helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "categories.ma".
  16
  17 inductive bool : Type0 := true : bool | false : bool.
  18
  19 lemma BOOL : objs1 SET.
  20 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  21 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  22 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  23 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  24 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  25   try assumption; apply I]
  26 qed.
  27
  28 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  29   ∀S:setoid1.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  30     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  31     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  32 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  33 intros; cases x in e; cases y; simplify; intros; try apply refl1; whd in e; cases e;
  34 qed.
  35
  36 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  37   (mk_unary_morphism T _ P _).
  38 interpretation "unary morphism1 comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  39   (mk_unary_morphism1 T _ P _).
  40
  41 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  42 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  43 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  44 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  45
  46 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  47   (mk_unary_morphism s _ f p).
  48 interpretation "unary morphism1 comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  49   (mk_unary_morphism1 s _ f p).
  50
  51 (* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
  52    lattices, Definizione 0.9 *)
  53 (* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
  54 record OAlgebra : Type2 := {
  55   oa_P :> SET1;
  56   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  57   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  58   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism2 (I ⇒ oa_P) oa_P;
  59   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism2 (I ⇒ oa_P) oa_P;
  60   oa_one: oa_P;
  61   oa_zero: oa_P;
  62   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  63   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  64   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  65   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  66   oa_meet_inf: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒ oa_P.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) = ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  67   oa_join_sup: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒ oa_P.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p = ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  68   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  69   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  70   oa_overlap_preserves_meet_:
  71       ∀p,q:oa_P.oa_overlap p q → oa_overlap p
  72        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  73   oa_join_split:
  74       ∀I:SET.∀p.∀q:I ⇒ oa_P.
  75        oa_overlap p (oa_join I q) = ∃i:I.oa_overlap p (q i);
  76   (*oa_base : setoid;
  77   1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
  78   2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
  79   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  80   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  81   *)
  82   oa_density:
  83       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  84 }.
  85
  86 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun21 ___ (oa_leq _) a b).
  87
  88 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  89 for @{ 'overlap $a $b}.
  90 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun21 ___ (oa_overlap _) a b).
  91
  92 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  93 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  94 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  95 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
  96
  97 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
  98 for @{ 'oa_meet $f }.
  99 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 100   (fun12 __ (oa_meet __) f).
 101 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 102   (fun12 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 103
 104 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 105 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join $p }.
 106 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 107 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 108
 109 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 60
 110 for @{ 'oa_join $f }.
 111 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 112   (fun12 __ (oa_join __) f).
 113 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 114   (fun12 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 115
 116 definition hint3: OAlgebra → setoid1.
 117  intro; apply (oa_P o);
 118 qed.
 119 coercion hint3.
 120
 121 definition hint4: ∀A. setoid2_OF_OAlgebra A → hint3 A.
 122  intros; apply t;
 123 qed.
 124 coercion hint4.
 125
 126 definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 127 intros; split;
 128 [ intros (p q);
 129   apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 130 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_meet O BOOL));
 131    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 132    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 133    | apply Hletin;]
 134   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 135 qed.
 136
 137 interpretation "o-algebra binary meet" 'and a b =
 138   (fun21 ___ (binary_meet _) a b).
 139
 140 definition binary_join : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 141 intros; split;
 142 [ intros (p q);
 143   apply (∨ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 144 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_join O BOOL));
 145    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 146    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 147    | apply Hletin;]
 148   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 149 qed.
 150
 151 interpretation "o-algebra binary join" 'or a b =
 152   (fun21 ___ (binary_join _) a b).
 153
 154 coercion Type1_OF_OAlgebra nocomposites.
 155
 156 lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
 157 (* next change to avoid universe inconsistency *)
 158 change in ⊢ (?→%→%→?) with (Type1_OF_OAlgebra O);
 159 intros;  lapply (oa_overlap_preserves_meet_ O p q f);
 160 lapply (prop21 O O CPROP (oa_overlap O) p p ? (p ∧ q) # ?);
 161 [3: apply (if ?? (Hletin1)); apply Hletin;|skip] apply refl1;
 162 qed.
 163
 164 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 165 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 166 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 167 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 168 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 169 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 170
 171 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 172 for @{ 'oa_join $f }.
 173 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 174 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 175
 176 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 177   (fun12 __ (oa_join __) f).
 178 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 179   (fun12 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 180
 181 definition hint5: OAlgebra → objs2 SET1.
 182  intro; apply (oa_P o);
 183 qed.
 184 coercion hint5.
 185
 186 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type2 ≝ {
 187   or_f_ : P ⇒ Q;
 188   or_f_minus_star_ : P ⇒ Q;
 189   or_f_star_ : Q ⇒ P;
 190   or_f_minus_ : Q ⇒ P;
 191   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 192   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 193   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 194 }.
 195
 196 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid2.
 197 intros (P Q);
 198 constructor 1;
 199 [ apply (ORelation P Q);
 200 | constructor 1;
 201    (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
 202       le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
 203    [ apply (λp,q. And42 (eq2 ? (or_f_minus_star_ ?? p) (or_f_minus_star_ ?? q))
 204              (eq2 ? (or_f_minus_ ?? p) (or_f_minus_ ?? q))
 205              (eq2 ? (or_f_ ?? p) (or_f_ ?? q))
 206              (eq2 ? (or_f_star_ ?? p) (or_f_star_ ?? q)));
 207    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl2;
 208    | whd; simplify; intros; cases a; clear a; split;
 209      intro a; apply sym1; generalize in match a;assumption;
 210    | whd; simplify; intros; cases a; cases a1; clear a a1; split; intro a;
 211      [ apply (.= (e a)); apply e4;
 212      | apply (.= (e1 a)); apply e5;
 213      | apply (.= (e2 a)); apply e6;
 214      | apply (.= (e3 a)); apply e7;]]]
 215 qed.
 216
 217 definition or_f_minus_star:
 218  ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (P ⇒ Q).
 219  intros; constructor 1;
 220   [ apply or_f_minus_star_;
 221   | intros; cases e; assumption]
 222 qed.
 223
 224 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (P ⇒ Q).
 225  intros; constructor 1;
 226   [ apply or_f_;
 227   | intros; cases e; assumption]
 228 qed.
 229
 230 coercion or_f.
 231
 232 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (Q ⇒ P).
 233  intros; constructor 1;
 234   [ apply or_f_minus_;
 235   | intros; cases e; assumption]
 236 qed.
 237
 238 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.unary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (Q ⇒ P).
 239  intros; constructor 1;
 240   [ apply or_f_star_;
 241   | intros; cases e; assumption]
 242 qed.
 243
 244 lemma arrows1_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → (P ⇒ Q).
 245 intros; apply (or_f ?? t);
 246 qed.
 247
 248 coercion arrows1_OF_ORelation_setoid.
 249
 250 lemma umorphism_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → unary_morphism1 P Q.
 251 intros; apply (or_f ?? t);
 252 qed.
 253
 254 coercion umorphism_OF_ORelation_setoid.
 255
 256 lemma umorphism_setoid_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q.
 257 intros; apply (or_f ?? t);
 258 qed.
 259
 260 coercion umorphism_setoid_OF_ORelation_setoid.
 261
 262 lemma uncurry_arrows : ∀B,C. ORelation_setoid B C → B → C.
 263 intros; apply ((fun11 ?? t) t1);
 264 qed.
 265
 266 coercion uncurry_arrows 1.
 267
 268 lemma hint6: ∀P,Q. Type_OF_setoid2 (hint5 P ⇒ hint5 Q) → unary_morphism1 P Q.
 269  intros; apply t;
 270 qed.
 271 coercion hint6.
 272
 273 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 274 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 275
 276 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 277 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 278
 279 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 280 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 281
 282 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 __ (or_f_minus_star _ _) r).
 283 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 __ (or_f_minus _ _) r).
 284 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 __ (or_f_star _ _) r).
 285
 286 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 287    (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
 288 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 289 qed.
 290
 291 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 292    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 293 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 294 qed.
 295
 296 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 297    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 298 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 299 qed.
 300
 301 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 302   binary_morphism2 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 303 intros;
 304 constructor 1;
 305 [ intros (F G);
 306   constructor 1;
 307   [ apply (G ∘ F);
 308   | apply rule (G⎻* ∘ F⎻* );
 309   | apply (F* ∘ G* );
 310   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 311   | intros;
 312     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 313     apply (.= (or_prop1 :?));
 314     apply (or_prop1 :?);
 315   | intros;
 316     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 317     apply (.= (or_prop2 :?));
 318     apply or_prop2 ;
 319   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 320     apply (.= (or_prop3 :?));
 321     apply or_prop3;
 322   ]
 323 | intros; split; simplify;
 324    [1,3: unfold umorphism_setoid_OF_ORelation_setoid; unfold arrows1_OF_ORelation_setoid; apply ((†e)‡(†e1));
 325    |2,4: apply ((†e1)‡(†e));]]
 326 qed.
 327
 328 definition OA : category2.
 329 split;
 330 [ apply (OAlgebra);
 331 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 332 | intro O; split;
 333   [1,2,3,4: apply id2;
 334   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 335 | apply ORelation_composition;
 336 | intros (P Q R S F G H); split;
 337    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 338      apply (comp_assoc2 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 339    | apply ((comp_assoc2 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 340    | apply ((comp_assoc2 ????? F G H)^-1);
 341    | apply ((comp_assoc2 ????? H* G* F* ));]
 342 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left2;
 343 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right2;]
 344 qed.
 345
 346 lemma setoid1_of_OA: OA → setoid1.
 347  intro; apply (oa_P t);
 348 qed.
 349 coercion setoid1_of_OA.
 350
 351 lemma SET1_of_OA: OA → SET1.
 352  intro; whd; apply (setoid1_of_OA t);
 353 qed.
 354 coercion SET1_of_OA.
 355
 356 lemma objs2_SET1_OF_OA: OA → objs2 SET1.
 357  intro; whd; apply (setoid1_of_OA t);
 358 qed.
 359 coercion objs2_SET1_OF_OA.
 360
 361 lemma Type_OF_category2_OF_SET1_OF_OA: OA → Type_OF_category2 SET1.
 362  intro; apply (oa_P t);
 363 qed.
 364 coercion Type_OF_category2_OF_SET1_OF_OA.