helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/categories.ma".
  16 include "logic/cprop_connectives.ma".
  17
  18 inductive bool : Type := true : bool | false : bool.
  19
  20 lemma BOOL : objs1 SET.
  21 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  22 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  23 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  24 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  25 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  26   try assumption; apply I]
  27 qed.
  28
  29 definition setoid_OF_SET: objs1 SET → setoid.
  30  intros; apply o; qed.
  31
  32 coercion setoid_OF_SET.
  33
  34 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  35   ∀S:setoid.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  36     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  37     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  38 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  39 intros; cases x in H; cases y; simplify; intros; try apply refl; whd in H; cases H;
  40 qed.
  41
  42 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  43   (mk_unary_morphism T _ P _).
  44
  45 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  46 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  47 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  48 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  49
  50 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  51   (mk_unary_morphism s _ f p).
  52
  53 record OAlgebra : Type := {
  54   oa_P :> SET;
  55   oa_leq : binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP; (* CPROP is setoid1 *)
  56   oa_overlap: binary_morphism1 oa_P oa_P CPROP;
  57   oa_meet: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  58   oa_join: ∀I:SET.unary_morphism (arrows1 SET I oa_P) oa_P;
  59   oa_one: oa_P;
  60   oa_zero: oa_P;
  61   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. oa_leq a a;
  62   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b a → a = b;
  63   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.oa_leq a b → oa_leq b c → oa_leq a c;
  64   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.oa_overlap a b → oa_overlap b a;
  65   oa_meet_inf: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq p (oa_meet I p_i) → ∀i:I.oa_leq p (p_i i);
  66   oa_join_sup: ∀I.∀p_i.∀p:oa_P.oa_leq (oa_join I p_i) p → ∀i:I.oa_leq (p_i i) p;
  67   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.oa_leq oa_zero p;
  68   oa_one_top: ∀p:oa_P.oa_leq p oa_one;
  69   oa_overlap_preservers_meet_:
  70       ∀p,q.oa_overlap p q → oa_overlap p
  71        (oa_meet ? { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  72   oa_join_split:
  73       ∀I:SET.∀p.∀q:arrows1 SET I oa_P.oa_overlap p (oa_join I q) ⇔ ∃i:I.oa_overlap p (q i);
  74   (*oa_base : setoid;
  75   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  76   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  77   *)
  78   oa_density:
  79       ∀p,q.(∀r.oa_overlap p r → oa_overlap q r) → oa_leq p q
  80 }.
  81
  82 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun1 ___ (oa_leq _) a b).
  83
  84 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
  85 for @{ 'overlap $a $b}.
  86 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun1 ___ (oa_overlap _) a b).
  87
  88 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
  89 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
  90 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
  91 non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
  92
  93 (*
  94 notation < "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
  95 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
  96 *)
  97 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
  98 for @{ 'oa_meet $f }.
  99 (*
 100 notation > "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 50
 101 for @{ 'oa_meet (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 102 *)
 103 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 104   (fun_1 __ (oa_meet __) f).
 105 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 106   (fun_1 __ (oa_meet __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 107
 108 definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. binary_morphism1 O O O.
 109 intros; split;
 110 [ intros (p q);
 111   apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 112 | intros; apply (prop_1 ?? (oa_meet O BOOL)); intro x; simplify;
 113   cases x; simplify; assumption;]
 114 qed.
 115
 116 notation "hovbox(a ∧ b)" left associative with precedence 35
 117 for @{ 'oa_meet_bin $a $b }.
 118 interpretation "o-algebra binary meet" 'oa_meet_bin a b =
 119   (fun1 ___ (binary_meet _) a b).
 120
 121 lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
 122 intros;  lapply (oa_overlap_preservers_meet_ O p q f);
 123 lapply (prop1 O O CPROP (oa_overlap O) p p ? (p ∧ q) # ?);
 124 [3: apply (if ?? (Hletin1)); apply Hletin;|skip] apply refl1;
 125 qed.
 126
 127 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 128 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 129 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 130 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 131 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 132 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 133
 134 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
 135 for @{ 'oa_join $f }.
 136 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 137 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 138
 139 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 140   (fun_1 __ (oa_join __) f).
 141 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 142   (fun_1 __ (oa_join __) (mk_unary_morphism _ _ f _)).
 143
 144 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type ≝ {
 145   or_f_ : arrows1 SET P Q;
 146   or_f_minus_star_ : arrows1 SET P Q;
 147   or_f_star_ : arrows1 SET Q P;
 148   or_f_minus_ : arrows1 SET Q P;
 149   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 150   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 151   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 152 }.
 153
 154
 155 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid1.
 156 intros (P Q);
 157 constructor 1;
 158 [ apply (ORelation P Q);
 159 | constructor 1;
 160    [ apply (λp,q. And4 (eq1 ? (or_f_minus_star_ ?? p) (or_f_minus_star_ ?? q))
 161              (eq1 ? (or_f_minus_ ?? p) (or_f_minus_ ?? q))
 162              (eq1 ? (or_f_ ?? p) (or_f_ ?? q))
 163              (eq1 ? (or_f_star_ ?? p) (or_f_star_ ?? q)));
 164    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl1;
 165    | whd; simplify; intros; cases H; clear H; split;
 166      intro a; apply sym; generalize in match a;assumption;
 167    | whd; simplify; intros; cases H; cases H1; clear H H1; split; intro a;
 168      [ apply (.= (H2 a)); apply H6;
 169      | apply (.= (H3 a)); apply H7;
 170      | apply (.= (H4 a)); apply H8;
 171      | apply (.= (H5 a)); apply H9;]]]
 172 qed.
 173
 174 definition or_f_minus_star: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 175  intros; constructor 1;
 176   [ apply or_f_minus_star_;
 177   | intros; cases H; assumption]
 178 qed.
 179
 180 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET P Q.
 181  intros; constructor 1;
 182   [ apply or_f_;
 183   | intros; cases H; assumption]
 184 qed.
 185
 186 coercion or_f.
 187
 188 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 189  intros; constructor 1;
 190   [ apply or_f_minus_;
 191   | intros; cases H; assumption]
 192 qed.
 193
 194 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.ORelation_setoid P Q ⇒ arrows1 SET Q P.
 195  intros; constructor 1;
 196   [ apply or_f_star_;
 197   | intros; cases H; assumption]
 198 qed.
 199
 200 lemma arrows1_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → arrows1 SET P Q.
 201 intros; apply (or_f ?? c);
 202 qed.
 203
 204 coercion arrows1_OF_ORelation_setoid nocomposites.
 205
 206 lemma umorphism_OF_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → P ⇒ Q.
 207 intros; apply (or_f ?? c);
 208 qed.
 209
 210 coercion umorphism_OF_ORelation_setoid.
 211
 212
 213 lemma uncurry_arrows : ∀B,C. arrows1 SET B C → B → C.
 214 intros; apply ((fun_1 ?? c) t);
 215 qed.
 216
 217 coercion uncurry_arrows 1.
 218
 219 lemma hint3 : ∀P,Q. arrows1 SET P Q → P ⇒ Q. intros; apply c;qed.
 220 coercion hint3 nocomposites.
 221
 222 (*
 223 lemma hint2: OAlgebra → setoid. intros; apply (oa_P o). qed.
 224 coercion hint2 nocomposites.
 225 *)
 226
 227
 228 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 229 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 230
 231 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 232 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 233
 234 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 235 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 236
 237 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun_1 __ (or_f_minus_star _ _) r).
 238 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun_1 __ (or_f_minus _ _) r).
 239 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun_1 __ (or_f_star _ _) r).
 240
 241 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 242    (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
 243 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 244 qed.
 245
 246 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 247    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 248 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 249 qed.
 250
 251 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 252    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 253 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 254 qed.
 255
 256 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 257   binary_morphism1 (ORelation_setoid P Q) (ORelation_setoid Q R) (ORelation_setoid P R).
 258 intros;
 259 constructor 1;
 260 [ intros (F G);
 261   constructor 1;
 262   [ lapply (G ∘ F);
 263     apply (G ∘ F);
 264   | apply (G⎻* ∘ F⎻* );
 265   | apply (F* ∘ G* );
 266   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 267   | intros;
 268     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 269     apply (.= (or_prop1 :?));
 270     apply (or_prop1 :?);
 271   | intros;
 272     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 273     apply (.= (or_prop2 :?));
 274     apply or_prop2 ;
 275   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 276     apply (.= (or_prop3 :?));
 277     apply or_prop3;
 278   ]
 279 | intros; split; simplify;
 280    [1,3: unfold arrows1_OF_ORelation_setoid; apply ((†H)‡(†H1));
 281    |2,4: apply ((†H1)‡(†H));]]
 282 qed.
 283
 284 definition OA : category1.
 285 split;
 286 [ apply (OAlgebra);
 287 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 288 | intro O; split;
 289   [1,2,3,4: apply id1;
 290   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 291 | apply ORelation_composition;
 292 | intros (P Q R S F G H); split;
 293    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 294      apply (comp_assoc1 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 295    | apply ((comp_assoc1 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 296    | apply ((comp_assoc1 ????? F G H)^-1);
 297    | apply ((comp_assoc1 ????? H* G* F* ));]
 298 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left1;
 299 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right1;]
 300 qed.