helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_topologies.ma".
  16 include "o-basic_topologies.ma".
  17 include "relations_to_o-algebra.ma".
  18
  19 definition o_basic_topology_of_basic_topology: basic_topology → Obasic_topology.
  20  intros (b); constructor 1;
  21   [ apply (POW' b) | apply (A b) | apply (J b);
  22   | apply (A_is_saturation b) | apply (J_is_reduction b) | apply (compatibility b) ]
  23 qed.
  24
  25 definition o_continuous_relation_of_continuous_relation:
  26  ∀BT1,BT2.continuous_relation BT1 BT2 →
  27   Ocontinuous_relation (o_basic_topology_of_basic_topology BT1) (o_basic_topology_of_basic_topology BT2).
  28  intros (BT1 BT2 c); constructor 1;
  29   [ apply (orelation_of_relation ?? c) | apply (reduced ?? c) | apply (saturated ?? c) ]
  30 qed.
  31
  32 axiom daemon: False.
  33
  34 lemma o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism :
  35   ∀S,T:category2_of_category1 BTop.
  36   unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T)
  37    (arrows2 OBTop (o_basic_topology_of_basic_topology S) (o_basic_topology_of_basic_topology T)).
  38 intros (S T);
  39    constructor 1;
  40      [ apply (o_continuous_relation_of_continuous_relation S T);
  41      | cases daemon (*apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)*)]
  42 qed.
  43
  44 definition BTop_to_OBTop: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BTop) OBTop).
  45  constructor 1;
  46   [ apply o_basic_topology_of_basic_topology;
  47   | intros; apply o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism;
  48   | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_id*);
  49   | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_comp*);]
  50 qed.
  51
  52 (*
  53 alias symbol "eq" (instance 2) = "setoid1 eq".
  54 alias symbol "eq" (instance 1) = "setoid2 eq".
  55 theorem BTop_to_OBTop_faithful:
  56  ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T.
  57   map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop ?? f = map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop ?? g → f=g.
  58  intros; change with (∀b.A ? (ext ?? f b) = A ? (ext ?? g b));
  59  apply (POW_faithful);
  60  apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
  61  apply sym2;
  62  apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
  63  apply sym2;
  64  apply e;
  65 qed.
  66 *)
  67
  68 include "notation.ma".
  69
  70 theorem BTop_to_OBTop_full:
  71    ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg. map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop S T g = f).
  72  intros;
  73  cases (POW_full (carrbt S) (carrbt T) (Ocont_rel ?? f)) (g Hg);
  74  exists[
  75    constructor 1;
  76     [ apply g
  77     | apply hide; intros; lapply (Oreduced ?? f ? e);
  78       cases Hg; lapply (e3 U) as K; apply (.= K);
  79       apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
  80     | apply hide; intros; lapply (Osaturated ?? f ? e);
  81       cases Hg; lapply (e1 U) as K; apply (.= K);
  82       apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
  83     ]
  84  | simplify; unfold BTop_to_OBTop; simplify;
  85    unfold o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism; simplify;
  86    cases Hg; whd; simplify; intro;
  87 qed.