helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16 include "notation.ma".
  17
  18 record Obasic_pair: Type2 ≝ {
  19    Oconcr: OA; Oform: OA; Orel: arrows2 ? Oconcr Oform
  20 }.
  21
  22 (* FIX *)
  23 interpretation "o-basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (Orel c x y).
  24 interpretation "o-basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (Orel c).
  25
  26 notation > "B ⇒_\o2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
  27 notation "B ⇒\sub (\o 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
  28 interpretation "'arrows2_OA" 'arrows2_OA A B = (arrows2 OA A B).
  29
  30 record Orelation_pair (BP1,BP2: Obasic_pair): Type2 ≝ {
  31    Oconcr_rel: (Oconcr BP1) ⇒_\o2 (Oconcr BP2); Oform_rel: (Oform BP1) ⇒_\o2 (Oform BP2);
  32    Ocommute: ⊩ ∘ Oconcr_rel =_2 Oform_rel ∘ ⊩
  33 }.
  34
  35 (* FIX *)
  36 interpretation "o-concrete relation" 'concr_rel r = (Oconcr_rel ?? r).
  37 interpretation "o-formal relation" 'form_rel r = (Oform_rel ?? r).
  38
  39 definition Orelation_pair_equality:
  40  ∀o1,o2. equivalence_relation2 (Orelation_pair o1 o2).
  41  intros;
  42  constructor 1;
  43   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  44   | simplify;
  45     intros;
  46     apply refl2;
  47   | simplify;
  48     intros 2;
  49     apply sym2;
  50   | simplify;
  51     intros 3;
  52     apply trans2;
  53   ]
  54 qed.
  55
  56 (* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
  57 definition Orelation_pair_setoid: Obasic_pair → Obasic_pair → setoid2.
  58  intros;
  59  constructor 1;
  60   [ apply (Orelation_pair o o1)
  61   | apply Orelation_pair_equality
  62   ]
  63 qed.
  64
  65 definition Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid:
  66   ∀P,Q. Orelation_pair_setoid P Q → Orelation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  67 coercion Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid.
  68
  69 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': Orelation_pair_setoid o1 o2. r =_2 r' → r \sub\f ∘ ⊩ =_2 r'\sub\f ∘ ⊩.
  70  intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
  71  apply (.= ((Ocommute ?? r) ^ -1));
  72  apply (.= H);
  73  apply (.= (Ocommute ?? r'));
  74  apply refl2;
  75 qed.
  76
  77
  78 definition Oid_relation_pair: ∀o:Obasic_pair. Orelation_pair o o.
  79  intro;
  80  constructor 1;
  81   [1,2: apply id2;
  82   | lapply (id_neutral_right2 ? (Oconcr o) ? (⊩)) as H;
  83     lapply (id_neutral_left2 ?? (Oform o) (⊩)) as H1;
  84     apply (.= H);
  85     apply (H1^-1);]
  86 qed.
  87
  88 lemma Orelation_pair_composition:
  89  ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
  90  Orelation_pair_setoid o1 o2 → Orelation_pair_setoid o2 o3→Orelation_pair_setoid o1 o3.
  91 intros 3 (o1 o2 o3);
  92    intros (r r1);
  93     constructor 1;
  94      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  95      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  96      | lapply (Ocommute ?? r) as H;
  97        lapply (Ocommute ?? r1) as H1;
  98        apply rule (.= ASSOC);
  99        apply (.= #‡H1);
 100        apply rule (.= ASSOC ^ -1);
 101        apply (.= H‡#);
 102        apply rule ASSOC]
 103 qed.
 104
 105
 106 lemma Orelation_pair_composition_is_morphism:
 107   ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
 108   Πa,a':Orelation_pair_setoid o1 o2.Πb,b':Orelation_pair_setoid o2 o3.
 109    a=a' →b=b' →
 110       Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a b
 111       = Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
 112 intros;
 113     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 114     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 115     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 116     apply rule (.= ASSOC);
 117     apply (.= #‡e1);
 118     apply (.= #‡(Ocommute ?? b'));
 119     apply rule (.= ASSOC^-1);
 120     apply (.= e‡#);
 121     apply rule (.= ASSOC);
 122     apply (.= #‡(Ocommute ?? b')^-1);
 123     apply rule (ASSOC^-1);
 124 qed.
 125
 126 definition Orelation_pair_composition_morphism:
 127  ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (Orelation_pair_setoid o1 o2) (Orelation_pair_setoid o2 o3) (Orelation_pair_setoid o1 o3).
 128 intros; constructor 1;
 129 [ apply Orelation_pair_composition;
 130 | apply Orelation_pair_composition_is_morphism;]
 131 qed.
 132
 133 lemma Orelation_pair_composition_morphism_assoc:
 134 ∀o1,o2,o3,o4:Obasic_pair
 135    .Πa12:Orelation_pair_setoid o1 o2
 136     .Πa23:Orelation_pair_setoid o2 o3
 137      .Πa34:Orelation_pair_setoid o3 o4
 138       .Orelation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
 139        (Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
 140        =Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
 141         (Orelation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
 142    intros;
 143     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 144                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 145     apply rule (ASSOC‡#);
 146 qed.
 147
 148 lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id:
 149 Πo1:Obasic_pair
 150 .Πo2:Obasic_pair
 151  .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
 152   .Orelation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (Oid_relation_pair o1) a=a.
 153    intros;
 154     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (Oid_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 155     apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
 156 qed.
 157
 158 lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
 159 Πo1:Obasic_pair
 160 .Πo2:Obasic_pair
 161  .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
 162   .Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (Oid_relation_pair o2)=a.
 163 intros;
 164     change with (⊩ ∘ ((Oid_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 165     apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);
 166 qed.
 167
 168 definition OBP: category2.
 169  constructor 1;
 170   [ apply Obasic_pair
 171   | apply Orelation_pair_setoid
 172   | apply Oid_relation_pair
 173   | apply Orelation_pair_composition_morphism
 174   | apply Orelation_pair_composition_morphism_assoc;
 175   | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id;
 176   | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
 177 qed.
 178
 179 definition Obasic_pair_of_objs2_OBP: objs2 OBP → Obasic_pair ≝ λx.x.
 180 coercion Obasic_pair_of_objs2_OBP.
 181
 182 definition Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP:
 183   ∀P,Q.arrows2 OBP P Q → Orelation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 184 coercion Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP.
 185
 186 (*
 187 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 188  intros; constructor 1;
 189   [ apply (ext ? ? (rel o));
 190   | intros;
 191     apply (.= #‡H);
 192     apply refl1]
 193 qed.
 194
 195 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 196  λo.extS ?? (rel o).
 197 *)
 198
 199 (*
 200 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 201  intros (o); constructor 1;
 202   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 203     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 204   | intros; split; simplify; intros;
 205      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 206      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 207 qed.
 208
 209 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersects ?) U V).
 210
 211 definition fintersectsS:
 212  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 213  intros (o); constructor 1;
 214   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 215     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 216   | intros; split; simplify; intros;
 217      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 218      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 219 qed.
 220
 221 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersectsS ?) U V).
 222 *)
 223
 224 (*
 225 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 226  intros (o); constructor 1;
 227   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 228   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 229      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 230      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 231 qed.
 232
 233 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr ?) ?? (relS ?) x y).
 234 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ??? (relS ?)).
 235 *)
 236
 237 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 238 notation > "□⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 239 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 ? ? (or_f_minus_star ? ?) (Orel x)).
 240
 241 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 242 notation > "◊⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 243 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 ? ? (or_f ? ?) (Orel x)).
 244
 245 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 246 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 247 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 ? ? (or_f_star ? ?) (Orel x)).
 248
 249 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 250 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 251 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 ? ? (or_f_minus ? ?) (Orel x)).