helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs.ma".
  16
  17 (* full_subset e' una coercion che non mette piu' *)
  18 record concrete_space : Type1 ≝
  19  { bp:> BP;
  20    converges: ∀a: concr bp.∀U,V: form bp. a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
  21    all_covered: ∀x: concr bp. x ⊩ full_subset (form bp)
  22  }.
  23
  24 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type1 ≝
  25  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  26    respects_converges:
  27     ∀b,c.
  28      minus_image ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  29      BPextS CS1 ((minus_image ?? rp \sub\f b) ↓ (minus_image ?? rp \sub\f c));
  30    respects_all_covered:
  31     minus_image ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (full_subset (form CS2))) = BPextS CS1 (full_subset (form CS1))
  32  }.
  33 (*
  34 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
  35  intros;
  36  constructor 1;
  37   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  38   | constructor 1;
  39      [ intros;
  40        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  41      | intros 1; apply refl1;
  42      | intros 2; apply sym1;
  43      | intros 3; apply trans1]]
  44 qed.
  45
  46 definition convergent_relation_space_composition:
  47  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
  48   binary_morphism1
  49    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
  50    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
  51    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
  52  intros; constructor 1;
  53      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
  54        constructor 1;
  55         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
  56         | intros;
  57           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  58           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
  59             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  60           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
  61             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  62           apply (.= (extS_com ??????));
  63           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
  64           apply (.= (respects_converges ?????));
  65           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
  66           apply refl1;
  67         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  68           apply (.= (extS_com ??????));
  69           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
  70           apply (.= respects_all_covered ???);
  71           apply refl1]
  72      | intros;
  73        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
  74        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
  75        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
  76        apply (.= (H‡H1));
  77        apply refl1]
  78 qed.
  79
  80 definition CSPA: category1.
  81  constructor 1;
  82   [ apply concrete_space
  83   | apply convergent_relation_space_setoid
  84   | intro; constructor 1;
  85      [ apply id1
  86      | intros;
  87        unfold id; simplify;
  88        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
  89        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
  90                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
  91        apply refl1;
  92      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
  93        apply refl1]
  94   | apply convergent_relation_space_composition
  95   | intros; simplify;
  96     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
  97     apply (.= ASSOC1);
  98     apply refl1
  99   | intros; simplify;
 100     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 101     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 102     apply refl1
 103   | intros; simplify;
 104     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 105     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 106     apply refl1]
 107 qed.
 108 *)