helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16
  17 record basic_pair: Type2 ≝
  18  { concr: OA;
  19    form: OA;
  20    rel: arrows2 ? concr form
  21  }.
  22
  23 interpretation "basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (rel c x y).
  24 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (rel c).
  25
  26 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  27 alias symbol "compose" = "category1 composition".
  28 (*DIFFER*)
  29
  30 alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
  31 alias symbol "compose" = "category2 composition".
  32 record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type2 ≝
  33  { concr_rel: arrows2 ? (concr BP1) (concr BP2);
  34    form_rel: arrows2 ? (form BP1) (form BP2);
  35    commute: ⊩ ∘ concr_rel = form_rel ∘ ⊩
  36  }.
  37
  38 notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
  39 notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
  40
  41 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel __ r).
  42 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel __ r).
  43
  44 definition relation_pair_equality:
  45  ∀o1,o2. equivalence_relation2 (relation_pair o1 o2).
  46  intros;
  47  constructor 1;
  48   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  49   | simplify;
  50     intros;
  51     apply refl2;
  52   | simplify;
  53     intros 2;
  54     apply sym2;
  55   | simplify;
  56     intros 3;
  57     apply trans2;
  58   ]
  59 qed.
  60
  61 (* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
  62 definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid2.
  63  intros;
  64  constructor 1;
  65   [ apply (relation_pair b b1)
  66   | apply relation_pair_equality
  67   ]
  68 qed.
  69
  70 definition relation_pair_of_relation_pair_setoid:
  71   ∀P,Q. relation_pair_setoid P Q → relation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  72 coercion relation_pair_of_relation_pair_setoid.
  73
  74 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': relation_pair_setoid o1 o2. r=r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
  75  intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
  76  apply (.= ((commute ?? r) \sup -1));
  77  apply (.= H);
  78  apply (.= (commute ?? r'));
  79  apply refl2;
  80 qed.
  81
  82
  83 definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
  84  intro;
  85  constructor 1;
  86   [1,2: apply id2;
  87   | lapply (id_neutral_right2 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
  88     lapply (id_neutral_left2 ?? (form o) (⊩)) as H1;
  89     apply (.= H);
  90     apply (H1 \sup -1);]
  91 qed.
  92
  93 definition relation_pair_composition:
  94  ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
  95  intros;
  96  constructor 1;
  97   [ intros (r r1);
  98     constructor 1;
  99      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
 100      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
 101      | lapply (commute ?? r) as H;
 102        lapply (commute ?? r1) as H1;
 103        apply rule (.= ASSOC);
 104        apply (.= #‡H1);
 105        apply rule (.= ASSOC ^ -1);
 106        apply (.= H‡#);
 107        apply rule ASSOC]
 108   | intros;
 109     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 110     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 111     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 112     apply rule (.= ASSOC);
 113     apply (.= #‡e1);
 114     apply (.= #‡(commute ?? b'));
 115     apply rule (.= ASSOC \sup -1);
 116     apply (.= e‡#);
 117     apply rule (.= ASSOC);
 118     apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
 119     apply rule (ASSOC \sup -1)]
 120 qed.
 121
 122 definition BP: category2.
 123  constructor 1;
 124   [ apply basic_pair
 125   | apply relation_pair_setoid
 126   | apply id_relation_pair
 127   | apply relation_pair_composition
 128   | intros;
 129     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 130                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 131     apply rule (ASSOC‡#);
 132   | intros;
 133     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 134     apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
 135   | intros;
 136     change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 137     apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);]
 138 qed.
 139
 140 definition basic_pair_of_objs2_BP: objs2 BP → basic_pair ≝ λx.x.
 141 coercion basic_pair_of_objs2_BP.
 142
 143 definition relation_pair_setoid_of_arrows2_BP:
 144   ∀P,Q.arrows2 BP P Q → relation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 145 coercion relation_pair_setoid_of_arrows2_BP.
 146
 147 (*
 148 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 149  intros; constructor 1;
 150   [ apply (ext ? ? (rel o));
 151   | intros;
 152     apply (.= #‡H);
 153     apply refl1]
 154 qed.
 155
 156 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 157  λo.extS ?? (rel o).
 158 *)
 159
 160 (*
 161 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 162  intros (o); constructor 1;
 163   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 164     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 165   | intros; split; simplify; intros;
 166      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 167      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 168 qed.
 169
 170 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
 171
 172 definition fintersectsS:
 173  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 174  intros (o); constructor 1;
 175   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 176     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 177   | intros; split; simplify; intros;
 178      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 179      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 180 qed.
 181
 182 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
 183 *)
 184
 185 (*
 186 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 187  intros (o); constructor 1;
 188   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 189   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 190      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 191      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 192 qed.
 193
 194 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
 195 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).
 196 *)
 197
 198 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 199 notation > "□_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 200 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 _ _ (or_f_minus_star _ _) (rel x)).
 201
 202 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 203 notation > "◊_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 204 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 _ _ (or_f _ _) (rel x)).
 205
 206 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 207 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 208 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 _ _ (or_f_star _ _) (rel x)).
 209
 210 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 211 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 212 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 _ _ (or_f_minus _ _) (rel x)).