helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16
  17 definition Type3 : Type := Type.
  18 definition Type2 : Type3 := Type.
  19 definition Type1 : Type2 := Type.
  20 definition Type0 : Type1 := Type.
  21
  22 definition Type_of_Type0: Type0 → Type := λx.x.
  23 definition Type_of_Type1: Type1 → Type := λx.x.
  24 definition Type_of_Type2: Type2 → Type := λx.x.
  25 definition Type_of_Type3: Type3 → Type := λx.x.
  26 coercion Type_of_Type0.
  27 coercion Type_of_Type1.
  28 coercion Type_of_Type2.
  29 coercion Type_of_Type3.
  30
  31 definition CProp0 : Type1 := Type0.
  32 definition CProp1 : Type2 := Type1.
  33 definition CProp2 : Type3 := Type2.
  34 definition CProp_of_CProp0: CProp0 → CProp ≝ λx.x.
  35 definition CProp_of_CProp1: CProp1 → CProp ≝ λx.x.
  36 definition CProp_of_CProp2: CProp2 → CProp ≝ λx.x.
  37 coercion CProp_of_CProp0.
  38 coercion CProp_of_CProp1.
  39 coercion CProp_of_CProp2.
  40
  41 inductive Or (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
  42  | Left : A → Or A B
  43  | Right : B → Or A B.
  44
  45 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  46
  47 inductive Or3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
  48  | Left3 : A → Or3 A B C
  49  | Middle3 : B → Or3 A B C
  50  | Right3 : C → Or3 A B C.
  51
  52 interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
  53
  54 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
  55
  56 inductive Or4 (A,B,C,D:CProp0) : CProp0 ≝
  57  | Left3 : A → Or4 A B C D
  58  | Middle3 : B → Or4 A B C D
  59  | Right3 : C → Or4 A B C D
  60  | Extra3: D → Or4 A B C D.
  61
  62 interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
  63
  64 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
  65
  66 inductive And (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
  67  | Conj : A → B → And A B.
  68
  69 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  70
  71 inductive And3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
  72  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  73
  74 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  75
  76 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
  77
  78 inductive And42 (A,B,C,D:CProp2) : CProp2 ≝
  79  | Conj42 : A → B → C → D → And42 A B C D.
  80
  81 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  82
  83 interpretation "constructive quaternary and2" 'and4 x y z t = (And42 x y z t).
  84
  85 record Iff (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
  86  { if: A → B;
  87    fi: B → A
  88  }.
  89
  90 record Iff1 (A,B:CProp1) : CProp1 ≝
  91  { if1: A → B;
  92    fi1: B → A
  93  }.
  94
  95 notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
  96 interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
  97 interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
  98
  99 inductive exT (A:Type0) (P:A→CProp0) : CProp0 ≝
 100   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
 101
 102 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT _ x).
 103
 104 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
 105 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
 106 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
 107   (ex_introT _ _ a b).
 108
 109
 110 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
 111 definition pi2exT ≝
 112   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
 113
 114 interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT _ _).
 115 interpretation "exT \fst" 'pi1a x = (pi1exT _ _ x).
 116 interpretation "exT \fst" 'pi1b x y = (pi1exT _ _ x y).
 117 interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT _ _).
 118 interpretation "exT \snd" 'pi2a x = (pi2exT _ _ x).
 119 interpretation "exT \snd" 'pi2b x y = (pi2exT _ _ x y).
 120
 121 inductive exT23 (A:Type0) (P:A→CProp0) (Q:A→CProp0) (R:A→A→CProp0) : CProp0 ≝
 122   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
 123
 124 definition pi1exT23 ≝
 125   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
 126 definition pi2exT23 ≝
 127   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
 128
 129 interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 _ _ _ _).
 130 interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 _ _ _ _).
 131 interpretation "exT2 \fst" 'pi1a x = (pi1exT23 _ _ _ _ x).
 132 interpretation "exT2 \snd" 'pi2a x = (pi2exT23 _ _ _ _ x).
 133 interpretation "exT2 \fst" 'pi1b x y = (pi1exT23 _ _ _ _ x y).
 134 interpretation "exT2 \snd" 'pi2b x y = (pi2exT23 _ _ _ _ x y).
 135
 136 inductive exT2 (A:Type0) (P,Q:A→CProp0) : CProp0 ≝
 137   ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
 138
 139 definition Not : CProp0 → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
 140
 141 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 142
 143 definition cotransitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
 144  λC:Type0.λlt:C→C→CProp0.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 145
 146 definition coreflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
 147  λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 148
 149 definition symmetric: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
 150  λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 151
 152 definition antisymmetric: ∀A:Type0. ∀R:A→A→CProp0. ∀eq:A→A→Prop.CProp0 ≝
 153  λA:Type0.λR:A→A→CProp0.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 154
 155 definition reflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x:A.R x x.
 156
 157 definition transitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.