helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/cprop_connectives.ma".
  16
  17 definition Type0 := Type.
  18 definition Type1 := Type.
  19 definition Type2 := Type.
  20 definition Type3 := Type.
  21 definition Type0_lt_Type1 := (Type0 : Type1).
  22 definition Type1_lt_Type2 := (Type1 : Type2).
  23 definition Type2_lt_Type3 := (Type2 : Type3).
  24
  25 definition Type_OF_Type0: Type0 → Type := λx.x.
  26 definition Type_OF_Type1: Type1 → Type := λx.x.
  27 definition Type_OF_Type2: Type2 → Type := λx.x.
  28 definition Type_OF_Type3: Type3 → Type := λx.x.
  29 coercion Type_OF_Type0.
  30 coercion Type_OF_Type1.
  31 coercion Type_OF_Type2.
  32 coercion Type_OF_Type3.
  33
  34 definition CProp0 := CProp.
  35 definition CProp1 := CProp.
  36 definition CProp2 := CProp.
  37 definition CProp0_lt_CProp1 := (CProp0 : CProp1).
  38 definition CProp1_lt_CProp2 := (CProp1 : CProp2).
  39
  40 definition CProp_OF_CProp0: CProp0 → CProp := λx.x.
  41 definition CProp_OF_CProp1: CProp1 → CProp := λx.x.
  42 definition CProp_OF_CProp2: CProp2 → CProp := λx.x.
  43
  44 record equivalence_relation (A:Type0) : Type1 ≝
  45  { eq_rel:2> A → A → CProp0;
  46    refl: reflexive ? eq_rel;
  47    sym: symmetric ? eq_rel;
  48    trans: transitive ? eq_rel
  49  }.
  50
  51 record setoid : Type1 ≝
  52  { carr:> Type0;
  53    eq: equivalence_relation carr
  54  }.
  55
  56 definition reflexive1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x:A.R x x.
  57 definition symmetric1 ≝ λC:Type1.λlt:C→C→CProp1. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  58 definition transitive1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  59
  60 record equivalence_relation1 (A:Type1) : Type1 ≝
  61  { eq_rel1:2> A → A → CProp1;
  62    refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
  63    sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
  64    trans1: transitive1 ? eq_rel1
  65  }.
  66
  67 record setoid1: Type2 ≝
  68  { carr1:> Type1;
  69    eq1: equivalence_relation1 carr1
  70  }.
  71
  72 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  73  intro;
  74  constructor 1;
  75   [ apply (carr s)
  76   | constructor 1;
  77     [ apply (eq_rel s);
  78       apply (eq s)
  79     | apply (refl s)
  80     | apply (sym s)
  81     | apply (trans s)]]
  82 qed.
  83
  84 (* questa coercion e' necessaria per problemi di unificazione *)
  85 coercion setoid1_of_setoid.
  86
  87 definition reflexive2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x:A.R x x.
  88 definition symmetric2 ≝ λC:Type2.λlt:C→C→CProp2. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  89 definition transitive2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  90
  91 record equivalence_relation2 (A:Type2) : Type2 ≝
  92  { eq_rel2:2> A → A → CProp2;
  93    refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
  94    sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
  95    trans2: transitive2 ? eq_rel2
  96  }.
  97
  98 record setoid2: Type3 ≝
  99  { carr2:> Type2;
 100    eq2: equivalence_relation2 carr2
 101  }.
 102
 103 (*
 104 definition Leibniz: Type → setoid.
 105  intro;
 106  constructor 1;
 107   [ apply T
 108   | constructor 1;
 109      [ apply (λx,y:T.cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y)
 110      | alias id "refl_eq" = "cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1)".
 111        apply refl_eq
 112      | alias id "sym_eq" = "cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con".
 113        apply sym_eq
 114      | alias id "trans_eq" = "cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con".
 115        apply trans_eq ]]
 116 qed.
 117
 118 coercion Leibniz.
 119 *)
 120
 121 interpretation "setoid2 eq" 'eq x y = (eq_rel2 _ (eq2 _) x y).
 122 interpretation "setoid1 eq" 'eq x y = (eq_rel1 _ (eq1 _) x y).
 123 interpretation "setoid eq" 'eq x y = (eq_rel _ (eq _) x y).
 124 interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ____ r).
 125 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ____ r).
 126 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ____ r).
 127 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
 128 interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 _____ r).
 129 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 _____ r).
 130 interpretation "trans" 'trans r = (trans _____ r).
 131
 132 record unary_morphism (A,B: setoid) : Type0 ≝
 133  { fun1:1> A → B;
 134    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
 135  }.
 136
 137 record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type1 ≝
 138  { fun11:1> A → B;
 139    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
 140  }.
 141
 142 record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type2 ≝
 143  { fun12:1> A → B;
 144    prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
 145  }.
 146
 147 record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type0 ≝
 148  { fun2:2> A → B → C;
 149    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
 150  }.
 151
 152 record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type1 ≝
 153  { fun21:2> A → B → C;
 154    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
 155  }.
 156
 157 record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type2 ≝
 158  { fun22:2> A → B → C;
 159    prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
 160  }.
 161
 162 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
 163 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
 164 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
 165 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 _____ c).
 166 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 _____ c).
 167 interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 _____ c).
 168 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ________ l r).
 169 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ________ l r).
 170 interpretation "refl" 'refl = (refl ___).
 171 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ___).
 172 interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ___).
 173
 174 definition CPROP: setoid1.
 175  constructor 1;
 176   [ apply CProp0
 177   | constructor 1;
 178      [ apply Iff
 179      | intros 1; split; intro; assumption
 180      | intros 3; cases H; split; assumption
 181      | intros 5; cases H; cases H1; split; intro;
 182         [ apply (H4 (H2 x1)) | apply (H3 (H5 z1))]]]
 183 qed.
 184
 185 definition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
 186  intros; apply (if ?? e); assumption.
 187 qed.
 188
 189 notation ". r" with precedence 50 for @{'if $r}.
 190 interpretation "if" 'if r = (if' __ r).
 191
 192 definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 193  constructor 1;
 194   [ apply And
 195   | intros; split; intro; cases H; split;
 196      [ apply (if ?? e a1)
 197      | apply (if ?? e1 b1)
 198      | apply (fi ?? e a1)
 199      | apply (fi ?? e1 b1)]]
 200 qed.
 201
 202 interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ___ and_morphism a b).
 203
 204 definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 205  constructor 1;
 206   [ apply Or
 207   | intros; split; intro; cases H; [1,3:left |2,4: right]
 208      [ apply (if ?? e a1)
 209      | apply (fi ?? e a1)
 210      | apply (if ?? e1 b1)
 211      | apply (fi ?? e1 b1)]]
 212 qed.
 213
 214 interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ___ or_morphism a b).
 215
 216 definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 217  constructor 1;
 218   [ apply (λA,B. A → B)
 219   | intros; split; intros;
 220      [ apply (if ?? e1); apply H; apply (fi ?? e); assumption
 221      | apply (fi ?? e1); apply H; apply (if ?? e); assumption]]
 222 qed.
 223
 224 (*
 225 definition eq_morphism: ∀S:setoid. binary_morphism S S CPROP.
 226  intro;
 227  constructor 1;
 228   [ apply (eq_rel ? (eq S))
 229   | intros; split; intro;
 230      [ apply (.= H \sup -1);
 231        apply (.= H2);
 232        assumption
 233      | apply (.= H);
 234        apply (.= H2);
 235        apply (H1 \sup -1)]]
 236 qed.
 237 *)
 238
 239 record category : Type1 ≝
 240  { objs:> Type0;
 241    arrows: objs → objs → setoid;
 242    id: ∀o:objs. arrows o o;
 243    comp: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows o1 o2) (arrows o2 o3) (arrows o1 o3);
 244    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 245     comp o1 o3 o4 (comp o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp o1 o2 o4 a12 (comp o2 o3 o4 a23 a34);
 246    id_neutral_left: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o1) a = a;
 247    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o2) = a
 248  }.
 249
 250 record category1 : Type2 ≝
 251  { objs1:> Type1;
 252    arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
 253    id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
 254    comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
 255    comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 256     comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
 257    id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a = a;
 258    id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) = a
 259  }.
 260
 261 record category2 : Type3 ≝
 262  { objs2:> Type2;
 263    arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
 264    id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
 265    comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
 266    comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 267     comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
 268    id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a = a;
 269    id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) = a
 270  }.
 271
 272 notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
 273 notation "'ASSOC1'" with precedence 90 for @{'assoc1}.
 274 notation "'ASSOC2'" with precedence 90 for @{'assoc2}.
 275
 276 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun22 ___ (comp2 ____) y x).
 277 interpretation "category1 assoc" 'assoc1 = (comp_assoc2 ________).
 278 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ___ (comp1 ____) y x).
 279 interpretation "category1 assoc" 'assoc1 = (comp_assoc1 ________).
 280 interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ___ (comp ____) y x).
 281 interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ________).
 282
 283 (* bug grande come una casa?
 284    Ma come fa a passare la quantificazione larga??? *)
 285 definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
 286  intros;
 287  constructor 1;
 288   [ apply (unary_morphism s s1);
 289   | constructor 1;
 290      [ intros (f g); apply (∀a:s. f a = g a);
 291      | intros 1; simplify; intros; apply refl;
 292      | simplify; intros; apply sym; apply H;
 293      | simplify; intros; apply trans; [2: apply H; | skip | apply H1]]]
 294 qed.
 295
 296 definition SET: category1.
 297  constructor 1;
 298   [ apply setoid;
 299   | apply rule (λS,T:setoid.unary_morphism_setoid S T);
 300   | intros; constructor 1; [ apply (λx:carr o.x); | intros; assumption ]
 301   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. t1 (t x)); | intros;
 302      apply († (†e));]
 303   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 304     apply trans; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
 305      [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
 306   | intros; whd; intros; simplify; apply refl;
 307   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
 308   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
 309   ]
 310 qed.
 311
 312 definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid.
 313  intros; apply o; qed.
 314 coercion setoid_of_SET.
 315
 316 definition setoid1_of_SET: SET → setoid1.
 317  intro; whd in t; apply setoid1_of_setoid; apply t.
 318 qed.
 319 coercion setoid1_of_SET.
 320
 321 definition eq': ∀w:SET.equivalence_relation ? := λw.eq w.
 322
 323 definition prop1_SET :
 324  ∀A,B:SET.∀w:arrows1 SET A B.∀a,b:Type_OF_objs1 A.eq' ? a b→eq' ? (w a) (w b).
 325 intros; apply (prop1 A B w a b e);
 326 qed.
 327
 328
 329 interpretation "SET dagger" 'prop1 h = (prop1_SET _ _ _ _ _ h).
 330 notation "hbox(a break ⇒ b)" right associative with precedence 20 for @{ 'Imply $a $b }.
 331 interpretation "unary morphism" 'Imply a b = (arrows1 SET a b).
 332 interpretation "SET eq" 'eq x y = (eq_rel _ (eq' _) x y).
 333
 334 definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid2.
 335  intros;
 336  constructor 1;
 337   [ apply (unary_morphism1 s s1);
 338   | constructor 1;
 339      [ intros (f g); apply (∀a: carr1 s. f a = g a);
 340      | intros 1; simplify; intros; apply refl1;
 341      | simplify; intros; apply sym1; apply H;
 342      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H; | skip | apply H1]]]
 343 qed.
 344
 345 definition SET1: category2.
 346  constructor 1;
 347   [ apply setoid1;
 348   | apply rule (λS,T.unary_morphism1_setoid1 S T);
 349   | intros; constructor 1; [ apply (λx.x); | intros; assumption ]
 350   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. t1 (t x)); | intros;
 351      apply († (†e));]
 352   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 353     apply trans1; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
 354      [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
 355   | intros; whd; intros; simplify; apply refl1;
 356   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
 357   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
 358   ]
 359 qed.
 360
 361 definition setoid1_OF_SET1: objs2 SET1 → setoid1.
 362  intros; apply o; qed.
 363
 364 coercion setoid1_OF_SET1.
 365
 366 definition eq'': ∀w:SET1.equivalence_relation1 ? := λw.eq1 w.
 367
 368 definition prop11_SET1 :
 369  ∀A,B:SET1.∀w:arrows2 SET1 A B.∀a,b:Type_OF_objs2 A.eq'' ? a b→eq'' ? (w a) (w b).
 370 intros; apply (prop11 A B w a b e);
 371 qed.
 372
 373 interpretation "SET dagger" 'prop1 h = (prop11_SET1 _ _ _ _ _ h).
 374 notation "hbox(a break ⇒ b)" right associative with precedence 20 for @{ 'Imply $a $b }.
 375 interpretation "unary morphism1" 'Imply a b = (arrows2 SET1 a b).
 376 interpretation "SET1 eq" 'eq x y = (eq_rel1 _ (eq'' _) x y).