helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16 include "notation.ma".
  17
  18 record Obasic_pair: Type2 ≝
  19  { Oconcr: OA;
  20    Oform: OA;
  21    Orel: arrows2 ? Oconcr Oform
  22  }.
  23
  24 interpretation "basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (Orel c x y).
  25 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (Orel c).
  26
  27 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  28 alias symbol "compose" = "category1 composition".
  29 (*DIFFER*)
  30
  31 alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
  32 alias symbol "compose" = "category2 composition".
  33 record Orelation_pair (BP1,BP2: Obasic_pair): Type2 ≝
  34  { Oconcr_rel: arrows2 ? (Oconcr BP1) (Oconcr BP2);
  35    Oform_rel: arrows2 ? (Oform BP1) (Oform BP2);
  36    Ocommute: ⊩ ∘ Oconcr_rel = Oform_rel ∘ ⊩
  37  }.
  38
  39 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (Oconcr_rel __ r).
  40 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (Oform_rel __ r).
  41
  42 definition Orelation_pair_equality:
  43  ∀o1,o2. equivalence_relation2 (Orelation_pair o1 o2).
  44  intros;
  45  constructor 1;
  46   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  47   | simplify;
  48     intros;
  49     apply refl2;
  50   | simplify;
  51     intros 2;
  52     apply sym2;
  53   | simplify;
  54     intros 3;
  55     apply trans2;
  56   ]
  57 qed.
  58
  59 (* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
  60 definition Orelation_pair_setoid: Obasic_pair → Obasic_pair → setoid2.
  61  intros;
  62  constructor 1;
  63   [ apply (Orelation_pair o o1)
  64   | apply Orelation_pair_equality
  65   ]
  66 qed.
  67
  68 definition Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid:
  69   ∀P,Q. Orelation_pair_setoid P Q → Orelation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  70 coercion Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid.
  71
  72 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': Orelation_pair_setoid o1 o2. r=r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
  73  intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
  74  apply (.= ((Ocommute ?? r) ^ -1));
  75  apply (.= H);
  76  apply (.= (Ocommute ?? r'));
  77  apply refl2;
  78 qed.
  79
  80
  81 definition Oid_relation_pair: ∀o:Obasic_pair. Orelation_pair o o.
  82  intro;
  83  constructor 1;
  84   [1,2: apply id2;
  85   | lapply (id_neutral_right2 ? (Oconcr o) ? (⊩)) as H;
  86     lapply (id_neutral_left2 ?? (Oform o) (⊩)) as H1;
  87     apply (.= H);
  88     apply (H1 \sup -1);]
  89 qed.
  90
  91 definition Orelation_pair_composition:
  92  ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (Orelation_pair_setoid o1 o2) (Orelation_pair_setoid o2 o3) (Orelation_pair_setoid o1 o3).
  93  intros;
  94  constructor 1;
  95   [ intros (r r1);
  96     constructor 1;
  97      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  98      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  99      | lapply (Ocommute ?? r) as H;
 100        lapply (Ocommute ?? r1) as H1;
 101        apply rule (.= ASSOC);
 102        apply (.= #‡H1);
 103        apply rule (.= ASSOC ^ -1);
 104        apply (.= H‡#);
 105        apply rule ASSOC]
 106   | intros;
 107     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 108     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 109     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 110     apply rule (.= ASSOC);
 111     apply (.= #‡e1);
 112     apply (.= #‡(Ocommute ?? b'));
 113     apply rule (.= ASSOC \sup -1);
 114     apply (.= e‡#);
 115     apply rule (.= ASSOC);
 116     apply (.= #‡(Ocommute ?? b')\sup -1);
 117     apply rule (ASSOC \sup -1)]
 118 qed.
 119
 120 definition OBP: category2.
 121  constructor 1;
 122   [ apply Obasic_pair
 123   | apply Orelation_pair_setoid
 124   | apply Oid_relation_pair
 125   | apply Orelation_pair_composition
 126   | intros;
 127     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 128                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 129     apply rule (ASSOC‡#);
 130   | intros;
 131     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (Oid_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 132     apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
 133   | intros;
 134     change with (⊩ ∘ ((Oid_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 135     apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);]
 136 qed.
 137
 138 definition Obasic_pair_of_objs2_OBP: objs2 OBP → Obasic_pair ≝ λx.x.
 139 coercion Obasic_pair_of_objs2_OBP.
 140
 141 definition Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP:
 142   ∀P,Q.arrows2 OBP P Q → Orelation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 143 coercion Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP.
 144
 145 (*
 146 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 147  intros; constructor 1;
 148   [ apply (ext ? ? (rel o));
 149   | intros;
 150     apply (.= #‡H);
 151     apply refl1]
 152 qed.
 153
 154 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 155  λo.extS ?? (rel o).
 156 *)
 157
 158 (*
 159 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 160  intros (o); constructor 1;
 161   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 162     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 163   | intros; split; simplify; intros;
 164      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 165      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 166 qed.
 167
 168 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
 169
 170 definition fintersectsS:
 171  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 172  intros (o); constructor 1;
 173   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 174     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 175   | intros; split; simplify; intros;
 176      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 177      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 178 qed.
 179
 180 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
 181 *)
 182
 183 (*
 184 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 185  intros (o); constructor 1;
 186   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 187   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 188      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 189      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 190 qed.
 191
 192 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
 193 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).
 194 *)
 195
 196 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 197 notation > "□_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 198 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 _ _ (or_f_minus_star _ _) (Orel x)).
 199
 200 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 201 notation > "◊_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 202 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 _ _ (or_f _ _) (Orel x)).
 203
 204 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 205 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 206 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 _ _ (or_f_star _ _) (Orel x)).
 207
 208 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 209 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 210 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 _ _ (or_f_minus _ _) (Orel x)).