helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "categories.ma".
  16 include "logic/cprop_connectives.ma".
  17
  18 inductive bool : Type0 := true : bool | false : bool.
  19
  20 lemma BOOL : objs1 SET.
  21 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  22 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  23 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  24 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  25 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  26   try assumption; apply I]
  27 qed.
  28
  29 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  30   ∀S:setoid1.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  31     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  32     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  33 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  34 intros; cases x in e; cases y; simplify; intros; try apply refl1; whd in e; cases e;
  35 qed.
  36
  37 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  38   (mk_unary_morphism T _ P _).
  39 interpretation "unary morphism1 comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  40   (mk_unary_morphism1 T _ P _).
  41
  42 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  43 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  44 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  45 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  46
  47 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  48   (mk_unary_morphism s _ f p).
  49 interpretation "unary morphism1 comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  50   (mk_unary_morphism1 s _ f p).
  51
  52 (* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
  53    lattices, Definizione 0.9 *)
  54 (* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
  55 (*alias symbol "comprehension_by" = "unary morphism comprehension with proof".*)
  56 record OAlgebra : Type2 := {
  57   oa_P :> SET1;
  58   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP; (* CPROP is setoid1, CPROP importante che sia small *)
  59   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  60   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism2 (arrows2 SET1 I oa_P) oa_P;
  61   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism2 (arrows2 SET1 I oa_P) oa_P;
  62   oa_one: oa_P;
  63   oa_zero: oa_P;
  64   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  65   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  66   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  67   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  68   (* Errore: = in oa_meet_inf e oa_join_sup *)
  69   oa_meet_inf: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) → ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  70   oa_join_sup: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p → ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  71   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  72   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  73   oa_overlap_preserves_meet_:
  74       ∀p,q:oa_P.oa_overlap p q → oa_overlap p
  75        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  76   (* ⇔ deve essere =, l'esiste debole *)
  77   oa_join_split:
  78       ∀I:SET.∀p.∀q:arrows2 SET1 I oa_P.
  79        oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
  80   (*oa_base : setoid;
  81   1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
  82   2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
  83   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  84   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  85   *)
  86   oa_density:
  87       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  88 }.
  89
  90 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun21 ___ (oa_leq _) a b).
  91
  92 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  93 for @{ 'overlap $a $b}.
  94 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun21 ___ (oa_overlap _) a b).
  95
  96 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  97 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  98 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  99 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 100
 101 (*
 102 notation < "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
 103 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 104 *)
 105 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
 106 for @{ 'oa_meet $f }.
 107 (*
 108 notation > "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 50
 109 for @{ 'oa_meet (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 110 *)
 111 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 112   (fun12 __ (oa_meet __) f).
 113 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 114   (fun12 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 115
 116 definition hint3: OAlgebra → setoid1.
 117  intro; apply (oa_P o);
 118 qed.
 119 coercion hint3.
 120
 121 definition hint4: ∀A. setoid2_OF_OAlgebra A → hint3 A.
 122  intros; apply t;
 123 qed.
 124 coercion hint4.
 125
 126 definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 127 intros; split;
 128 [ intros (p q);
 129   apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 130 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_meet O BOOL));
 131    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 132    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 133    | apply Hletin;]
 134   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 135 qed.
 136
 137 notation "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
 138 for @{ 'oa_meet_bin $a $b }.
 139 interpretation "o-algebra binary meet" 'oa_meet_bin a b =
 140   (fun21 ___ (binary_meet _) a b).
 141
 142 coercion Type1_OF_OAlgebra nocomposites.
 143
 144 lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
 145 (* next change to avoid universe inconsistency *)
 146 change in ⊢ (?→%→%→?) with (Type1_OF_OAlgebra O);
 147 intros;  lapply (oa_overlap_preserves_meet_ O p q f);
 148 lapply (prop21 O O CPROP (oa_overlap O) p p ? (p ∧ q) # ?);
 149 [3: apply (if ?? (Hletin1)); apply Hletin;|skip] apply refl1;
 150 qed.
 151
 152 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 153 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 154 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 155 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 156 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 157 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 158
 159 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 160 for @{ 'oa_join $f }.
 161 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 162 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 163
 164 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 165   (fun12 __ (oa_join __) f).
 166 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 167   (fun12 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 168
 169 definition hint5: OAlgebra → objs2 SET1.
 170  intro; apply (oa_P o);
 171 qed.
 172 coercion hint5.
 173
 174 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type ≝ {
 175   or_f_ : P ⇒ Q;
 176   or_f_minus_star_ : P ⇒ Q;
 177   or_f_star_ : Q ⇒ P;
 178   or_f_minus_ : Q ⇒ P;
 179   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 180   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 181   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 182 }.
 183
 184 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid2.
 185 intros (P Q);
 186 constructor 1;
 187 [ apply (ORelation P Q);
 188 | constructor 1;
 189    (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
 190       le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
 191    [ apply (λp,q. And4 (eq2 ? (or_f_minus_star_ ?? p) (or_f_minus_star_ ?? q))
 192              (eq2 ? (or_f_minus_ ?? p) (or_f_minus_ ?? q))
 193              (eq2 ? (or_f_ ?? p) (or_f_ ?? q))
 194              (eq2 ? (or_f_star_ ?? p) (or_f_star_ ?? q)));
 195    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl2;
 196    | whd; simplify; intros; cases H; clear H; split;
 197      intro a; apply sym1; generalize in match a;assumption;
 198    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; clear H H1; split; intro a;
 199      [ apply (.= (e a)); apply e4;
 200      | apply (.= (e1 a)); apply e5;
 201      | apply (.= (e2 a)); apply e6;
 202      | apply (.= (e3 a)); apply e7;]]]
 203 qed.
 204
 205 definition or_f_minus_star:
 206  ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (P ⇒ Q).
 207  intros; constructor 1;
 208   [ apply or_f_minus_star_;
 209   | intros; cases e; assumption]
 210 qed.
 211
 212 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (P ⇒ Q).
 213  intros; constructor 1;
 214   [ apply or_f_;
 215   | intros; cases e; assumption]
 216 qed.
 217
 218 coercion or_f.
 219
 220 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (Q ⇒ P).
 221  intros; constructor 1;
 222   [ apply or_f_minus_;
 223   | intros; cases e; assumption]
 224 qed.
 225
 226 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (Q ⇒ P).
 227  intros; constructor 1;
 228   [ apply or_f_star_;
 229   | intros; cases e; assumption]
 230 qed.
 231
 232 lemma arrows1_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → (P ⇒ Q).
 233 intros; apply (or_f ?? t);
 234 qed.
 235
 236 coercion arrows1_OF_ORelation_setoid.
 237
 238 lemma umorphism_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → unary_morphism1 P Q.
 239 intros; apply (or_f ?? t);
 240 qed.
 241
 242 coercion umorphism_OF_ORelation_setoid.
 243
 244 lemma umorphism_setoid_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q.
 245 intros; apply (or_f ?? t);
 246 qed.
 247
 248 coercion umorphism_setoid_OF_ORelation_setoid.
 249
 250 lemma uncurry_arrows : ∀B,C. ORelation_setoid B C → B → C.
 251 intros; apply ((fun11 ?? t) t1);
 252 qed.
 253
 254 coercion uncurry_arrows 1.
 255
 256 lemma hint6: ∀P,Q. Type_OF_setoid2 (hint5 P ⇒ hint5 Q) → unary_morphism1 P Q.
 257  intros; apply t;
 258 qed.
 259 coercion hint6.
 260
 261 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 262 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 263
 264 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 265 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 266
 267 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 268 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 269
 270 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 __ (or_f_minus_star _ _) r).
 271 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 __ (or_f_minus _ _) r).
 272 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 __ (or_f_star _ _) r).
 273
 274 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 275    (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
 276 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 277 qed.
 278
 279 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 280    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 281 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 282 qed.
 283
 284 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 285    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 286 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 287 qed.
 288
 289 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 290   binary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 291 intros;
 292 constructor 1;
 293 [ intros (F G);
 294   constructor 1;
 295   [ apply (G ∘ F);
 296   | apply rule (G⎻* ∘ F⎻* );
 297   | apply (F* ∘ G* );
 298   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 299   | intros;
 300     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 301     apply (.= (or_prop1 :?));
 302     apply (or_prop1 :?);
 303   | intros;
 304     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 305     apply (.= (or_prop2 :?));
 306     apply or_prop2 ;
 307   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 308     apply (.= (or_prop3 :?));
 309     apply or_prop3;
 310   ]
 311 | intros; split; simplify;
 312    [1,3: unfold umorphism_setoid_OF_ORelation_setoid; unfold arrows1_OF_ORelation_setoid; apply ((†e)‡(†e1));
 313    |2,4: apply ((†e1)‡(†e));]]
 314 qed.
 315
 316 definition OA : category2.
 317 split;
 318 [ apply (OAlgebra);
 319 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 320 | intro O; split;
 321   [1,2,3,4: apply id2;
 322   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 323 | apply ORelation_composition;
 324 | intros (P Q R S F G H); split;
 325    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 326      apply (comp_assoc2 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 327    | apply ((comp_assoc2 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 328    | apply ((comp_assoc2 ????? F G H)^-1);
 329    | apply ((comp_assoc2 ????? H* G* F* ));]
 330 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left2;
 331 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right2;]
 332 qed.
 333
 334 lemma setoid1_of_OA: OA → setoid1.
 335  intro; apply (oa_P t);
 336 qed.
 337 coercion setoid1_of_OA.
 338
 339 lemma SET1_of_OA: OA → SET1.
 340  intro; whd; apply (setoid1_of_OA t);
 341 qed.
 342 coercion SET1_of_OA.
 343
 344 lemma objs2_SET1_OF_OA: OA → objs2 SET1.
 345  intro; whd; apply (setoid1_of_OA t);
 346 qed.
 347 coercion objs2_SET1_OF_OA.
 348
 349 lemma Type_OF_category2_OF_SET1_OF_OA: OA → Type_OF_category2 SET1.
 350  intro; apply (oa_P t);
 351 qed.
 352 coercion Type_OF_category2_OF_SET1_OF_OA.