helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/categories.ma".
  16 include "logic/cprop_connectives.ma".
  17
  18 inductive bool : Type := true : bool | false : bool.
  19
  20 <<<<<<< .mine
  21 lemma BOOL : setoid.
  22 =======
  23 lemma BOOL : objs1 SET.
  24 >>>>>>> .r9407
  25 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  26 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  27 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  28 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  29 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros; try assumption; apply I]
  30 qed.
  31
  32 definition hint: objs1 SET → setoid.
  33  intros; apply o;
  34 qed.
  35
  36 coercion hint.
  37
  38 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  39   ∀S:setoid.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  40     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  41     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  42 intros; cases x in H; cases y; simplify; intros; try apply refl; whd in H; cases H;
  43 qed.
  44
  45 <<<<<<< .mine
  46 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  47 =======
  48 lemma if_then_else : ∀T:SET. ∀a,b:T. arrows1 SET BOOL T.
  49 intros; constructor 1; intros;
  50 [ apply (match c with [ true ⇒ t | false ⇒ t1 ]);
  51 | apply (IF_THEN_ELSE_p T t t1 a a' H);]
  52 qed.
  53
  54 interpretation "mk " 'comprehension T P =
  55 >>>>>>> .r9407
  56   (mk_unary_morphism T _ P _).
  57
  58 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  59 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  60 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  61 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  62
  63 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  64   (mk_unary_morphism s _ f p).
  65
  66 <<<<<<< .mine
  67 =======
  68 definition A : ∀S:SET.∀a,b:S.arrows1 SET BOOL S.
  69 apply (λS,a,b.{ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b] | IF_THEN_ELSE_p S a b}).
  70 qed.
  71
  72 >>>>>>> .r9407
  73 record OAlgebra : Type := {
  74   oa_P :> SET;
  75   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP; (* CPROP is setoid1 *)
  76   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  77 <<<<<<< .mine
  78   oa_meet: ∀I:setoid.unary_morphism (unary_morphism_setoid I oa_P) oa_P;
  79   oa_join: ∀I:setoid.unary_morphism (unary_morphism_setoid I oa_P) oa_P;
  80 =======
  81   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  82   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  83 >>>>>>> .r9407
  84   oa_one: oa_P;
  85   oa_zero: oa_P;
  86   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  87   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  88   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  89   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  90   oa_meet_inf: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) → ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  91   oa_join_sup: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p → ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  92   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  93   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  94   oa_overlap_preservers_meet:
  95       ∀p,q.oa_overlap p q → oa_overlap p
  96        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  97 <<<<<<< .mine
  98   oa_join_split:
  99       ∀I:setoid.∀p.∀q:I ⇒  oa_P.oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
 100   (*
 101   oa_base : setoid;
 102 =======
 103      (*(oa_meet BOOL (if_then_else oa_P p q));*)
 104   oa_join_split: (* ha I → oa_P da castare a funX (ums A oa_P) *)
 105       ∀I:SET.∀p.∀q:arrows1 SET I oa_P.oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
 106   (*oa_base : setoid;
 107 >>>>>>> .r9407
 108   oa_enum : ums oa_base oa_P;
 109   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
 110   *)
 111   oa_density:
 112       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
 113 }.
 114
 115 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun1 ___ (oa_leq _) a b).
 116
 117 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
 118 for @{ 'overlap $a $b}.
 119 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun1 ___ (oa_overlap _) a b).
 120
 121 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 122 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
 123 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 124 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 125 notation < "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
 126 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 127
 128 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
 129 for @{ 'oa_meet $f }.
 130 notation > "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 50
 131 for @{ 'oa_meet (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 132
 133 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 134   (fun_1 __ (oa_meet __) f).
 135 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 136   (fun_1 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 137
 138 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 139 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 140 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 141 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 142 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 143 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 144
 145 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 146 for @{ 'oa_join $f }.
 147 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 148 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 149
 150 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 151   (fun_1 __ (oa_join __) f).
 152 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 153   (fun_1 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 154
 155 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type ≝ {
 156   or_f :> arrows1 SET P Q;
 157   or_f_minus_star : arrows1 SET P Q;
 158   or_f_star : arrows1 SET Q P;
 159   or_f_minus : arrows1 SET Q P;
 160   or_prop1 : ∀p,q. (or_f p ≤ q) = (p ≤ or_f_star q);
 161   or_prop2 : ∀p,q. (or_f_minus p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star q);
 162   or_prop3 : ∀p,q. (or_f p >< q) = (p >< or_f_minus q)
 163 }.
 164
 165 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 166 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 167 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (or_f_star _ _ r).
 168
 169 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 170 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 171 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (or_f_minus_star _ _ r).
 172
 173 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 174 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 175 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (or_f_minus _ _ r).
 176
 177 axiom DAEMON: False.
 178
 179 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid1.
 180 intros (P Q);
 181 constructor 1;
 182 [ apply (ORelation P Q);
 183 | constructor 1;
 184 <<<<<<< .mine
 185    [ alias symbol "and" = "constructive and".
 186      apply (λp,q. And4 (∀a.p⎻* a = q⎻* a) (∀a.p⎻ a  = q⎻ a)
 187                        (∀a.p a   = q a)   (∀a.p* a  = q* a));
 188    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl;
 189 =======
 190    [ apply (λp,q. eq1 ? p⎻* q⎻* ∧ eq1 ? p⎻ q⎻ ∧ eq1 ? p q ∧ eq1 ? p* q* );
 191    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl1;
 192 >>>>>>> .r9407
 193 <<<<<<< .mine
 194    | whd; simplify; intros; cases H; clear H; split;
 195      intro a; apply sym; generalize in match a;assumption;
 196    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; clear H H1; split; intro a;
 197      [ apply (.= (H2 a)); apply H6;
 198      | apply (.= (H3 a)); apply H7;
 199      | apply (.= (H4 a)); apply H8;
 200      | apply (.= (H5 a)); apply H9;]]]
 201 qed.
 202 =======
 203    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; cases H3; clear H H3 H1;
 204      repeat split; intros; apply sym1; assumption;
 205    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; cases H2; cases H4; cases H6; cases H8;
 206      repeat split; intros; clear H H1 H2 H4 H6 H8; apply trans1;
 207       [2: apply H10;
 208       |5: apply H11;
 209       |8: apply H7;
 210       |11: apply H3;
 211       |1,4,7,10: skip
 212       |*: assumption
 213       ]]]
 214 qed.
 215 >>>>>>> .r9407
 216
 217 <<<<<<< .mine
 218 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 219 =======
 220 lemma hint1 : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → arrows1 SET P Q. intros; apply (or_f ?? c);qed.
 221 coercion hint1.
 222
 223 lemma hint3 : ∀P,Q. arrows1 SET P Q → P ⇒ Q. intros; apply c;qed.
 224 coercion hint3.
 225
 226 lemma hint2: OAlgebra → setoid. intros; apply (oa_P o). qed.
 227 coercion hint2.
 228
 229 definition composition : ∀P,Q,R.
 230 >>>>>>> .r9407
 231   binary_morphism1 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 232 intros;
 233 constructor 1;
 234 [ intros (F G);
 235   constructor 1;
 236 <<<<<<< .mine
 237     [ apply {x ∈ P | G (F x)}; intros; simplify; apply (†(†H));
 238     | apply {x ∈ P | G⎻* (F⎻* x)}; intros; simplify; apply (†(†H));
 239     | apply {x ∈ R | F* (G* x)}; intros; simplify; apply (†(†H));
 240     | apply {x ∈ R | F⎻ (G⎻ x)}; intros; simplify; apply (†(†H));
 241     | intros; simplify;
 242       lapply (or_prop1 ?? G (F p) q) as H1; lapply (or_prop1 ?? F p (G* q)) as H2;
 243       split; intro H;
 244         [ apply (if1 ?? H2); apply (if1 ?? H1); apply H;
 245         | apply (fi1 ?? H1); apply (fi1 ?? H2); apply H;]
 246     | intros; simplify;
 247       lapply (or_prop2 ?? G p (F⎻* q)) as H1; lapply (or_prop2 ?? F (G⎻ p) q) as H2;
 248       split; intro H;
 249         [ apply (if1 ?? H1); apply (if1 ?? H2); apply H;
 250         | apply (fi1 ?? H2); apply (fi1 ?? H1); apply H;]
 251     | intros; simplify;
 252       lapply (or_prop3 ?? F p (G⎻ q)) as H1; lapply (or_prop3 ?? G (F p) q) as H2;
 253       split; intro H;
 254         [ apply (if1 ?? H1); apply (if1 ?? H2); apply H;
 255         | apply (fi1 ?? H2); apply (fi1 ?? H1); apply H;]]
 256 | intros; simplify; split; simplify; intros; elim DAEMON;]
 257 =======
 258   [ apply (G ∘ F);
 259   | apply (G⎻* ∘ F⎻* );
 260   | apply (F* ∘ G* );
 261   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 262   | intros; change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 263     apply (.= or_prop1 ??? (F p) ?);
 264     apply (.= or_prop1 ??? p ?);
 265     apply refl1
 266   | intros; change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 267     apply (.= or_prop2 ??? (G⎻ p) ?);
 268     apply (.= or_prop2 ??? p ?);
 269     apply refl1;
 270   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 271     apply (.= or_prop3 ??? (F p) ?);
 272     apply (.= or_prop3 ??? p ?);
 273     apply refl1
 274   ]
 275 | intros; repeat split; simplify; cases DAEMON (*
 276    [ apply trans1; [2: apply prop1; [3: apply rule #; | skip | 4:
 277      apply rule (†?);
 278
 279      lapply (.= ((†H1)‡#)); [8: apply Hletin;
 280    [ apply trans1; [2: lapply (prop1); [apply Hletin;
 281 *)]
 282 >>>>>>> .r9407
 283 qed.
 284
 285 definition OA : category1.
 286 split;
 287 [ apply (OAlgebra);
 288 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 289 | intro O; split;
 290 <<<<<<< .mine
 291   [1,2,3,4: constructor 1; [1,3,5,7:apply (λx.x);|*:intros;assumption]
 292   |5,6,7:intros;split;intros; assumption;]
 293 |4: apply ORelation_composition;
 294 |*: elim DAEMON;]
 295 qed.
 296
 297
 298
 299 =======
 300   [1,2,3,4: apply id1;
 301   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 302 | apply composition;
 303 | intros; repeat split; unfold composition; simplify;
 304   [1,3: apply (comp_assoc1); | 2,4: apply ((comp_assoc1 ????????) \sup -1);]
 305 | intros; repeat split; unfold composition; simplify; apply id_neutral_left1;
 306 | intros; repeat split; unfold composition; simplify; apply id_neutral_right1;]
 307 qed.>>>>>>> .r9407