helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/categories.ma".
  16 include "logic/cprop_connectives.ma".
  17
  18 inductive bool : Type := true : bool | false : bool.
  19
  20 lemma BOOL : objs1 SET.
  21 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  22 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  23 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  24 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  25 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  26   try assumption; apply I]
  27 qed.
  28
  29 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  30   ∀S:setoid.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  31     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  32     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  33 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  34 intros; cases x in H; cases y; simplify; intros; try apply refl; whd in H; cases H;
  35 qed.
  36
  37 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  38   (mk_unary_morphism T _ P _).
  39
  40 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  41 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  42 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  43 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  44
  45 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  46   (mk_unary_morphism s _ f p).
  47
  48 (* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
  49    lattices, Definizione 0.9 *)
  50 (* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
  51 (* Far salire SET usando setoidi1 *)
  52 record OAlgebra : Type := {
  53   oa_P :> SET;
  54   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP; (* CPROP is setoid1, CPROP importante che sia small *)
  55   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  56   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  57   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  58   oa_one: oa_P;
  59   oa_zero: oa_P;
  60   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  61   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  62   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  63   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  64   (* Errore: = in oa_meet_inf e oa_join_sup *)
  65   oa_meet_inf: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) → ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  66   oa_join_sup: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p → ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  67   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  68   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  69   (* preservers!! (typo) *)
  70   oa_overlap_preservers_meet_:
  71       ∀p,q.oa_overlap p q → oa_overlap p
  72        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  73   (* ⇔ deve essere =, l'esiste debole *)
  74   oa_join_split:
  75       ∀I:SET.∀p.∀q:arrows1 SET I oa_P.oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
  76   (*oa_base : setoid;
  77   1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
  78   2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
  79   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  80   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  81   *)
  82   oa_density:
  83       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  84 }.
  85
  86 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun1 ___ (oa_leq _) a b).
  87
  88 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  89 for @{ 'overlap $a $b}.
  90 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun1 ___ (oa_overlap _) a b).
  91
  92 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  93 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  94 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  95 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
  96
  97 (*
  98 notation < "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
  99 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 100 *)
 101 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
 102 for @{ 'oa_meet $f }.
 103 (*
 104 notation > "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 50
 105 for @{ 'oa_meet (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 106 *)
 107 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 108   (fun_1 __ (oa_meet __) f).
 109 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 110   (fun_1 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 111
 112 definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 113 intros; split;
 114 [ intros (p q);
 115   apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 116 | intros; apply (prop_1 ?? (oa_meet O BOOL)); intro x; simplify;
 117   cases x; simplify; assumption;]
 118 qed.
 119
 120 notation "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
 121 for @{ 'oa_meet_bin $a $b }.
 122 interpretation "o-algebra binary meet" 'oa_meet_bin a b =
 123   (fun1 ___ (binary_meet _) a b).
 124
 125 lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
 126 intros;  lapply (oa_overlap_preservers_meet_ O p q f);
 127 lapply (prop1 O O CPROP (oa_overlap O) p p ? (p ∧ q) # ?);
 128 [3: apply (if ?? (Hletin1)); apply Hletin;|skip] apply refl1;
 129 qed.
 130
 131 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 132 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 133 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 134 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 135 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 136 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 137
 138 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 139 for @{ 'oa_join $f }.
 140 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 141 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 142
 143 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 144   (fun_1 __ (oa_join __) f).
 145 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 146   (fun_1 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 147
 148 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type ≝ {
 149   or_f_ : arrows1 SET P Q;
 150   or_f_minus_star_ : arrows1 SET P Q;
 151   or_f_star_ : arrows1 SET Q P;
 152   or_f_minus_ : arrows1 SET Q P;
 153   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 154   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 155   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 156 }.
 157
 158
 159 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid1.
 160 intros (P Q);
 161 constructor 1;
 162 [ apply (ORelation P Q);
 163 | constructor 1;
 164    (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
 165       le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
 166    [ apply (λp,q. And4 (eq1 ? (or_f_minus_star_ ?? p) (or_f_minus_star_ ?? q))
 167              (eq1 ? (or_f_minus_ ?? p) (or_f_minus_ ?? q))
 168              (eq1 ? (or_f_ ?? p) (or_f_ ?? q))
 169              (eq1 ? (or_f_star_ ?? p) (or_f_star_ ?? q)));
 170    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl1;
 171    | whd; simplify; intros; cases H; clear H; split;
 172      intro a; apply sym; generalize in match a;assumption;
 173    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; clear H H1; split; intro a;
 174      [ apply (.= (H2 a)); apply H6;
 175      | apply (.= (H3 a)); apply H7;
 176      | apply (.= (H4 a)); apply H8;
 177      | apply (.= (H5 a)); apply H9;]]]
 178 qed.
 179
 180 definition or_f_minus_star: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 181  intros; constructor 1;
 182   [ apply or_f_minus_star_;
 183   | intros; cases H; assumption]
 184 qed.
 185
 186 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 187  intros; constructor 1;
 188   [ apply or_f_;
 189   | intros; cases H; assumption]
 190 qed.
 191
 192 coercion or_f.
 193
 194 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 195  intros; constructor 1;
 196   [ apply or_f_minus_;
 197   | intros; cases H; assumption]
 198 qed.
 199
 200 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 201  intros; constructor 1;
 202   [ apply or_f_star_;
 203   | intros; cases H; assumption]
 204 qed.
 205
 206 lemma arrows1_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → arrows1 SET P Q.
 207 intros; apply (or_f ?? c);
 208 qed.
 209
 210 coercion arrows1_OF_ORelation_setoid nocomposites.
 211
 212 lemma umorphism_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → P ⇒ Q.
 213 intros; apply (or_f ?? c);
 214 qed.
 215
 216 coercion umorphism_OF_ORelation_setoid.
 217
 218
 219 lemma uncurry_arrows : ∀B,C. arrows1 SET B C → B → C.
 220 intros; apply ((fun_1 ?? c) t);
 221 qed.
 222
 223 coercion uncurry_arrows 1.
 224
 225 lemma hint3 : ∀P,Q. arrows1 SET P Q → P ⇒ Q. intros; apply c;qed.
 226 coercion hint3 nocomposites.
 227
 228 (*
 229 lemma hint2: OAlgebra → setoid. intros; apply (oa_P o). qed.
 230 coercion hint2 nocomposites.
 231 *)
 232
 233
 234 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 235 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 236
 237 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 238 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 239
 240 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 241 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 242
 243 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun_1 __ (or_f_minus_star _ _) r).
 244 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun_1 __ (or_f_minus _ _) r).
 245 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun_1 __ (or_f_star _ _) r).
 246
 247 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 248    (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
 249 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 250 qed.
 251
 252 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 253    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 254 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 255 qed.
 256
 257 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 258    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 259 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 260 qed.
 261
 262 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 263   binary_morphism1 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 264 intros;
 265 constructor 1;
 266 [ intros (F G);
 267   constructor 1;
 268   [ apply (G ∘ F);
 269   | apply (G⎻* ∘ F⎻* );
 270   | apply (F* ∘ G* );
 271   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 272   | intros;
 273     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 274     apply (.= (or_prop1 :?));
 275     apply (or_prop1 :?);
 276   | intros;
 277     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 278     apply (.= (or_prop2 :?));
 279     apply or_prop2 ;
 280   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 281     apply (.= (or_prop3 :?));
 282     apply or_prop3;
 283   ]
 284 | intros; split; simplify;
 285    [1,3: unfold arrows1_OF_ORelation_setoid; apply ((†H)‡(†H1));
 286    |2,4: apply ((†H1)‡(†H));]]
 287 qed.
 288
 289 definition OA : category1.
 290 split;
 291 [ apply (OAlgebra);
 292 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 293 | intro O; split;
 294   [1,2,3,4: apply id1;
 295   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 296 | apply ORelation_composition;
 297 | intros (P Q R S F G H); split;
 298    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 299      apply (comp_assoc1 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 300    | apply ((comp_assoc1 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 301    | apply ((comp_assoc1 ????? F G H)^-1);
 302    | apply ((comp_assoc1 ????? H* G* F* ));]
 303 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left1;
 304 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right1;]
 305 qed.