helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/cprop_connectives.ma".
  16
  17 definition Type0 := Type.
  18 definition Type1 := Type.
  19 definition Type2 := Type.
  20 definition Type3 := Type.
  21 definition Type0_lt_Type1 := (Type0 : Type1).
  22 definition Type1_lt_Type2 := (Type1 : Type2).
  23 definition Type2_lt_Type3 := (Type2 : Type3).
  24
  25 definition Type_OF_Type0: Type0 → Type := λx.x.
  26 definition Type_OF_Type1: Type1 → Type := λx.x.
  27 definition Type_OF_Type2: Type2 → Type := λx.x.
  28 definition Type_OF_Type3: Type3 → Type := λx.x.
  29 coercion Type_OF_Type0.
  30 coercion Type_OF_Type1.
  31 coercion Type_OF_Type2.
  32 coercion Type_OF_Type3.
  33
  34 definition CProp0 := CProp.
  35 definition CProp1 := CProp.
  36 definition CProp2 := CProp.
  37 definition CProp0_lt_CProp1 := (CProp0 : CProp1).
  38 definition CProp1_lt_CProp2 := (CProp1 : CProp2).
  39
  40 definition CProp_OF_CProp0: CProp0 → CProp := λx.x.
  41 definition CProp_OF_CProp1: CProp1 → CProp := λx.x.
  42 definition CProp_OF_CProp2: CProp2 → CProp := λx.x.
  43
  44 record equivalence_relation (A:Type0) : Type1 ≝
  45  { eq_rel:2> A → A → CProp0;
  46    refl: reflexive ? eq_rel;
  47    sym: symmetric ? eq_rel;
  48    trans: transitive ? eq_rel
  49  }.
  50
  51 record setoid : Type1 ≝
  52  { carr:> Type0;
  53    eq: equivalence_relation carr
  54  }.
  55
  56 definition reflexive1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x:A.R x x.
  57 definition symmetric1 ≝ λC:Type1.λlt:C→C→CProp1. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  58 definition transitive1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  59
  60 record equivalence_relation1 (A:Type1) : Type2 ≝
  61  { eq_rel1:2> A → A → CProp1;
  62    refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
  63    sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
  64    trans1: transitive1 ? eq_rel1
  65  }.
  66
  67 record setoid1: Type2 ≝
  68  { carr1:> Type1;
  69    eq1: equivalence_relation1 carr1
  70  }.
  71
  72 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  73  intro;
  74  constructor 1;
  75   [ apply (carr s)
  76   | constructor 1;
  77     [ apply (eq_rel s);
  78       apply (eq s)
  79     | apply (refl s)
  80     | apply (sym s)
  81     | apply (trans s)]]
  82 qed.
  83
  84 (* questa coercion e' necessaria per problemi di unificazione *)
  85 coercion setoid1_of_setoid.
  86
  87 definition reflexive2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x:A.R x x.
  88 definition symmetric2 ≝ λC:Type2.λlt:C→C→CProp2. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  89 definition transitive2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  90
  91 record equivalence_relation2 (A:Type2) : Type3 ≝
  92  { eq_rel2:2> A → A → CProp2;
  93    refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
  94    sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
  95    trans2: transitive2 ? eq_rel2
  96  }.
  97
  98 record setoid2: Type3 ≝
  99  { carr2:> Type2;
 100    eq2: equivalence_relation2 carr2
 101  }.
 102
 103 definition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
 104  intro;
 105  constructor 1;
 106   [ apply (carr1 s)
 107   | constructor 1;
 108     [ apply (eq_rel1 s);
 109       apply (eq1 s)
 110     | apply (refl1 s)
 111     | apply (sym1 s)
 112     | apply (trans1 s)]]
 113 qed.
 114
 115 (*coercion setoid2_of_setoid1.*)
 116
 117 (*
 118 definition Leibniz: Type → setoid.
 119  intro;
 120  constructor 1;
 121   [ apply T
 122   | constructor 1;
 123      [ apply (λx,y:T.cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y)
 124      | alias id "refl_eq" = "cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1)".
 125        apply refl_eq
 126      | alias id "sym_eq" = "cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con".
 127        apply sym_eq
 128      | alias id "trans_eq" = "cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con".
 129        apply trans_eq ]]
 130 qed.
 131
 132 coercion Leibniz.
 133 *)
 134
 135 interpretation "setoid2 eq" 'eq x y = (eq_rel2 _ (eq2 _) x y).
 136 interpretation "setoid1 eq" 'eq x y = (eq_rel1 _ (eq1 _) x y).
 137 interpretation "setoid eq" 'eq x y = (eq_rel _ (eq _) x y).
 138 interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ____ r).
 139 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ____ r).
 140 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ____ r).
 141 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
 142 interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 _____ r).
 143 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 _____ r).
 144 interpretation "trans" 'trans r = (trans _____ r).
 145
 146 record unary_morphism (A,B: setoid) : Type0 ≝
 147  { fun1:1> A → B;
 148    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
 149  }.
 150
 151 record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type1 ≝
 152  { fun11:1> A → B;
 153    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
 154  }.
 155
 156 record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type2 ≝
 157  { fun12:1> A → B;
 158    prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
 159  }.
 160
 161 record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type0 ≝
 162  { fun2:2> A → B → C;
 163    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
 164  }.
 165
 166 record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type1 ≝
 167  { fun21:2> A → B → C;
 168    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
 169  }.
 170
 171 record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type2 ≝
 172  { fun22:2> A → B → C;
 173    prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
 174  }.
 175
 176 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
 177 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
 178 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
 179 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 _____ c).
 180 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 _____ c).
 181 interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 _____ c).
 182 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ________ l r).
 183 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ________ l r).
 184 interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ________ l r).
 185 interpretation "refl" 'refl = (refl ___).
 186 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ___).
 187 interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ___).
 188
 189 definition CPROP: setoid1.
 190  constructor 1;
 191   [ apply CProp0
 192   | constructor 1;
 193      [ apply Iff
 194      | intros 1; split; intro; assumption
 195      | intros 3; cases H; split; assumption
 196      | intros 5; cases H; cases H1; split; intro;
 197         [ apply (H4 (H2 x1)) | apply (H3 (H5 z1))]]]
 198 qed.
 199
 200 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 201 definition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
 202  intros; apply (if ?? e); assumption.
 203 qed.
 204
 205 notation ". r" with precedence 50 for @{'if $r}.
 206 interpretation "if" 'if r = (if' __ r).
 207
 208 definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 209  constructor 1;
 210   [ apply And
 211   | intros; split; intro; cases H; split;
 212      [ apply (if ?? e a1)
 213      | apply (if ?? e1 b1)
 214      | apply (fi ?? e a1)
 215      | apply (fi ?? e1 b1)]]
 216 qed.
 217
 218 interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ___ and_morphism a b).
 219
 220 definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 221  constructor 1;
 222   [ apply Or
 223   | intros; split; intro; cases H; [1,3:left |2,4: right]
 224      [ apply (if ?? e a1)
 225      | apply (fi ?? e a1)
 226      | apply (if ?? e1 b1)
 227      | apply (fi ?? e1 b1)]]
 228 qed.
 229
 230 interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ___ or_morphism a b).
 231
 232 definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 233  constructor 1;
 234   [ apply (λA,B. A → B)
 235   | intros; split; intros;
 236      [ apply (if ?? e1); apply H; apply (fi ?? e); assumption
 237      | apply (fi ?? e1); apply H; apply (if ?? e); assumption]]
 238 qed.
 239
 240 (*
 241 definition eq_morphism: ∀S:setoid. binary_morphism S S CPROP.
 242  intro;
 243  constructor 1;
 244   [ apply (eq_rel ? (eq S))
 245   | intros; split; intro;
 246      [ apply (.= H \sup -1);
 247        apply (.= H2);
 248        assumption
 249      | apply (.= H);
 250        apply (.= H2);
 251        apply (H1 \sup -1)]]
 252 qed.
 253 *)
 254
 255 record category : Type1 ≝
 256  { objs:> Type0;
 257    arrows: objs → objs → setoid;
 258    id: ∀o:objs. arrows o o;
 259    comp: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows o1 o2) (arrows o2 o3) (arrows o1 o3);
 260    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 261     comp o1 o3 o4 (comp o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp o1 o2 o4 a12 (comp o2 o3 o4 a23 a34);
 262    id_neutral_left: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o1) a = a;
 263    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o2) = a
 264  }.
 265
 266 record category1 : Type2 ≝
 267  { objs1:> Type1;
 268    arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
 269    id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
 270    comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
 271    comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 272     comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
 273    id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a = a;
 274    id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) = a
 275  }.
 276
 277 record category2 : Type3 ≝
 278  { objs2:> Type2;
 279    arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
 280    id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
 281    comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
 282    comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 283     comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
 284    id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a = a;
 285    id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) = a
 286  }.
 287
 288 notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
 289 notation "'ASSOC1'" with precedence 90 for @{'assoc1}.
 290 notation "'ASSOC2'" with precedence 90 for @{'assoc2}.
 291
 292 interpretation "category2 composition" 'compose x y = (fun22 ___ (comp2 ____) y x).
 293 interpretation "category2 assoc" 'assoc1 = (comp_assoc2 ________).
 294 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ___ (comp1 ____) y x).
 295 interpretation "category1 assoc" 'assoc1 = (comp_assoc1 ________).
 296 interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ___ (comp ____) y x).
 297 interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ________).
 298
 299 (* bug grande come una casa?
 300    Ma come fa a passare la quantificazione larga??? *)
 301 definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid1.
 302  intros;
 303  constructor 1;
 304   [ apply (unary_morphism s s1);
 305   | constructor 1;
 306      [ intros (f g); apply (∀a:s. eq ? (f a) (g a));
 307      | intros 1; simplify; intros; apply refl;
 308      | simplify; intros; apply sym; apply H;
 309      | simplify; intros; apply trans; [2: apply H; | skip | apply H1]]]
 310 qed.
 311
 312 definition SET: category1.
 313  constructor 1;
 314   [ apply setoid;
 315   | apply rule (λS,T:setoid.unary_morphism_setoid S T);
 316   | intros; constructor 1; [ apply (λx:carr o.x); | intros; assumption ]
 317   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. t1 (t x)); | intros;
 318      apply († (†e));]
 319   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 320     apply trans; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
 321      [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
 322   | intros; whd; intros; simplify; apply refl;
 323   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
 324   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
 325   ]
 326 qed.
 327
 328 definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid.
 329  intros; apply o; qed.
 330 coercion setoid_of_SET.
 331
 332 definition setoid1_of_SET: SET → setoid1.
 333  intro; whd in t; apply setoid1_of_setoid; apply t.
 334 qed.
 335 coercion setoid1_of_SET.
 336
 337 definition eq': ∀w:SET.equivalence_relation ? := λw.eq w.
 338
 339 definition prop1_SET :
 340  ∀A,B:SET.∀w:arrows1 SET A B.∀a,b:Type_OF_objs1 A.eq' ? a b→eq' ? (w a) (w b).
 341 intros; apply (prop1 A B w a b e);
 342 qed.
 343
 344
 345 interpretation "SET dagger" 'prop1 h = (prop1_SET _ _ _ _ _ h).
 346 notation "hbox(a break ⇒ b)" right associative with precedence 20 for @{ 'Imply $a $b }.
 347 interpretation "unary morphism" 'Imply a b = (arrows1 SET a b).
 348 interpretation "SET eq" 'eq x y = (eq_rel _ (eq' _) x y).
 349
 350 definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid2.
 351  intros;
 352  constructor 1;
 353   [ apply (unary_morphism1 s s1);
 354   | constructor 1;
 355      [ intros (f g);
 356        alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 357        apply (∀a: carr1 s. f a = g a);
 358      | intros 1; simplify; intros; apply refl1;
 359      | simplify; intros; apply sym1; apply H;
 360      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H; | skip | apply H1]]]
 361 qed.
 362
 363 definition SET1: category2.
 364  constructor 1;
 365   [ apply setoid1;
 366   | apply rule (λS,T.unary_morphism1_setoid1 S T);
 367   | intros; constructor 1; [ apply (λx.x); | intros; assumption ]
 368   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. t1 (t x)); | intros;
 369      apply († (†e));]
 370   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 371     apply trans1; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
 372      [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
 373   | intros; whd; intros; simplify; apply refl1;
 374   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
 375   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
 376   ]
 377 qed.
 378
 379 definition setoid1_OF_SET1: objs2 SET1 → setoid1.
 380  intros; apply o; qed.
 381
 382 coercion setoid1_OF_SET1.
 383
 384 definition eq'': ∀w:SET1.equivalence_relation1 ? := λw.eq1 w.
 385
 386 definition prop11_SET1 :
 387  ∀A,B:SET1.∀w:arrows2 SET1 A B.∀a,b:Type_OF_objs2 A.eq'' ? a b→eq'' ? (w a) (w b).
 388 intros; apply (prop11 A B w a b e);
 389 qed.
 390
 391 definition setoid2_OF_category2: Type_OF_category2 SET1 → setoid2.
 392  intro; apply (setoid2_of_setoid1 t); qed.
 393 coercion setoid2_OF_category2.
 394
 395 definition objs2_OF_category1: Type_OF_category1 SET → objs2 SET1.
 396  intro; apply (setoid1_of_setoid t); qed.
 397 coercion objs2_OF_category1.
 398
 399 definition Type1_OF_SET1: Type_OF_category2 SET1 → Type1.
 400  intro; whd in t; apply (carr1 t);
 401 qed.
 402 coercion Type1_OF_SET1.
 403
 404 interpretation "SET dagger" 'prop1 h = (prop11_SET1 _ _ _ _ _ h).
 405 interpretation "unary morphism1" 'Imply a b = (arrows2 SET1 a b).
 406 interpretation "SET1 eq" 'eq x y = (eq_rel1 _ (eq'' _) x y).
 407
 408 lemma unary_morphism1_of_arrows1_SET1: ∀S,T. (S ⇒ T) → unary_morphism1 S T.
 409  intros; apply t;
 410 qed.
 411 coercion unary_morphism1_of_arrows1_SET1.