helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16 include "datatypes/categories.ma".
  17
  18 record basic_pair: Type ≝
  19  { concr: OA;
  20    form: OA;
  21    rel: arrows1 ? concr form
  22  }.
  23
  24 notation > "x ⊩ y" with precedence 45 for @{'Vdash2 $x $y ?}.
  25 notation < "x (⊩  \below c) y" with precedence 45 for @{'Vdash2 $x $y $c}.
  26 notation < "⊩ \sub c" with precedence 60 for @{'Vdash $c}.
  27 notation > "⊩ " with precedence 60 for @{'Vdash ?}.
  28
  29 interpretation "basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (rel c x y).
  30 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (rel c).
  31
  32 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
  33 alias symbol "compose" = "category1 composition".
  34 record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type ≝
  35  { concr_rel: arrows1 ? (concr BP1) (concr BP2);
  36    form_rel: arrows1 ? (form BP1) (form BP2);
  37    commute: ⊩ ∘ concr_rel = form_rel ∘ ⊩
  38  }.
  39
  40 notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
  41 notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
  42
  43 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel __ r).
  44 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel __ r).
  45
  46 definition relation_pair_equality:
  47  ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
  48  intros;
  49  constructor 1;
  50   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  51   | simplify;
  52     intros;
  53     apply refl1;
  54   | simplify;
  55     intros 2;
  56     apply sym1;
  57   | simplify;
  58     intros 3;
  59     apply trans1;
  60   ]
  61 qed.
  62
  63 definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
  64  intros;
  65  constructor 1;
  66   [ apply (relation_pair b b1)
  67   | apply relation_pair_equality
  68   ]
  69 qed.
  70
  71 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': relation_pair_setoid o1 o2. r=r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
  72  intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
  73  apply (.= (commute ?? r \sup -1));
  74  apply (.= H);
  75  apply (.= (commute ?? r'));
  76  apply refl1;
  77 qed.
  78
  79
  80 definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
  81  intro;
  82  constructor 1;
  83   [1,2: apply id1;
  84   | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
  85     lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
  86     apply (.= H);
  87     apply (H1 \sup -1);]
  88 qed.
  89
  90 definition relation_pair_composition:
  91  ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
  92  intros;
  93  constructor 1;
  94   [ intros (r r1);
  95     constructor 1;
  96      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  97      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  98      | lapply (commute ?? r) as H;
  99        lapply (commute ?? r1) as H1;
 100        apply (.= ASSOC1);
 101        apply (.= #‡H1);
 102        apply (.= ASSOC1\sup -1);
 103        apply (.= H‡#);
 104        apply ASSOC1]
 105   | intros;
 106     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 107     change in H with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 108     change in H1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 109     apply (.= ASSOC1);
 110     apply (.= #‡H1);
 111     apply (.= #‡(commute ?? b'));
 112     apply (.= ASSOC1 \sup -1);
 113     apply (.= H‡#);
 114     apply (.= ASSOC1);
 115     apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
 116     apply (ASSOC1 \sup -1)]
 117 qed.
 118
 119 definition BP: category1.
 120  constructor 1;
 121   [ apply basic_pair
 122   | apply relation_pair_setoid
 123   | apply id_relation_pair
 124   | apply relation_pair_composition
 125   | intros;
 126     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 127                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 128     apply (ASSOC1‡#);
 129   | intros;
 130     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 131     apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);
 132   | intros;
 133     change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 134     apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);]
 135 qed.
 136
 137
 138 (*
 139 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 140  intros; constructor 1;
 141   [ apply (ext ? ? (rel o));
 142   | intros;
 143     apply (.= #‡H);
 144     apply refl1]
 145 qed.
 146
 147 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 148  λo.extS ?? (rel o).
 149 *)
 150
 151 (*
 152 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 153  intros (o); constructor 1;
 154   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 155     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 156   | intros; split; simplify; intros;
 157      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 158      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 159 qed.
 160
 161 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
 162
 163 definition fintersectsS:
 164  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 165  intros (o); constructor 1;
 166   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 167     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 168   | intros; split; simplify; intros;
 169      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 170      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 171 qed.
 172
 173 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
 174 *)
 175
 176 (*
 177 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 178  intros (o); constructor 1;
 179   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 180   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 181      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 182      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 183 qed.
 184
 185 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
 186 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).
 187 *)