helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/categories.ma".
  16 include "logic/cprop_connectives.ma".
  17
  18 inductive bool : Type := true : bool | false : bool.
  19
  20 lemma BOOL : objs1 SET.
  21 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  22 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  23 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  24 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  25 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros; try assumption; apply I]
  26 qed.
  27
  28 definition hint: objs1 SET → setoid.
  29  intros; apply o;
  30 qed.
  31
  32 coercion hint.
  33
  34 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  35   ∀S:setoid.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  36     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  37     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  38 intros; cases x in H; cases y; simplify; intros; try apply refl; whd in H; cases H;
  39 qed.
  40
  41
  42 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  43   (mk_unary_morphism T _ P _).
  44
  45 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  46 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  47 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  48 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  49
  50 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  51   (mk_unary_morphism s _ f p).
  52
  53
  54 record OAlgebra : Type := {
  55   oa_P :> SET;
  56   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP; (* CPROP is setoid1 *)
  57   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  58   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  59   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  60   oa_one: oa_P;
  61   oa_zero: oa_P;
  62   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  63   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  64   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  65   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  66   oa_meet_inf: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) → ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  67   oa_join_sup: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p → ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  68   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  69   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  70   oa_overlap_preservers_meet:
  71       ∀p,q.oa_overlap p q → oa_overlap p
  72        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  73      (*(oa_meet BOOL (if_then_else oa_P p q));*)
  74   oa_join_split: (* ha I → oa_P da castare a funX (ums A oa_P) *)
  75       ∀I:SET.∀p.∀q:arrows1 SET I oa_P.oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
  76   (*oa_base : setoid;
  77   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  78   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  79   *)
  80   oa_density:
  81       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  82 }.
  83
  84 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun1 ___ (oa_leq _) a b).
  85
  86 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  87 for @{ 'overlap $a $b}.
  88 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun1 ___ (oa_overlap _) a b).
  89
  90 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  91 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  92 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  93 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
  94 notation < "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
  95 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
  96
  97 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
  98 for @{ 'oa_meet $f }.
  99 notation > "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 50
 100 for @{ 'oa_meet (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 101
 102 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 103   (fun_1 __ (oa_meet __) f).
 104 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 105   (fun_1 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 106
 107 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 108 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 109 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 110 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 111 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 112 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 113
 114 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 115 for @{ 'oa_join $f }.
 116 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 117 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 118
 119 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 120   (fun_1 __ (oa_join __) f).
 121 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 122   (fun_1 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 123
 124 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type ≝ {
 125   or_f :> arrows1 SET P Q;
 126   or_f_minus_star : arrows1 SET P Q;
 127   or_f_star : arrows1 SET Q P;
 128   or_f_minus : arrows1 SET Q P;
 129   or_prop1 : ∀p,q. (or_f p ≤ q) = (p ≤ or_f_star q);
 130   or_prop2 : ∀p,q. (or_f_minus p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star q);
 131   or_prop3 : ∀p,q. (or_f p >< q) = (p >< or_f_minus q)
 132 }.
 133
 134 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 135 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 136 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (or_f_star _ _ r).
 137
 138 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 139 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 140 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (or_f_minus_star _ _ r).
 141
 142 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 143 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 144 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (or_f_minus _ _ r).
 145
 146 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid1.
 147 intros (P Q);
 148 constructor 1;
 149 [ apply (ORelation P Q);
 150 | constructor 1;
 151    [ apply (λp,q. And4 (eq1 ? p⎻* q⎻* ) (eq1 ? p⎻ q⎻) (eq1 ? p q) (eq1 ? p* q* ));
 152    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl1;
 153    | whd; simplify; intros; cases H; clear H; split;
 154      intro a; apply sym; generalize in match a;assumption;
 155    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; clear H H1; split; intro a;
 156      [ apply (.= (H2 a)); apply H6;
 157      | apply (.= (H3 a)); apply H7;
 158      | apply (.= (H4 a)); apply H8;
 159      | apply (.= (H5 a)); apply H9;]]]
 160 qed.
 161
 162 lemma hint1 : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → arrows1 SET P Q. intros; apply (or_f ?? c);qed.
 163 coercion hint1.
 164
 165 lemma hint3 : ∀P,Q. arrows1 SET P Q → P ⇒ Q. intros; apply c;qed.
 166 coercion hint3.
 167
 168 lemma hint2: OAlgebra → setoid. intros; apply (oa_P o). qed.
 169 coercion hint2.
 170
 171 definition or_f_minus_star2: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 172  intros; constructor 1;
 173   [ apply or_f_minus_star;
 174   | intros; cases H; assumption]
 175 qed.
 176
 177 definition or_f2: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 178  intros; constructor 1;
 179   [ apply or_f;
 180   | intros; cases H; assumption]
 181 qed.
 182
 183 definition or_f_minus2: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 184  intros; constructor 1;
 185   [ apply or_f_minus;
 186   | intros; cases H; assumption]
 187 qed.
 188
 189 definition or_f_star2: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 190  intros; constructor 1;
 191   [ apply or_f_star;
 192   | intros; cases H; assumption]
 193 qed.
 194
 195 interpretation "o-relation f⎻* 2" 'OR_f_minus_star r = (fun_1 __ (or_f_minus_star2 _ _) r).
 196 interpretation "o-relation f⎻ 2" 'OR_f_minus r = (fun_1 __ (or_f_minus2 _ _) r).
 197 interpretation "o-relation f* 2" 'OR_f_star r = (fun_1 __ (or_f_star2 _ _) r).
 198 coercion or_f2.
 199
 200 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 201   binary_morphism1 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 202 intros;
 203 constructor 1;
 204 [ intros (F G);
 205   constructor 1;
 206   [ apply (or_f2 ?? G ∘ or_f2 ?? F);
 207   | alias symbol "compose" = "category1 composition".
 208     apply (G⎻* ∘ F⎻* );
 209   | apply (F* ∘ G* );
 210   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 211   | intros;
 212     alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 213     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 214     apply (.= or_prop1 ??? (F p) ?);
 215     apply (.= or_prop1 ??? p ?);
 216     apply refl1
 217   | intros; alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 218     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 219     alias symbol "trans" = "trans1".
 220     apply (.= or_prop2 ?? F ??);
 221     apply (.= or_prop2 ?? G ??);
 222     apply refl1;
 223   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 224     apply (.= or_prop3 ??? (F p) ?);
 225     apply (.= or_prop3 ??? p ?);
 226     apply refl1
 227   ]
 228 | intros; split; simplify; [1,3: apply ((†H)‡(†H1)); | 2,4: apply ((†H1)‡(†H));]]
 229 qed.
 230
 231 definition OA : category1.
 232 split;
 233 [ apply (OAlgebra);
 234 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 235 | intro O; split;
 236   [1,2,3,4: apply id1;
 237   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 238 | apply ORelation_composition;
 239 | intros; split;
 240    [ apply (comp_assoc1 ????? (a12⎻* ) (a23⎻* ) (a34⎻* ));
 241    | alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 242      apply ((comp_assoc1 ????? (a34⎻) (a23⎻) (a12⎻)) \sup -1);
 243    | apply (comp_assoc1 ????? a12 a23 a34);
 244    | apply ((comp_assoc1 ????? (a34* ) (a23* ) (a12* )) \sup -1);]
 245 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left1;
 246 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right1;]
 247 qed.