helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/categories.ma".
  16 include "logic/cprop_connectives.ma".
  17
  18 inductive bool : Type := true : bool | false : bool.
  19
  20 lemma BOOL : objs1 SET.
  21 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  22 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  23 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  24 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  25 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  26   try assumption; apply I]
  27 qed.
  28
  29 definition setoid_OF_SET: objs1 SET → setoid.
  30  intros; apply o; qed.
  31
  32 coercion setoid_OF_SET.
  33
  34 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  35   ∀S:setoid.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  36     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  37     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  38 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  39 intros; cases x in H; cases y; simplify; intros; try apply refl; whd in H; cases H;
  40 qed.
  41
  42 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  43   (mk_unary_morphism T _ P _).
  44
  45 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  46 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  47 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  48 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  49
  50 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  51   (mk_unary_morphism s _ f p).
  52
  53 record OAlgebra : Type := {
  54   oa_P :> SET;
  55   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP; (* CPROP is setoid1 *)
  56   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  57   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  58   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  59   oa_one: oa_P;
  60   oa_zero: oa_P;
  61   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  62   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  63   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  64   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  65   oa_meet_inf: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) → ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  66   oa_join_sup: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p → ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  67   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  68   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  69   oa_overlap_preservers_meet:
  70       ∀p,q.oa_overlap p q → oa_overlap p
  71        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  72   oa_join_split:
  73       ∀I:SET.∀p.∀q:arrows1 SET I oa_P.oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
  74   (*oa_base : setoid;
  75   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  76   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  77   *)
  78   oa_density:
  79       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  80 }.
  81
  82 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun1 ___ (oa_leq _) a b).
  83
  84 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  85 for @{ 'overlap $a $b}.
  86 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun1 ___ (oa_overlap _) a b).
  87
  88 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  89 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  90 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  91 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
  92 notation < "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
  93 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
  94
  95 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
  96 for @{ 'oa_meet $f }.
  97 notation > "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 50
  98 for @{ 'oa_meet (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
  99
 100 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 101   (fun_1 __ (oa_meet __) f).
 102 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 103   (fun_1 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 104
 105 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 106 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 107 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 108 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 109 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 110 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 111
 112 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 113 for @{ 'oa_join $f }.
 114 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 115 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 116
 117 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 118   (fun_1 __ (oa_join __) f).
 119 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 120   (fun_1 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 121
 122 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type ≝ {
 123   or_f_ : arrows1 SET P Q;
 124   or_f_minus_star_ : arrows1 SET P Q;
 125   or_f_star_ : arrows1 SET Q P;
 126   or_f_minus_ : arrows1 SET Q P;
 127   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 128   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 129   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 130 }.
 131
 132
 133 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid1.
 134 intros (P Q);
 135 constructor 1;
 136 [ apply (ORelation P Q);
 137 | constructor 1;
 138    [ apply (λp,q. And4 (eq1 ? (or_f_minus_star_ ?? p) (or_f_minus_star_ ?? q))
 139              (eq1 ? (or_f_minus_ ?? p) (or_f_minus_ ?? q))
 140              (eq1 ? (or_f_ ?? p) (or_f_ ?? q))
 141              (eq1 ? (or_f_star_ ?? p) (or_f_star_ ?? q)));
 142    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl1;
 143    | whd; simplify; intros; cases H; clear H; split;
 144      intro a; apply sym; generalize in match a;assumption;
 145    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; clear H H1; split; intro a;
 146      [ apply (.= (H2 a)); apply H6;
 147      | apply (.= (H3 a)); apply H7;
 148      | apply (.= (H4 a)); apply H8;
 149      | apply (.= (H5 a)); apply H9;]]]
 150 qed.
 151
 152 definition or_f_minus_star: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 153  intros; constructor 1;
 154   [ apply or_f_minus_star_;
 155   | intros; cases H; assumption]
 156 qed.
 157
 158 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 159  intros; constructor 1;
 160   [ apply or_f_;
 161   | intros; cases H; assumption]
 162 qed.
 163
 164 coercion or_f.
 165
 166 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 167  intros; constructor 1;
 168   [ apply or_f_minus_;
 169   | intros; cases H; assumption]
 170 qed.
 171
 172 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 173  intros; constructor 1;
 174   [ apply or_f_star_;
 175   | intros; cases H; assumption]
 176 qed.
 177
 178 lemma arrows1_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → arrows1 SET P Q.
 179 intros; apply (or_f ?? c);
 180 qed.
 181
 182 coercion arrows1_OF_ORelation_setoid nocomposites.
 183
 184 lemma umorphism_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → P ⇒ Q.
 185 intros; apply (or_f ?? c);
 186 qed.
 187
 188 coercion umorphism_OF_ORelation_setoid.
 189
 190
 191 lemma uncurry_arrows : ∀B,C. arrows1 SET B C → B → C.
 192 intros; apply ((fun_1 ?? c) t);
 193 qed.
 194
 195 coercion uncurry_arrows 1.
 196
 197 lemma hint3 : ∀P,Q. arrows1 SET P Q → P ⇒ Q. intros; apply c;qed.
 198 coercion hint3 nocomposites.
 199
 200 (*
 201 lemma hint2: OAlgebra → setoid. intros; apply (oa_P o). qed.
 202 coercion hint2 nocomposites.
 203 *)
 204
 205
 206 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 207 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 208
 209 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 210 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 211
 212 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 213 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 214
 215 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun_1 __ (or_f_minus_star _ _) r).
 216 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun_1 __ (or_f_minus _ _) r).
 217 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun_1 __ (or_f_star _ _) r).
 218
 219 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 220    (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
 221 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 222 qed.
 223
 224 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 225    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 226 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 227 qed.
 228
 229 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 230    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 231 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 232 qed.
 233
 234 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 235   binary_morphism1 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 236 intros;
 237 constructor 1;
 238 [ intros (F G);
 239   constructor 1;
 240   [ lapply (G ∘ F);
 241     apply (G ∘ F);
 242   | apply (G⎻* ∘ F⎻* );
 243   | apply (F* ∘ G* );
 244   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 245   | intros;
 246     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 247     apply (.= (or_prop1 :?));
 248     apply (or_prop1 :?);
 249   | intros;
 250     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 251     apply (.= (or_prop2 :?));
 252     apply or_prop2 ;
 253   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 254     apply (.= (or_prop3 :?));
 255     apply or_prop3;
 256   ]
 257 | intros; split; simplify;
 258    [1,3: unfold arrows1_OF_ORelation_setoid; apply ((†H)‡(†H1));
 259    |2,4: apply ((†H1)‡(†H));]]
 260 qed.
 261
 262 definition OA : category1.
 263 split;
 264 [ apply (OAlgebra);
 265 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 266 | intro O; split;
 267   [1,2,3,4: apply id1;
 268   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 269 | apply ORelation_composition;
 270 | intros (P Q R S F G H); split;
 271    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 272      apply (comp_assoc1 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 273    | apply ((comp_assoc1 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 274    | apply ((comp_assoc1 ????? F G H)^-1);
 275    | apply ((comp_assoc1 ????? H* G* F* ));]
 276 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left1;
 277 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right1;]
 278 qed.