34   | apply (map_arrows2 ?? POW (form BP1) (form BP2) (r \sub \f));
  35   | apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (concr BP2) (form BP2)  r\sub\c (⊩\sub BP2) )^-1);
  36     cut ( ⊩ \sub BP2 ∘ r \sub \c =_12 r\sub\f ∘ ⊩ \sub BP1) as H;
  37     [ apply (.= †H);
  38       apply (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (form BP1) (form BP2) (⊩\sub BP1) r\sub\f);
  39     | apply commute;]]
  40 qed.
  41
  42 definition BP_to_OBP: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BP) OBP).
  43  constructor 1;
  44   [ apply o_basic_pair_of_basic_pair;
  45   | intros; constructor 1;
  46      [ apply (o_relation_pair_of_relation_pair S T);
  47      | intros (a b Eab); split; unfold o_relation_pair_of_relation_pair; simplify;
  48        unfold o_basic_pair_of_basic_pair; simplify;
  49        [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
  50        | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
  51        | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
  52        | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
  53        simplify;
  54        apply (prop12);
  55        apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (a\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
  56        apply sym2;
  57        apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (b\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
  58        apply sym2;
  59        apply prop12;
  60        apply Eab;
  61      ]
  62   | simplify; intros; whd; split;
  63        [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
  64        | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
  65        | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
  66        | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
  67     simplify;
  68     apply prop12;
  69     apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
  70     apply (respects_id2 ?? POW (concr o));
  71   | simplify; intros; whd; split;
  72        [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
  73        | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
  74        | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
  75        | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
  76     simplify;
  77     apply prop12;
  78     apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
  79     apply (respects_comp2 ?? POW (concr o1) (concr o2) (concr o3) f1\sub\c f2\sub\c);]
  80 qed.
  81
  82 theorem BP_to_OBP_faithful:
  83  ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.
  84   map_arrows2 ?? BP_to_OBP ?? f = map_arrows2 ?? BP_to_OBP ?? g → f=g.
  85  intros; change with ( (⊩) ∘ f \sub \c = (⊩) ∘ g \sub \c);
  86  apply (POW_faithful);
  87  apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
  88  apply sym2;
  89  apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
  90  apply sym2;
  91  apply e;
  92 qed.
  93
  94 theorem BP_to_OBP_full: ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg. map_arrows2 ?? BP_to_OBP S T g = f).
  95  intros;
  96  cases (POW_full (concr S) (concr T) (Oconcr_rel ?? f)) (gc Hgc);
  97  cases (POW_full (form S) (form T) (Oform_rel ?? f)) (gf Hgf);
  98  exists[
  99    constructor 1; [apply gc|apply gf]
 100    apply (POW_faithful);
 101    apply (let xxxx ≝POW in .= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) gc (rel T));
 102    apply rule (.= Hgc‡#);
 103    apply (.= Ocommute ?? f);
 104    apply (.= #‡Hgf^-1);
 105    apply (let xxxx ≝POW in (respects_comp2 ?? POW (concr S) (form S) (form T) (rel S) gf)^-1)]
 106  split;
 107   [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x);
 108   | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
 109   | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
 110   | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
 111  simplify; apply (†(Hgc‡#));
 112 qed.