helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "relations.ma".
  16 include "saturations.ma".
  17
  18 record basic_topology: Type1 ≝
  19  { carrbt:> REL;
  20    A: unary_morphism1 (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
  21    J: unary_morphism1 (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
  22    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) = (U ≬ J V)
  25  }.
  26
  27 lemma hint: basic_topology → objs1 REL.
  28  intro; apply (carrbt b);
  29 qed.
  30 coercion hint.
  31
  32 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type1 ≝
  33  { cont_rel:> arrows1 ? S T;
  34    reduced: ∀U. U = J ? U → image ?? cont_rel U = J ? (image ?? cont_rel U);
  35    saturated: ∀U. U = A ? U → minus_star_image ?? cont_rel U = A ? (minus_star_image ?? cont_rel U)
  36  }.
  37 (*
  38 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  39  intros (S T); constructor 1;
  40   [ apply (continuous_relation S T)
  41   | constructor 1;
  42      [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
  43      | simplify; intros; apply refl1;
  44      | simplify; intros; apply sym1; apply H
  45      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H |3: apply H1; |1: skip]]]
  46 qed.
  47
  48 definition cont_rel': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → arrows1 ? S T ≝ cont_rel.
  49
  50 coercion cont_rel'.
  51
  52 definition cont_rel'': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → binary_relation S T ≝ cont_rel.
  53
  54 coercion cont_rel''.
  55
  56 theorem continuous_relation_eq':
  57  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  58   a = a' → ∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X).
  59  intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  60   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  61     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  62     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  63     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  64     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  65      [ apply I | assumption ]
  66   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  67     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  68     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  69     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  70     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  71      [ apply I | assumption ]]
  72 qed.
  73
  74 theorem continuous_relation_eq_inv':
  75  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  76   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → a=a'.
  77  intros 6;
  78  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  79   (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) →
  80    ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
  81   [2: clear b H a' a; intros;
  82       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  83        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  84        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  85         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  86             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  87        clear Hletin;
  88        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  89         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  90        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  91       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  92       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  93       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  94       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  95       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  96        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  97       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  98       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  99       assumption;]
 100  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
 101 qed.
 102
 103 definition continuous_relation_comp:
 104  ∀o1,o2,o3.
 105   continuous_relation_setoid o1 o2 →
 106    continuous_relation_setoid o2 o3 →
 107     continuous_relation_setoid o1 o3.
 108  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 109   [ apply (s ∘ r)
 110   | intros;
 111     apply sym1;
 112     apply (.= †(image_comp ??????));
 113     apply (.= (reduced ?????)\sup -1);
 114      [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 115      | apply (.= (image_comp ??????)\sup -1);
 116        apply refl1]
 117      | intros;
 118        apply sym1;
 119        apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
 120        apply (.= (saturated ?????)\sup -1);
 121         [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 122         | apply (.= (minus_star_image_comp ??????)\sup -1);
 123           apply refl1]]
 124 qed.
 125
 126 definition BTop: category1.
 127  constructor 1;
 128   [ apply basic_topology
 129   | apply continuous_relation_setoid
 130   | intro; constructor 1;
 131      [ apply id1
 132      | intros;
 133        apply (.= (image_id ??));
 134        apply sym1;
 135        apply (.= †(image_id ??));
 136        apply sym1;
 137        assumption
 138      | intros;
 139        apply (.= (minus_star_image_id ??));
 140        apply sym1;
 141        apply (.= †(minus_star_image_id ??));
 142        apply sym1;
 143        assumption]
 144   | intros; constructor 1;
 145      [ apply continuous_relation_comp;
 146      | intros; simplify; intro x; simplify;
 147        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H) as H';
 148        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H1) as H1';
 149        letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
 150        cut (∀X:Ω \sup o1.
 151               minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
 152             = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
 153         [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
 154        clear K H' H1';
 155        cut (∀X:Ω \sup o1.
 156               minus_star_image o1 o3 (b ∘ a) (A o1 X) = minus_star_image o1 o3 (b'∘a') (A o1 X));
 157         [2: intro;
 158             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 159             apply (.= #‡(saturated ?????));
 160              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 161             apply sym1;
 162             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 163             apply (.= #‡(saturated ?????));
 164              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 165            apply ((Hcut X) \sup -1)]
 166        clear Hcut; generalize in match x; clear x;
 167        apply (continuous_relation_eq_inv');
 168        apply Hcut1;]
 169   | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
 170     apply (.= †(ASSOC1‡#));
 171     apply refl1
 172   | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
 173     apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
 174     apply refl1
 175   | intros; simplify; intro; simplify;
 176     apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
 177     apply refl1]
 178 qed.
 179
 180 (*
 181 (*CSC: unused! *)
 182 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 183 theorem continuous_relation_eqS:
 184  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 185   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 186  intros;
 187  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 188   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 189       try assumption; split; assumption]
 190  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 191   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 192       apply (. #‡(H1 ?));
 193       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 194       assumption;] clear Hcut;
 195  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 196   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 197   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 198  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 199   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 200       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 201  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 202   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 203  apply Hcut2; assumption.
 204 qed.
 205 *)
 206 *)