helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 record basic_topology: Type ≝
  19  { carrbt:> OA;
  20    A: arrows1 SET (oa_P carrbt) (oa_P carrbt);
  21    J: arrows1 SET (oa_P carrbt) (oa_P carrbt);
  22    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U >< J V) = (U >< J V)
  25  }.
  26
  27 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type ≝
  28  { cont_rel:> arrows1 ? S T;
  29    (* reduces uses eq1, saturated uses eq!!! *)
  30    reduced: ∀U. U = J ? U → cont_rel U = J ? (cont_rel U);
  31    saturated: ∀U. U = A ? U → cont_rel⎻* U = A ? (cont_rel⎻* U)
  32  }.
  33
  34 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  35  intros (S T); constructor 1;
  36   [ apply (continuous_relation S T)
  37   | constructor 1;
  38      [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. eq1 (oa_P (carrbt S)) (A ? (r⎻ b)) (A ? (s⎻ b)));
  39      | simplify; intros; apply refl1;
  40      | simplify; intros; apply sym1; apply H
  41      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H |3: apply H1; |1: skip]]]
  42 qed.
  43
  44 definition cont_rel': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → arrows1 ? S T ≝ cont_rel.
  45
  46 coercion cont_rel'.
  47
  48 definition cont_rel'':
  49  ∀S,T: basic_topology.
  50   continuous_relation_setoid S T → unary_morphism (oa_P (carrbt S)) (oa_P (carrbt T)).
  51  intros; apply rule cont_rel; apply c;
  52 qed.
  53
  54 coercion cont_rel''.
  55 (*
  56 theorem continuous_relation_eq':
  57  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  58   a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
  59  intros; apply oa_leq_antisym; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  60   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  61     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  62     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  63     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  64     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  65      [ apply I | assumption ]
  66   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  67     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  68     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  69     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  70     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  71      [ apply I | assumption ]]
  72 qed.
  73
  74 theorem continuous_relation_eq_inv':
  75  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  76   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
  77  intros 6;
  78  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  79   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) →
  80    ∀V:(oa_P (carrbt o2)). A o1 (a'⎻ V) ≤ A o1 (a⎻ V));
  81   [2: clear b H a' a; intros;
  82       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  83        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  84        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  85         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  86             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  87        clear Hletin;
  88        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  89         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  90        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  91       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  92       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  93       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  94       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  95       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  96        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  97       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  98       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  99       assumption;]
 100  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
 101 qed.
 102 *)
 103 definition continuous_relation_comp:
 104  ∀o1,o2,o3.
 105   continuous_relation_setoid o1 o2 →
 106    continuous_relation_setoid o2 o3 →
 107     continuous_relation_setoid o1 o3.
 108  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 109   [ apply (s ∘ r)
 110   | intros;
 111     apply sym1;
 112     change in match ((s ∘ r) U) with (s (r U));
 113     (*BAD*) unfold FunClass_1_OF_carr1;
 114     apply (.= ((reduced : ?)\sup -1));
 115      [ (*BAD*) change with (eq1 ? (r U) (J ? (r U)));
 116        (* BAD U *) apply (.= (reduced ??? U ?)); [ assumption | apply refl1 ]
 117      | apply refl1]
 118   | intros;
 119     apply sym;
 120     change in match ((s ∘ r)⎻* U) with (s⎻* (r⎻* U));
 121     apply (.= (saturated : ?)\sup -1);
 122      [ apply (.= (saturated : ?)); [ assumption | apply refl ]
 123      | apply refl]]
 124 qed.
 125
 126 definition BTop: category1.
 127  constructor 1;
 128   [ apply basic_topology
 129   | apply continuous_relation_setoid
 130   | intro; constructor 1;
 131      [ apply id1
 132      | intros; apply H;
 133      | intros; apply H;]
 134   | intros; constructor 1;
 135      [ apply continuous_relation_comp;
 136      | intros; simplify; intro x; simplify; (*
 137        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H) as H';
 138        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H1) as H1';
 139        letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
 140        cut (∀X:Ω \sup o1.
 141               minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
 142             = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
 143         [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
 144        clear K H' H1';
 145        cut (∀X:Ω \sup o1.
 146               minus_star_image o1 o3 (b ∘ a) (A o1 X) = minus_star_image o1 o3 (b'∘a') (A o1 X));
 147         [2: intro;
 148             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 149             apply (.= #‡(saturated ?????));
 150              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 151             apply sym1;
 152             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 153             apply (.= #‡(saturated ?????));
 154              [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
 155            apply ((Hcut X) \sup -1)]
 156        clear Hcut; generalize in match x; clear x;
 157        apply (continuous_relation_eq_inv');
 158        apply Hcut1;*)]
 159   | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
 160     (*apply (.= †(ASSOC1‡#));
 161     apply refl1*)
 162   | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
 163     (*apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
 164     apply refl1*)
 165   | intros; simplify; intro; simplify;
 166     apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
 167     apply refl1]
 168 qed.
 169
 170 (*
 171 (*CSC: unused! *)
 172 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 173 theorem continuous_relation_eqS:
 174  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 175   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 176  intros;
 177  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 178   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 179       try assumption; split; assumption]
 180  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 181   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 182       apply (. #‡(H1 ?));
 183       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 184       assumption;] clear Hcut;
 185  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 186   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 187   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 188  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 189   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 190       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 191  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 192   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 193  apply Hcut2; assumption.
 194 qed.
 195 *)