helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs.ma".
  16
  17 (* full_subset e' una coercion che non mette piu' *)
  18 record concrete_space : Type1 ≝
  19  { bp:> BP;
  20    converges: ∀a: concr bp.∀U,V: form bp. a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
  21    all_covered: ∀x: concr bp. x ⊩ full_subset (form bp)
  22  }.
  23
  24 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  25 coercion bp'.
  26
  27 definition bp'': concrete_space → objs1 BP ≝ λc.bp c.
  28 coercion bp''.
  29
  30 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  31  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  32    respects_converges:
  33     ∀b,c.
  34      minus_image ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  35      BPextS CS1 ((minus_image ?? rp \sub\f b) ↓ (minus_image ?? rp \sub\f c));
  36    respects_all_covered:
  37     minus_image ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (full_subset (form CS2))) = BPextS CS1 (full_subset (form CS1))
  38  }.
  39 (*
  40 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
  41  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
  42
  43 coercion rp'.
  44
  45 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
  46  intros;
  47  constructor 1;
  48   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  49   | constructor 1;
  50      [ intros;
  51        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  52      | intros 1; apply refl1;
  53      | intros 2; apply sym1;
  54      | intros 3; apply trans1]]
  55 qed.
  56
  57 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
  58  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
  59
  60 coercion rp''.
  61
  62 definition convergent_relation_space_composition:
  63  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
  64   binary_morphism1
  65    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
  66    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
  67    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
  68  intros; constructor 1;
  69      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
  70        constructor 1;
  71         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
  72         | intros;
  73           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  74           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
  75             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  76           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
  77             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  78           apply (.= (extS_com ??????));
  79           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
  80           apply (.= (respects_converges ?????));
  81           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
  82           apply refl1;
  83         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  84           apply (.= (extS_com ??????));
  85           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
  86           apply (.= respects_all_covered ???);
  87           apply refl1]
  88      | intros;
  89        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
  90        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
  91        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
  92        apply (.= (H‡H1));
  93        apply refl1]
  94 qed.
  95
  96 definition CSPA: category1.
  97  constructor 1;
  98   [ apply concrete_space
  99   | apply convergent_relation_space_setoid
 100   | intro; constructor 1;
 101      [ apply id1
 102      | intros;
 103        unfold id; simplify;
 104        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 105        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
 106                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
 107        apply refl1;
 108      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 109        apply refl1]
 110   | apply convergent_relation_space_composition
 111   | intros; simplify;
 112     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 113     apply (.= ASSOC1);
 114     apply refl1
 115   | intros; simplify;
 116     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 117     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 118     apply refl1
 119   | intros; simplify;
 120     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 121     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 122     apply refl1]
 123 qed.
 124 *)