helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_topologies.ma

   1  (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 record basic_topology: Type2 ≝
  19  { carrbt:> OA;
  20    A: carrbt ⇒ carrbt;
  21    J: carrbt ⇒ carrbt;
  22    A_is_saturation: is_o_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_o_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U >< J V) = (U >< J V)
  25  }.
  26
  27 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type2 ≝
  28  { cont_rel:> arrows2 OA S T;
  29    (* reduces uses eq1, saturated uses eq!!! *)
  30    reduced: ∀U. U = J ? U → cont_rel U = J ? (cont_rel U);
  31    saturated: ∀U. U = A ? U → cont_rel⎻* U = A ? (cont_rel⎻* U)
  32  }.
  33
  34 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid2.
  35  intros (S T); constructor 1;
  36   [ apply (continuous_relation S T)
  37   | constructor 1;
  38      [ alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
  39        alias symbol "compose" = "category2 composition".
  40        apply (λr,s:continuous_relation S T. (r⎻* ) ∘ (A S) = (s⎻* ∘ (A ?)));
  41      | simplify; intros; apply refl2;
  42      | simplify; intros; apply sym2; apply e
  43      | simplify; intros; apply trans2; [2: apply e |3: apply e1; |1: skip]]]
  44 qed.
  45
  46 definition continuous_relation_of_continuous_relation_setoid:
  47   ∀P,Q. continuous_relation_setoid P Q → continuous_relation P Q ≝ λP,Q,c.c.
  48 coercion continuous_relation_of_continuous_relation_setoid.
  49
  50 (*
  51 theorem continuous_relation_eq':
  52  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  53   a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
  54  intros; apply oa_leq_antisym; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  55   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  56     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  57     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  58     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  59     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  60      [ apply I | assumption ]
  61   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  62     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  63     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  64     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  65     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  66      [ apply I | assumption ]]
  67 qed.
  68
  69 theorem continuous_relation_eq_inv':
  70  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  71   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
  72  intros 6;
  73  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  74   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) →
  75    ∀V:(oa_P (carrbt o2)). A o1 (a'⎻ V) ≤ A o1 (a⎻ V));
  76   [2: clear b H a' a; intros;
  77       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  78        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  79        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  80         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  81             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  82        clear Hletin;
  83        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  84         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  85        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  86       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  87       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  88       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  89       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  90       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  91        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  92       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  93       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  94       assumption;]
  95  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
  96 qed.
  97 *)
  98
  99 definition continuous_relation_comp:
 100  ∀o1,o2,o3.
 101   continuous_relation_setoid o1 o2 →
 102    continuous_relation_setoid o2 o3 →
 103     continuous_relation_setoid o1 o3.
 104  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 105   [ apply (s ∘ r);
 106   | intros;
 107     apply sym1;
 108     change in match ((s ∘ r) U) with (s (r U));
 109     (*<BAD>*) unfold FunClass_1_OF_carr2;
 110               apply (.= (reduced : ?)\sup -1);
 111      [ (*BAD*) change with (eq1 ? (r U) (J ? (r U)));
 112        (* BAD U *) apply (.= (reduced ??? U ?)); [ assumption | apply refl1 ]
 113      | apply refl1]
 114   | intros;
 115     apply sym1;
 116     change in match ((s ∘ r)⎻* U) with (s⎻* (r⎻* U));
 117     apply (.= (saturated : ?)\sup -1);
 118      [ apply (.= (saturated : ?)); [ assumption | apply refl1 ]
 119      | apply refl1]]
 120 qed.
 121
 122 definition BTop: category2.
 123  constructor 1;
 124   [ apply basic_topology
 125   | apply continuous_relation_setoid
 126   | intro; constructor 1;
 127      [ apply id2
 128      | intros; apply e;
 129      | intros; apply e;]
 130   | intros; constructor 1;
 131      [ apply continuous_relation_comp;
 132      | intros; simplify;
 133        change with ((b⎻* ∘ a⎻* ) ∘ A o1 = ((b'⎻* ∘ a'⎻* ) ∘ A o1));
 134        change with (b⎻* ∘ (a⎻* ∘ A o1) = b'⎻* ∘ (a'⎻* ∘ A o1));
 135        change in e with (a⎻* ∘ A o1 = a'⎻* ∘ A o1);
 136        change in e1 with (b⎻* ∘ A o2 = b'⎻* ∘ A o2);
 137        apply (.= e‡#);
 138        intro x;
 139        change with (eq1 ? (b⎻* (a'⎻* (A o1 x))) (b'⎻*(a'⎻* (A o1 x))));
 140        apply (.= †(saturated o1 o2 a' (A o1 x) ?)); [
 141          apply ((o_saturation_idempotent ?? (A_is_saturation o1) x)^-1);]
 142        apply (.= (e1 (a'⎻* (A o1 x))));
 143        change with (eq1 ? (b'⎻* (A o2 (a'⎻* (A o1 x)))) (b'⎻*(a'⎻* (A o1 x))));
 144        apply (.= †(saturated o1 o2 a' (A o1 x):?)^-1); [
 145          apply ((o_saturation_idempotent ?? (A_is_saturation o1) x)^-1);]
 146        apply rule #;]
 147   | intros; simplify;
 148     change with (((a34⎻* ∘ a23⎻* ) ∘ a12⎻* ) ∘ A o1 = ((a34⎻* ∘ (a23⎻* ∘ a12⎻* )) ∘ A o1));
 149     apply rule (#‡ASSOC ^ -1);
 150   | intros; simplify;
 151     change with ((a⎻* ∘ (id2 ? o1)⎻* ) ∘ A o1 = a⎻* ∘ A o1);
 152     apply (#‡(id_neutral_right2 : ?));
 153   | intros; simplify;
 154     change with (((id2 ? o2)⎻* ∘ a⎻* ) ∘ A o1 = a⎻* ∘ A o1);
 155     apply (#‡(id_neutral_left2 : ?));]
 156 qed.
 157
 158 definition basic_topology_of_BTop: objs2 BTop → basic_topology ≝ λx.x.
 159 coercion basic_topology_of_BTop.
 160
 161 definition continuous_relation_setoid_of_arrows2_BTop :
 162   ∀P,Q. arrows2 BTop P Q → continuous_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 163 coercion continuous_relation_setoid_of_arrows2_BTop.
 164
 165 (*
 166 (*CSC: unused! *)
 167 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 168 theorem continuous_relation_eqS:
 169  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 170   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 171  intros;
 172  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 173   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 174       try assumption; split; assumption]
 175  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 176   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 177       apply (. #‡(H1 ?));
 178       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 179       assumption;] clear Hcut;
 180  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 181   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 182   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 183  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 184   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 185       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 186  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 187   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 188  apply Hcut2; assumption.
 189 qed.
 190 *)